Theorem symquadprlnglem 29195

Description: Lemma for symquadprlnglem 29195. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
symquadprlnglem.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
symquadprlnglem.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
symquadprlnglem.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
symquadprlnglem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
symquadprlnglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
symquadprlnglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
symquadprlnglem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
symquadprlnglem.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
symquadprlnglem.1	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑊))
symquadprlnglem.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑋))
symquadprlnglem.3	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
symquadprlnglem.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑊)
symquadprlnglem.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
symquadprlnglem.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑌𝐿𝑊))

Assertion

Ref	Expression
symquadprlnglem	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))

Proof of Theorem symquadprlnglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symquadprlnglem.3	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
2		symquadprlnglem.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		symquadprlnglem.l	. . . . . . 7 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
5		symquadprlnglem.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		symquadprlnglem.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
7		symquadprlnglem.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
8		symquadprlnglem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	tglngne 29043	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
10	9	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑋 ≠ 𝑍)
11		symquadprlnglem.d	. . . . . . . 8 ⊢ − = (dist‘𝐺)
12	5	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		symquadprlnglem.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
14		symquadprlnglem.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
15		symquadprlnglem.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑊)
16	2, 4, 3, 5, 13, 14, 15	tgelrnln 29128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑊) ∈ ran 𝐿)
17		symquadprlnglem.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑌𝐿𝑊))
18	2, 3, 4, 5, 16, 17	tglnpt 29042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑇 ∈ 𝑃)
20	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
21	6	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑃)
22		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
23		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑇) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑇)
24		symquadprlnglem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑊))
25		symquadprlnglem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑋))
26	8	orcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
27	17	orcd 887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝑌𝐿𝑊) ∨ 𝑌 = 𝑊))
28	2, 11, 4, 3, 22, 5, 23, 6, 13, 7, 14, 18, 1, 15, 24, 25, 26, 27	symquadlem 29191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑇)‘𝑍))
29	28	oveq2d 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − 𝑋) = (𝑇 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑇)‘𝑍)))
30	2, 11, 4, 3, 22, 5, 18, 23, 7	mircgr 29159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − (((pInvG‘𝐺)‘𝑇)‘𝑍)) = (𝑇 − 𝑍))
31	29, 30	eqtr2d 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 − 𝑍) = (𝑇 − 𝑋))
32	31	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → (𝑇 − 𝑍) = (𝑇 − 𝑋))
33		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑇 = 𝑍)
34	2, 11, 4, 12, 19, 20, 19, 21, 32, 33	tgcgreq 28974	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑇 = 𝑋)
35	34, 33	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → 𝑋 = 𝑍)
36		nne 2963	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ≠ 𝑍 ↔ 𝑋 = 𝑍)
37	35, 36	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 = 𝑍) → ¬ 𝑋 ≠ 𝑍)
38	10, 37	pm2.65da 829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → ¬ 𝑇 = 𝑍)
39	38	neqned 2966	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑇 ≠ 𝑍)
40	5	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
41	7	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑃)
42	6	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑋 ∈ 𝑃)
43	13	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ 𝑃)
44	18	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑇 ∈ 𝑃)
45	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
46	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
47	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
48	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑇 ∈ 𝑃)
49	14	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
50	2, 4, 3, 5, 13, 14, 15	tglinecom 29133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑊) = (𝑊𝐿𝑌))
51	17, 50	eleqtrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑊𝐿𝑌))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → 𝑇 ∈ (𝑊𝐿𝑌))
53		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))
54	2, 3, 4, 45, 46, 47, 49, 53	colcom 29051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑊 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
55	2, 4, 3, 45, 48, 49, 47, 46, 52, 54	coltr 29146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑇 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
56	2, 3, 4, 45, 47, 46, 48, 55	colcom 29051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑇 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))
57	2, 3, 4, 45, 46, 47, 48, 56	colrot2 29053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑌 ∈ (𝑇𝐿𝑍) ∨ 𝑇 = 𝑍))
58	57	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → (𝑌 ∈ (𝑇𝐿𝑍) ∨ 𝑇 = 𝑍))
59		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑇 ≠ 𝑍)
60	59	neneqd 2964	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → ¬ 𝑇 = 𝑍)
61	58, 60	olcnd 891	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑇𝐿𝑍))
62	2, 3, 4, 5, 6, 7, 18, 26	colcom 29051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝑍𝐿𝑋) ∨ 𝑍 = 𝑋))
63	62	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → (𝑇 ∈ (𝑍𝐿𝑋) ∨ 𝑍 = 𝑋))
64	2, 4, 3, 40, 43, 44, 41, 42, 61, 63	coltr 29146	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → (𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑋) ∨ 𝑍 = 𝑋))
65	2, 3, 4, 40, 41, 42, 43, 64	colrot2 29053	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) ∧ 𝑇 ≠ 𝑍) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
66	39, 65	mpdan 700	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌)) → (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
67	1, 66	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑊 ∈ (𝑍𝐿𝑌) ∨ 𝑍 = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  distcds 17466  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  LineGclng 28926  pInvGcmir 29154

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkg 28945  df-cgrg 29004  df-mir 29155

This theorem is used by:  symquadmid  29334  symquadprlng  29470