Theorem catstr 18013

Description: A category structure is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
catstr	⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, ;15⟩

Proof of Theorem catstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12275	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		basendx 17254	. 2 ⊢ (Base‘ndx) = 1
3		4nn0 12543	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		1nn0 12540	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		1lt10 12870	. . 3 ⊢ 1 < ;10
6	1, 3, 4, 5	declti 12769	. 2 ⊢ 1 < ;14
7		4nn 12347	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
8	4, 7	decnncl 12751	. 2 ⊢ ;14 ∈ ℕ
9		homndx 17457	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10		5nn 12350	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
11		4lt5 12441	. . 3 ⊢ 4 < 5
12	4, 3, 10, 11	declt 12759	. 2 ⊢ ;14 < ;15
13	4, 10	decnncl 12751	. 2 ⊢ ;15 ∈ ℕ
14		ccondx 17459	. 2 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
15	1, 2, 6, 8, 9, 12, 13, 14	strle3 17194	1 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, ;15⟩

Syntax hints:  {ctp 4635  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  1c1 11154  4c4 12321  5c5 12322  ;cdc 12731   Struct cstr 17180  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  Hom chom 17309  compcco 17310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-hom 17322  df-cco 17323

This theorem is referenced by:  fuccofval  18015  fucbas  18016  fuchom  18017  fuchomOLD  18018  setcbas  18132  setchomfval  18133  setccofval  18136  catcbas  18155  catchomfval  18156  catccofval  18158  estrcbas  18180  estrchomfval  18181  estrccofval  18184  xpchomfval  18235  xpccofval  18238  rngcbasALTV  48110  rngchomfvalALTV  48111  rngccofvalALTV  48114  ringcbasALTV  48144  ringchomfvalALTV  48145  ringccofvalALTV  48148  mndtcbasval  48889  mndtchom  48893  mndtcco  48894