Theorem mirlni 29100

Description: The mirror of a point 𝑋 on a line (𝑌𝐿𝑍) is on the mirrored line ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)). (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
mirlni.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirlni.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirlni.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirlni.m	⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
mirlni.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mirlni.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mirlni.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
mirlni.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
mirlni.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
mirlni.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
mirlni.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))

Assertion

Ref	Expression
mirlni	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)))

Proof of Theorem mirlni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mirlni.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
2		mirlni.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		mirlni.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
5		mirlni.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		mirlni.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
7		mirlni.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		mirlni.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
9	8	necomd 3010	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
10		mirlni.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	tgellng 28949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ↔ (𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))))
12	1, 11	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)))
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
14		mirlni.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
15	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16		mirlni.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
18		mirlni.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑆‘𝐴)
19	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
20	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
21	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
22		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍))
23	2, 13, 4, 3, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22	mirbtwni 29076	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑍)) → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)))
24	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
27	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
28	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
29		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍))
30	2, 13, 4, 3, 14, 24, 25, 18, 26, 27, 28, 29	mirbtwni 29076	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑋(Itv‘𝐺)𝑍)) → (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)))
31	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
32	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
33	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
34	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
35	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
36		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋))
37	2, 13, 4, 3, 14, 31, 32, 18, 33, 34, 35, 36	mirbtwni 29076	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(Itv‘𝐺)𝑋)) → (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋)))
38	12, 23, 30, 37	3orim123da 1473	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋))))
39	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 6	mircl 29066	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ∈ 𝑃)
40	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 7	mircl 29066	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑍) ∈ 𝑃)
41	2, 14, 18, 5, 16, 6, 7	mirleqb 29099	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 = 𝑍 ↔ (𝑀‘𝑌) = (𝑀‘𝑍)))
42	41	necon3bid 2999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ≠ 𝑍 ↔ (𝑀‘𝑌) ≠ (𝑀‘𝑍)))
43	9, 42	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑌) ≠ (𝑀‘𝑍))
44	2, 13, 4, 3, 14, 5, 16, 18, 10	mircl 29066	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑃)
45	2, 3, 4, 5, 39, 40, 43, 44	tgellng 28949	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)) ↔ ((𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑌) ∈ ((𝑀‘𝑋)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑍)) ∨ (𝑀‘𝑍) ∈ ((𝑀‘𝑌)(Itv‘𝐺)(𝑀‘𝑋)))))
46	38, 45	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ ((𝑀‘𝑌)𝐿(𝑀‘𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  distcds 17398  TarskiGcstrkg 28822  Itvcitv 28828  LineGclng 28829  pInvGcmir 29057

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-concat 14683  df-s1 14710  df-s2 14966  df-s3 14967  df-trkgc 28843  df-trkgb 28844  df-trkgcb 28845  df-trkg 28848  df-cgrg 28907  df-mir 29058

This theorem is used by:  prlngmid2  29372