Theorem mndtcbas2 48742

Description: Two objects in a category built from a monoid are identical. (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtcbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mndtcbas2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem mndtcbas2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtcbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
2		mndtcbas.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		mndtcbas.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
4	1, 2, 3	mndtcbas 48740	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
5		eumo 2575	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
6		moel 3406	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦)
7	6	biimpi 216	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦)
8	4, 5, 7	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦)
9		mndtchom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		mndtchom.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		eqeq12 2751	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑌))
12	11	rspc2gv 3643	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦 → 𝑋 = 𝑌))
13	9, 10, 12	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦 → 𝑋 = 𝑌))
14	8, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  ∃*wmo 2535  ∃!weu 2565  ∀wral 3063  ‘cfv 6579  Basecbs 17264  Mndcmnd 18778  MndToCatcmndtc 48736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5327  ax-nul 5334  ax-pow 5393  ax-pr 5457  ax-un 7775  ax-cnex 11245  ax-resscn 11246  ax-1cn 11247  ax-icn 11248  ax-addcl 11249  ax-addrcl 11250  ax-mulcl 11251  ax-mulrcl 11252  ax-mulcom 11253  ax-addass 11254  ax-mulass 11255  ax-distr 11256  ax-i2m1 11257  ax-1ne0 11258  ax-1rid 11259  ax-rnegex 11260  ax-rrecex 11261  ax-cnre 11262  ax-pre-lttri 11263  ax-pre-lttrn 11264  ax-pre-ltadd 11265  ax-pre-mulgt0 11266

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3385  df-rab 3440  df-v 3486  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4354  df-if 4555  df-pw 4630  df-sn 4655  df-pr 4657  df-tp 4659  df-op 4661  df-ot 4663  df-uni 4938  df-iun 5027  df-br 5177  df-opab 5239  df-mpt 5260  df-tr 5294  df-id 5604  df-eprel 5610  df-po 5618  df-so 5619  df-fr 5661  df-we 5663  df-xp 5712  df-rel 5713  df-cnv 5714  df-co 5715  df-dm 5716  df-rn 5717  df-res 5718  df-ima 5719  df-pred 6338  df-ord 6404  df-on 6405  df-lim 6406  df-suc 6407  df-iota 6531  df-fun 6581  df-fn 6582  df-f 6583  df-f1 6584  df-fo 6585  df-f1o 6586  df-fv 6587  df-riota 7410  df-ov 7457  df-oprab 7458  df-mpo 7459  df-om 7909  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8432  df-rdg 8471  df-1o 8527  df-er 8768  df-en 9009  df-dom 9010  df-sdom 9011  df-fin 9012  df-pnf 11331  df-mnf 11332  df-xr 11333  df-ltxr 11334  df-le 11335  df-sub 11527  df-neg 11528  df-nn 12299  df-2 12361  df-3 12362  df-4 12363  df-5 12364  df-6 12365  df-7 12366  df-8 12367  df-9 12368  df-n0 12559  df-z 12645  df-dec 12764  df-uz 12909  df-fz 13573  df-struct 17200  df-slot 17235  df-ndx 17247  df-base 17265  df-hom 17341  df-cco 17342  df-mndtc 48737

This theorem is referenced by: (None)