Theorem mirlni 29044

Description: The mirror of a point 𝑋 on a line (𝑌𝐿𝑍) is on the mirrored line ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)). (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirlni.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirlni.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirlni.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirlni.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirlni.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirlni.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirlni.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
mirlni.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirlni.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
mirlni.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
mirlni.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))

Assertion

Ref	Expression
mirlni	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)))

Proof of Theorem mirlni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirlni.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
2		mirlni.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		mirlni.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
5		mirlni.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		mirlni.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		mirlni.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		mirlni.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
9	8	necomd 3012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
10		mirlni.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	tgellng 28893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ↔ (𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))))
12	1, 11	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)))
13		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14		mirlni.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		mirlni.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		mirlni.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
19	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
20	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
21	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
22		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍))
23	2, 13, 4, 3, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22	mirbtwni 29020	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)))
24	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
27	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
28	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
29		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍))
30	2, 13, 4, 3, 14, 24, 25, 18, 26, 27, 28, 29	mirbtwni 29020	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)))
31	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
32	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
33	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
34	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
35	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
36		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))
37	2, 13, 4, 3, 14, 31, 32, 18, 33, 34, 35, 36	mirbtwni 29020	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋)))
38	12, 23, 30, 37	3orim123da 1473	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋))))
39	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 6	mircl 29010	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
40	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 7	mircl 29010	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
41	2, 14, 18, 5, 16, 6, 7	mirleqb 29043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)))
42	41	necon3bid 3001	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≠ 𝑍 ↔ (𝑀‘𝑌) ≠ (𝑀‘𝑍)))
43	9, 42	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ≠ (𝑀‘𝑍))
44	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 10	mircl 29010	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
45	2, 3, 4, 5, 39, 40, 43, 44	tgellng 28893	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)) ↔ ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋)))))
46	38, 45	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  distcds 17355  TarskiGcstrkg 28766  Itvcitv 28772  LineGclng 28773  pInvGcmir 29001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-concat 14638  df-s1 14665  df-s2 14921  df-s3 14922  df-trkgc 28787  df-trkgb 28788  df-trkgcb 28789  df-trkg 28792  df-cgrg 28851  df-mir 29002

This theorem is used by:  prlngmid2  29304