Theorem mndtcbas2 50164

Description: Two objects in a category built from a monoid are identical. (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtcbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mndtcbas2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem mndtcbas2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtcbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
2		mndtcbas.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		mndtcbas.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
4	1, 2, 3	mndtcbas 50162	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
5		eumo 2604	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
6		moel 3386	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦)
7	6	biimpi 218	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦)
8	4, 5, 7	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦)
9		mndtchom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		mndtchom.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		eqeq12 2778	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑌))
12	11	rspc2gv 3590	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦 → 𝑋 = 𝑌))
13	9, 10, 12	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦 → 𝑋 = 𝑌))
14	8, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃*wmo 2563  ∃!weu 2594  ∀wral 3075  ‘cfv 6515  Basecbs 17235  Mndcmnd 18758  MndToCatcmndtc 50158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-fz 13506  df-struct 17173  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-hom 17300  df-cco 17301  df-mndtc 50159

This theorem is referenced by: (None)