Theorem catstr 16969

Description: A category structure is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
catstr	⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, ;15⟩

Proof of Theorem catstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11363	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		basendx 16286	. 2 ⊢ (Base‘ndx) = 1
3		4nn0 11639	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		1nn0 11636	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		1lt10 11962	. . 3 ⊢ 1 < ;10
6	1, 3, 4, 5	declti 11860	. 2 ⊢ 1 < ;14
7		4nn 11435	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
8	4, 7	decnncl 11842	. 2 ⊢ ;14 ∈ ℕ
9		homndx 16427	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10		5nn 11439	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
11		4lt5 11535	. . 3 ⊢ 4 < 5
12	4, 3, 10, 11	declt 11850	. 2 ⊢ ;14 < ;15
13	4, 10	decnncl 11842	. 2 ⊢ ;15 ∈ ℕ
14		ccondx 16429	. 2 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
15	1, 2, 6, 8, 9, 12, 13, 14	strle3 16334	1 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, ;15⟩

Syntax hints:  {ctp 4401  ⟨cop 4403   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  1c1 10253  4c4 11408  5c5 11409  ;cdc 11821   Struct cstr 16218  ndxcnx 16219  Basecbs 16222  Hom chom 16316  compcco 16317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-hom 16329  df-cco 16330

This theorem is referenced by:  fuccofval  16971  fucbas  16972  fuchom  16973  setcbas  17080  setchomfval  17081  setccofval  17084  catcbas  17099  catchomfval  17100  catccofval  17102  estrcbas  17117  estrchomfval  17118  estrccofval  17121  xpcbas  17171  xpchomfval  17172  xpccofval  17175  rngcbasALTV  42823  rngchomfvalALTV  42824  rngccofvalALTV  42827  ringcbasALTV  42886  ringchomfvalALTV  42887  ringccofvalALTV  42890