Theorem mirlni 29167

Description: The mirror of a point 𝑋 on a line (𝑌𝐿𝑍) is on the mirrored line ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)). (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirlni.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirlni.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirlni.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirlni.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirlni.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirlni.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirlni.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
mirlni.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirlni.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
mirlni.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
mirlni.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))

Assertion

Ref	Expression
mirlni	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)))

Proof of Theorem mirlni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirlni.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
2		mirlni.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		mirlni.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
5		mirlni.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		mirlni.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		mirlni.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		mirlni.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
9	8	necomd 3010	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
10		mirlni.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	tgellng 29016	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ↔ (𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))))
12	1, 11	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)))
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14		mirlni.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		mirlni.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		mirlni.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
19	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
20	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
21	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
22		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍))
23	2, 13, 4, 3, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22	mirbtwni 29143	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)))
24	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
27	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
28	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
29		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍))
30	2, 13, 4, 3, 14, 24, 25, 18, 26, 27, 28, 29	mirbtwni 29143	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)))
31	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
32	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
33	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
34	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
35	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
36		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))
37	2, 13, 4, 3, 14, 31, 32, 18, 33, 34, 35, 36	mirbtwni 29143	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋)))
38	12, 23, 30, 37	3orim123da 1473	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋))))
39	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 6	mircl 29133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
40	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 7	mircl 29133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
41	2, 14, 18, 5, 16, 6, 7	mirleqb 29166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)))
42	41	necon3bid 2999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≠ 𝑍 ↔ (𝑀‘𝑌) ≠ (𝑀‘𝑍)))
43	9, 42	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ≠ (𝑀‘𝑍))
44	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 10	mircl 29133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
45	2, 3, 4, 5, 39, 40, 43, 44	tgellng 29016	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)) ↔ ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋)))))
46	38, 45	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  LineGclng 28896  pInvGcmir 29124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-mir 29125

This theorem is used by:  prlngmid2  29439