Theorem mndtcbas2 48207

Description: Two objects in a category built from a monoid are identical. (Contributed by Zhi Wang, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtcbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
mndtchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndtchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mndtcbas2	⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Proof of Theorem mndtcbas2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtcbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
2		mndtcbas.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		mndtcbas.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
4	1, 2, 3	mndtcbas 48205	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
5		eumo 2566	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
6		moel 3386	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦)
7	6	biimpi 215	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦)
8	4, 5, 7	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦)
9		mndtchom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		mndtchom.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		eqeq12 2742	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑌))
12	11	rspc2gv 3611	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦 → 𝑋 = 𝑌))
13	9, 10, 12	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑦 → 𝑋 = 𝑌))
14	8, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃*wmo 2526  ∃!weu 2556  ∀wral 3051  ‘cfv 6543  Basecbs 17179  Mndcmnd 18693  MndToCatcmndtc 48201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-hom 17256  df-cco 17257  df-mndtc 48202

This theorem is referenced by: (None)