Theorem catstr 18007

Description: A category structure is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
catstr	⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, ;15⟩

Proof of Theorem catstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12235	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		basendx 17268	. 2 ⊢ (Base‘ndx) = 1
3		4nn0 12514	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		1nn0 12511	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		1lt10 12847	. . 3 ⊢ 1 < ;10
6	1, 3, 4, 5	declti 12745	. 2 ⊢ 1 < ;14
7		4nn 12315	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
8	4, 7	decnncl 12726	. 2 ⊢ ;14 ∈ ℕ
9		homndx 17454	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10		5nn 12318	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
11		4lt5 12411	. . 3 ⊢ 4 < 5
12	4, 3, 10, 11	declt 12735	. 2 ⊢ ;14 < ;15
13	4, 10	decnncl 12726	. 2 ⊢ ;15 ∈ ℕ
14		ccondx 17456	. 2 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
15	1, 2, 6, 8, 9, 12, 13, 14	strle3 17210	1 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, ;15⟩

Syntax hints:  {ctp 4589  ⟨cop 4591   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  1c1 11089  4c4 12288  5c5 12289  ;cdc 12702   Struct cstr 17196  ndxcnx 17243  Basecbs 17259  Hom chom 17311  compcco 17312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-hom 17324  df-cco 17325

This theorem is referenced by:  fuccofval  18009  fucbas  18010  fuchom  18011  setcbas  18125  setchomfval  18126  setccofval  18129  catcbas  18148  catchomfval  18149  catccofval  18151  estrcbas  18171  estrchomfval  18172  estrccofval  18175  xpchomfval  18225  xpccofval  18228  rngcbasALTV  48886  rngchomfvalALTV  48887  rngccofvalALTV  48890  ringcbasALTV  48920  ringchomfvalALTV  48921  ringccofvalALTV  48924  catbas  49855  cathomfval  49856  catcofval  49857  mndtcbasval  50209  mndtchom  50213  mndtcco  50214