Theorem mirlni 29194

Description: The mirror of a point 𝑋 on a line (𝑌𝐿𝑍) is on the mirrored line ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)). (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirlni.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirlni.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirlni.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirlni.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirlni.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirlni.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirlni.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
mirlni.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirlni.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
mirlni.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
mirlni.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))

Assertion

Ref	Expression
mirlni	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)))

Proof of Theorem mirlni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirlni.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
2		mirlni.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		mirlni.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
5		mirlni.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		mirlni.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		mirlni.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		mirlni.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
9	8	necomd 3014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
10		mirlni.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	tgellng 29043	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ↔ (𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))))
12	1, 11	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)))
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14		mirlni.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		mirlni.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		mirlni.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
19	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
20	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
21	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
22		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍))
23	2, 13, 4, 3, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22	mirbtwni 29170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)))
24	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
27	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
28	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
29		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍))
30	2, 13, 4, 3, 14, 24, 25, 18, 26, 27, 28, 29	mirbtwni 29170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)))
31	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
32	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
33	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
34	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
35	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
36		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))
37	2, 13, 4, 3, 14, 31, 32, 18, 33, 34, 35, 36	mirbtwni 29170	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋)))
38	12, 23, 30, 37	3orim123da 1474	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋))))
39	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 6	mircl 29160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
40	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 7	mircl 29160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
41	2, 14, 18, 5, 16, 6, 7	mirleqb 29193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)))
42	41	necon3bid 3003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≠ 𝑍 ↔ (𝑀‘𝑌) ≠ (𝑀‘𝑍)))
43	9, 42	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ≠ (𝑀‘𝑍))
44	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 10	mircl 29160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
45	2, 3, 4, 5, 39, 40, 43, 44	tgellng 29043	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)) ↔ ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋)))))
46	38, 45	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  distcds 17463  TarskiGcstrkg 28916  Itvcitv 28922  LineGclng 28923  pInvGcmir 29151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-oadd 8505  df-er 8742  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-dju 10006  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-s2 15024  df-s3 15025  df-trkgc 28937  df-trkgb 28938  df-trkgcb 28939  df-trkg 28942  df-cgrg 29001  df-mir 29152

This theorem is used by:  prlngmid2  29466