Theorem catstr 18006

Description: A category structure is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
catstr	⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, ;15⟩

Proof of Theorem catstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12278	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		basendx 17257	. 2 ⊢ (Base‘ndx) = 1
3		4nn0 12547	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
4		1nn0 12544	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		1lt10 12874	. . 3 ⊢ 1 < ;10
6	1, 3, 4, 5	declti 12773	. 2 ⊢ 1 < ;14
7		4nn 12350	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
8	4, 7	decnncl 12755	. 2 ⊢ ;14 ∈ ℕ
9		homndx 17456	. 2 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
10		5nn 12353	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
11		4lt5 12444	. . 3 ⊢ 4 < 5
12	4, 3, 10, 11	declt 12763	. 2 ⊢ ;14 < ;15
13	4, 10	decnncl 12755	. 2 ⊢ ;15 ∈ ℕ
14		ccondx 17458	. 2 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
15	1, 2, 6, 8, 9, 12, 13, 14	strle3 17198	1 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑈⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩, ⟨(comp‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, ;15⟩

Syntax hints:  {ctp 4629  ⟨cop 4631   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  1c1 11157  4c4 12324  5c5 12325  ;cdc 12735   Struct cstr 17184  ndxcnx 17231  Basecbs 17248  Hom chom 17309  compcco 17310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-hom 17322  df-cco 17323

This theorem is referenced by:  fuccofval  18008  fucbas  18009  fuchom  18010  setcbas  18124  setchomfval  18125  setccofval  18128  catcbas  18147  catchomfval  18148  catccofval  18150  estrcbas  18170  estrchomfval  18171  estrccofval  18174  xpchomfval  18225  xpccofval  18228  rngcbasALTV  48187  rngchomfvalALTV  48188  rngccofvalALTV  48191  ringcbasALTV  48221  ringchomfvalALTV  48222  ringccofvalALTV  48225  mndtcbasval  49232  mndtchom  49236  mndtcco  49237