Theorem catstr 17097

Description: A category structure is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
catstr	⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, ;15⟩

Proof of Theorem catstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11450	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		basendx 16401	. 2 ⊢ (Base‘ndx) = 1
3		4nn0 11726	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		1nn0 11723	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		1lt10 12050	. . 3 ⊢ 1 < ;10
6	1, 3, 4, 5	declti 11948	. 2 ⊢ 1 < ;14
7		4nn 11522	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
8	4, 7	decnncl 11930	. 2 ⊢ ;14 ∈ ℕ
9		homndx 16541	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10		5nn 11526	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
11		4lt5 11622	. . 3 ⊢ 4 < 5
12	4, 3, 10, 11	declt 11938	. 2 ⊢ ;14 < ;15
13	4, 10	decnncl 11930	. 2 ⊢ ;15 ∈ ℕ
14		ccondx 16543	. 2 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
15	1, 2, 6, 8, 9, 12, 13, 14	strle3 16448	1 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, ;15⟩

Syntax hints:  {ctp 4439  ⟨cop 4441   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185  1c1 10334  4c4 11495  5c5 11496  ;cdc 11909   Struct cstr 16333  ndxcnx 16334  Basecbs 16337  Hom chom 16430  compcco 16431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-hom 16443  df-cco 16444

This theorem is referenced by:  fuccofval  17099  fucbas  17100  fuchom  17101  setcbas  17208  setchomfval  17209  setccofval  17212  catcbas  17227  catchomfval  17228  catccofval  17230  estrcbas  17245  estrchomfval  17246  estrccofval  17249  xpchomfval  17299  xpccofval  17302  rngcbasALTV  43643  rngchomfvalALTV  43644  rngccofvalALTV  43647  ringcbasALTV  43706  ringchomfvalALTV  43707  ringccofvalALTV  43710