Theorem symquadprlnglem 29052

Description: Lemma for symquadprlnglem 29052. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
symquadprlnglem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
symquadprlnglem.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
symquadprlnglem.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
symquadprlnglem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
symquadprlnglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
symquadprlnglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
symquadprlnglem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
symquadprlnglem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
symquadprlnglem.1	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑊))
symquadprlnglem.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑋))
symquadprlnglem.3	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
symquadprlnglem.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑊)
symquadprlnglem.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
symquadprlnglem.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑌𝐿𝑊))

Assertion

Ref	Expression
symquadprlnglem	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))

Proof of Theorem symquadprlnglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symquadprlnglem.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
2		symquadprlnglem.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		symquadprlnglem.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
5		symquadprlnglem.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		symquadprlnglem.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		symquadprlnglem.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		symquadprlnglem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	tglngne 28900	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
10	9	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑍)
11		symquadprlnglem.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		symquadprlnglem.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
14		symquadprlnglem.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
15		symquadprlnglem.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑊)
16	2, 4, 3, 5, 13, 14, 15	tgelrnln 28985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑊) ∈ ran 𝐿)
17		symquadprlnglem.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑌𝐿𝑊))
18	2, 3, 4, 5, 16, 17	tglnpt 28899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑇 ∈ 𝑃)
20	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
21	6	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑃)
22		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
23		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑇) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑇)
24		symquadprlnglem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑊))
25		symquadprlnglem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑋))
26	8	orcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
27	17	orcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝑌𝐿𝑊) ∨ 𝑌 = 𝑊))
28	2, 11, 4, 3, 22, 5, 23, 6, 13, 7, 14, 18, 1, 15, 24, 25, 26, 27	symquadlem 29048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑇)‘𝑍))
29	28	oveq2d 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − 𝑋) = (𝑇 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑇)‘𝑍)))
30	2, 11, 4, 3, 22, 5, 18, 23, 7	mircgr 29016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑇)‘𝑍)) = (𝑇 − 𝑍))
31	29, 30	eqtr2d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − 𝑍) = (𝑇 − 𝑋))
32	31	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → (𝑇 − 𝑍) = (𝑇 − 𝑋))
33		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑇 = 𝑍)
34	2, 11, 4, 12, 19, 20, 19, 21, 32, 33	tgcgreq 28831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑇 = 𝑋)
35	34, 33	eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑋 = 𝑍)
36		nne 2961	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ↔ 𝑋 = 𝑍)
37	35, 36	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → ¬ 𝑋 ≠ 𝑍)
38	10, 37	pm2.65da 829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → ¬ 𝑇 = 𝑍)
39	38	neqned 2964	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑇 ≠ 𝑍)
40	5	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
41	7	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
42	6	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑃)
43	13	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝑃)
44	18	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑇 ∈ 𝑃)
45	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
46	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
47	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
48	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑇 ∈ 𝑃)
49	14	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
50	2, 4, 3, 5, 13, 14, 15	tglinecom 28990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑊) = (𝑊𝐿𝑌))
51	17, 50	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑊𝐿𝑌))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑇 ∈ (𝑊𝐿𝑌))
53		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))
54	2, 3, 4, 45, 46, 47, 49, 53	colcom 28908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑊 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
55	2, 4, 3, 45, 48, 49, 47, 46, 52, 54	coltr 29003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑇 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
56	2, 3, 4, 45, 47, 46, 48, 55	colcom 28908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑇 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))
57	2, 3, 4, 45, 46, 47, 48, 56	colrot2 28910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑌 ∈ (𝑇𝐿𝑍) ∨ 𝑇 = 𝑍))
58	57	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → (𝑌 ∈ (𝑇𝐿𝑍) ∨ 𝑇 = 𝑍))
59		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑇 ≠ 𝑍)
60	59	neneqd 2962	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → ¬ 𝑇 = 𝑍)
61	58, 60	olcnd 891	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑇𝐿𝑍))
62	2, 3, 4, 5, 6, 7, 18, 26	colcom 28908	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝑍𝐿𝑋) ∨ 𝑍 = 𝑋))
63	62	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → (𝑇 ∈ (𝑍𝐿𝑋) ∨ 𝑍 = 𝑋))
64	2, 4, 3, 40, 43, 44, 41, 42, 61, 63	coltr 29003	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → (𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑋) ∨ 𝑍 = 𝑋))
65	2, 3, 4, 40, 41, 42, 43, 64	colrot2 28910	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
66	39, 65	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
67	1, 66	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  distcds 17357  TarskiGcstrkg 28776  Itvcitv 28782  LineGclng 28783  pInvGcmir 29011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-s1 14667  df-s2 14923  df-s3 14924  df-trkgc 28797  df-trkgb 28798  df-trkgcb 28799  df-trkg 28802  df-cgrg 28861  df-mir 29012

This theorem is used by:  symquadmid  29191  symquadprlng  29327