Theorem mirlni 28951

Description: The mirror of a point 𝑋 on a line (𝑌𝐿𝑍) is on the mirrored line ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)). (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirlni.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirlni.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirlni.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirlni.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirlni.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirlni.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirlni.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
mirlni.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirlni.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
mirlni.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
mirlni.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))

Assertion

Ref	Expression
mirlni	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)))

Proof of Theorem mirlni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirlni.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
2		mirlni.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		mirlni.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
5		mirlni.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		mirlni.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		mirlni.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		mirlni.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
9	8	necomd 3020	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
10		mirlni.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	tgellng 28802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ↔ (𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))))
12	1, 11	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)))
13		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14		mirlni.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		mirlni.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		mirlni.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
19	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
20	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
21	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
22		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍))
23	2, 13, 4, 3, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22	mirbtwni 28928	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)))
24	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
27	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
28	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
29		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍))
30	2, 13, 4, 3, 14, 24, 25, 18, 26, 27, 28, 29	mirbtwni 28928	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)))
31	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
32	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
33	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
34	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
35	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
36		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))
37	2, 13, 4, 3, 14, 31, 32, 18, 33, 34, 35, 36	mirbtwni 28928	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋)))
38	12, 23, 30, 37	3orim123da 1471	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋))))
39	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 6	mircl 28918	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
40	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 7	mircl 28918	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
41	2, 14, 18, 5, 16, 6, 7	mirleqb 28950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)))
42	41	necon3bid 3009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≠ 𝑍 ↔ (𝑀‘𝑌) ≠ (𝑀‘𝑍)))
43	9, 42	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ≠ (𝑀‘𝑍))
44	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 10	mircl 28918	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
45	2, 3, 4, 5, 39, 40, 43, 44	tgellng 28802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)) ↔ ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋)))))
46	38, 45	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1100   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  distcds 17322  TarskiGcstrkg 28676  Itvcitv 28682  LineGclng 28683  pInvGcmir 28909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-er 8697  df-pm 8830  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-dju 9890  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-hash 14370  df-word 14554  df-concat 14611  df-s1 14637  df-s2 14888  df-s3 14889  df-trkgc 28697  df-trkgb 28698  df-trkgcb 28699  df-trkg 28702  df-cgrg 28760  df-mir 28910

This theorem is referenced by:  prlngmid2  29187