Theorem zmodidfzoimp 13851

Description: Identity law for modulo restricted to integers. (Contributed by AV, 27-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zmodidfzoimp	⊢ (𝑀 ∈ (0..^𝑁) → (𝑀 mod 𝑁) = 𝑀)

Proof of Theorem zmodidfzoimp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13646	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 < 𝑁))
2		nn0z 12539	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	anim1i 616	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
4	3	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
5	1, 4	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0..^𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
6		zmodidfzo 13850	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ 𝑀 ∈ (0..^𝑁)))
7	6	biimprd 248	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ (0..^𝑁) → (𝑀 mod 𝑁) = 𝑀))
8	5, 7	mpcom 38	1 ⊢ (𝑀 ∈ (0..^𝑁) → (𝑀 mod 𝑁) = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  0cc0 11029   < clt 11170  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ..^cfzo 13599   mod cmo 13819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820

This theorem is referenced by:  modaddid  13860  modfzo0difsn  13896  modlteq  13898  addmodlteq  13899  cshwidxmodr  14757  cshwidx0  14759  cshweqrep  14774  cshw1  14775  cshwshashlem1  17057  smndex1igid  18865  smndex1igidOLD  18866  eucrctshift  30328  cshwrnid  33036  cycpmfv1  33189  cycpmfv2  33190  p1modne  47813  m1modne  47814  minusmod5ne  47815  modm1p1ne  47836  gpgvtxedg0  48551  gpgvtxedg1  48552  gpg3nbgrvtx0  48564  gpg5edgnedg  48618