Theorem symquadprlnglem 29170

Description: Lemma for symquadprlnglem 29170. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
symquadprlnglem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
symquadprlnglem.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
symquadprlnglem.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
symquadprlnglem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
symquadprlnglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
symquadprlnglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
symquadprlnglem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
symquadprlnglem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
symquadprlnglem.1	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑊))
symquadprlnglem.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑋))
symquadprlnglem.3	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
symquadprlnglem.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑊)
symquadprlnglem.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
symquadprlnglem.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑌𝐿𝑊))

Assertion

Ref	Expression
symquadprlnglem	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))

Proof of Theorem symquadprlnglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symquadprlnglem.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
2		symquadprlnglem.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		symquadprlnglem.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
5		symquadprlnglem.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		symquadprlnglem.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		symquadprlnglem.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		symquadprlnglem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	tglngne 29018	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
10	9	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑍)
11		symquadprlnglem.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		symquadprlnglem.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
14		symquadprlnglem.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
15		symquadprlnglem.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑊)
16	2, 4, 3, 5, 13, 14, 15	tgelrnln 29103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑊) ∈ ran 𝐿)
17		symquadprlnglem.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑌𝐿𝑊))
18	2, 3, 4, 5, 16, 17	tglnpt 29017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑇 ∈ 𝑃)
20	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
21	6	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑃)
22		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
23		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑇) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑇)
24		symquadprlnglem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑊))
25		symquadprlnglem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑋))
26	8	orcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
27	17	orcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝑌𝐿𝑊) ∨ 𝑌 = 𝑊))
28	2, 11, 4, 3, 22, 5, 23, 6, 13, 7, 14, 18, 1, 15, 24, 25, 26, 27	symquadlem 29166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑇)‘𝑍))
29	28	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − 𝑋) = (𝑇 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑇)‘𝑍)))
30	2, 11, 4, 3, 22, 5, 18, 23, 7	mircgr 29134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑇)‘𝑍)) = (𝑇 − 𝑍))
31	29, 30	eqtr2d 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − 𝑍) = (𝑇 − 𝑋))
32	31	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → (𝑇 − 𝑍) = (𝑇 − 𝑋))
33		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑇 = 𝑍)
34	2, 11, 4, 12, 19, 20, 19, 21, 32, 33	tgcgreq 28949	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑇 = 𝑋)
35	34, 33	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑋 = 𝑍)
36		nne 2959	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ↔ 𝑋 = 𝑍)
37	35, 36	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → ¬ 𝑋 ≠ 𝑍)
38	10, 37	pm2.65da 829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → ¬ 𝑇 = 𝑍)
39	38	neqned 2962	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑇 ≠ 𝑍)
40	5	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
41	7	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
42	6	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑃)
43	13	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝑃)
44	18	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑇 ∈ 𝑃)
45	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
46	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
47	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
48	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑇 ∈ 𝑃)
49	14	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
50	2, 4, 3, 5, 13, 14, 15	tglinecom 29108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑊) = (𝑊𝐿𝑌))
51	17, 50	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑊𝐿𝑌))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑇 ∈ (𝑊𝐿𝑌))
53		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))
54	2, 3, 4, 45, 46, 47, 49, 53	colcom 29026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑊 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
55	2, 4, 3, 45, 48, 49, 47, 46, 52, 54	coltr 29121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑇 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
56	2, 3, 4, 45, 47, 46, 48, 55	colcom 29026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑇 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))
57	2, 3, 4, 45, 46, 47, 48, 56	colrot2 29028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑌 ∈ (𝑇𝐿𝑍) ∨ 𝑇 = 𝑍))
58	57	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → (𝑌 ∈ (𝑇𝐿𝑍) ∨ 𝑇 = 𝑍))
59		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑇 ≠ 𝑍)
60	59	neneqd 2960	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → ¬ 𝑇 = 𝑍)
61	58, 60	olcnd 891	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑇𝐿𝑍))
62	2, 3, 4, 5, 6, 7, 18, 26	colcom 29026	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝑍𝐿𝑋) ∨ 𝑍 = 𝑋))
63	62	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → (𝑇 ∈ (𝑍𝐿𝑋) ∨ 𝑍 = 𝑋))
64	2, 4, 3, 40, 43, 44, 41, 42, 61, 63	coltr 29121	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → (𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑋) ∨ 𝑍 = 𝑋))
65	2, 3, 4, 40, 41, 42, 43, 64	colrot2 29028	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
66	39, 65	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
67	1, 66	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  distcds 17442  TarskiGcstrkg 28894  Itvcitv 28900  LineGclng 28901  pInvGcmir 29129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-er 8720  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003  df-s3 15004  df-trkgc 28915  df-trkgb 28916  df-trkgcb 28917  df-trkg 28920  df-cgrg 28979  df-mir 29130

This theorem is used by:  symquadmid  29309  symquadprlng  29445