Theorem mndtcbasval 48203

Description: The base set of the category built from a monoid. (Contributed by Zhi Wang, 22-Sep-2024.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndtcbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
mndtcbas.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
mndtcbas.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mndtcbasval	⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑀})

Proof of Theorem mndtcbasval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndtcbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (MndToCat‘𝑀))
2		mndtcbas.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
3	1, 2	mndtcval 48202	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩})
4	3	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩}))
5		mndtcbas.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
6		snex 5427	. . 3 ⊢ {𝑀} ∈ V
7		catstr 17945	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩} Struct ⟨1, ;15⟩
8		baseid 17180	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
9		snsstp1 4815	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩}
10	7, 8, 9	strfv 17170	. . 3 ⊢ ({𝑀} ∈ V → {𝑀} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩}))
11	6, 10	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑀} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑀}⟩, ⟨(Hom ‘ndx), {⟨𝑀, 𝑀, (Base‘𝑀)⟩}⟩, ⟨(comp‘ndx), {⟨⟨𝑀, 𝑀, 𝑀⟩, (+g‘𝑀)⟩}⟩}))
12	4, 5, 11	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑀})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  {csn 4624  {ctp 4628  ⟨cop 4630  ⟨cotp 4632  ‘cfv 6542  1c1 11137  5c5 12298  ;cdc 12705  ndxcnx 17159  Basecbs 17177  +_gcplusg 17230  Hom chom 17241  compcco 17242  Mndcmnd 18691  MndToCatcmndtc 48200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-hom 17254  df-cco 17255  df-mndtc 48201

This theorem is referenced by:  mndtcbas  48204  mndtcob  48205