gpgedg2iv - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem gpgedg2iv 48098

Description: The edges of the generalized Petersen graph GPG(N,K) between two inside vertices. (Contributed by AV, 20-Nov-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gpgedgiov.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgedgiov.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
gpgedgiov.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgedgiov.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
gpgedg2iv	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ 𝑋 = 𝑌))

**Proof of Theorem gpgedg2iv**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 4680	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩}
2	1	eleq1i 2822	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
3		uzuzle35 12780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
4		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0) → 𝐾 ∈ 𝐽)
5	3, 4	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽))
6	5	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽))
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽))
8		1ex 11103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 1 ∈ V)
10	9	anim1i 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐼))
11	10	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐼))
12		op1stg 7928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (1^st ‘⟨1, 𝑋⟩) = 1)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (1^st ‘⟨1, 𝑋⟩) = 1)
14	13	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (1^st ‘⟨1, 𝑋⟩) = 1)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (1^st ‘⟨1, 𝑋⟩) = 1)
16		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
17		gpgedgiov.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
18		gpgedgiov.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
19		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
20		gpgedgiov.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21	17, 18, 19, 20	gpgvtxedg1 48095	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (1^st ‘⟨1, 𝑋⟩) = 1 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩))
22	7, 15, 16, 21	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩))
23	22	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
24	2, 23	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
25	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽))
26	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (1^st ‘⟨1, 𝑋⟩) = 1)
27		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
28	17, 18, 19, 20	gpgvtxedg1 48095	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (1^st ‘⟨1, 𝑋⟩) = 1 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩))
30	29	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
31		ovex 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ V
32	8, 31	opth 5411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)))
33	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
34		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼))
35	34	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼))
36		elfzoelz 13554	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
37	36, 17	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
39	38	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → 𝐾 ∈ ℤ)
40		gpgedgiov.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
41	40	modaddid 13809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ↔ 𝑌 = 𝑋))
42	33, 35, 39, 41	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ↔ 𝑌 = 𝑋))
43	42	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)) → 𝑌 = 𝑋)
44	43	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)) → 𝑋 = 𝑌)
45	44	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) → 𝑋 = 𝑌))
46	45	adantld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((1 = 1 ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)) → 𝑋 = 𝑌))
47	32, 46	biimtrid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
48	47	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
49	8, 31	opth 5411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋))
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋)))
51		ax-1ne0 11070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
52		eqneqall 2939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))))
53	51, 52	mpi 20	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = 0 → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌)))
54	53	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 = 0 ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
55	50, 54	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌)))
56	55	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
57		ovex 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ∈ V
58	8, 57	opth 5411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋))
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋)))
60		eqneqall 2939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋 → 𝑋 = 𝑌)))
61	51, 60	mpi 20	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 = 0 → (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋 → 𝑋 = 𝑌))
62	61	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 = 0 ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋) → 𝑋 = 𝑌)
63	59, 62	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌))
64	51	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
65	8, 31	opthne 5417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑋⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
66	64, 65	mpbir 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑋⟩
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑋⟩)
68		eqneqall 2939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑋⟩ → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌)))
69	67, 68	mpan9 506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
70	56, 63, 69	3jaod 1431	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌))
71	70	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
72	8, 31	opth 5411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)))
73	8, 57	opth 5411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)))
74		eluz3nn 12782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
75	3, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) → 𝑁 ∈ ℕ)
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑁 ∈ ℕ)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
78		elfzoelz 13554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ ℤ)
79	78, 40	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℤ)
80	79	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑋 ∈ ℤ)
81	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑋 ∈ ℤ)
82		elfzoelz 13554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
83	82, 40	eleq2s 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
84	83	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑌 ∈ ℤ)
85	84	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ ℤ)
86	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℤ)
87		modmkpkne 47392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ↔ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) = 0)))
88	77, 81, 85, 86, 87	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ↔ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) = 0)))
89	88	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ↔ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) = 0))
90		eqneqall 2939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((4 · 𝐾) mod 𝑁) = 0 → (((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0 → 𝑋 = 𝑌))
91	89, 90	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) → (((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0 → 𝑋 = 𝑌)))
92	91	expimpd 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)) → (((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0 → 𝑋 = 𝑌)))
93	92	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0 → ((((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)) → 𝑋 = 𝑌)))
94	93	expimpd 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → ((𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0) → ((((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)) → 𝑋 = 𝑌)))
95	94	3impia 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)) → 𝑋 = 𝑌))
96	95	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) → 𝑋 = 𝑌)))
97	96	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((1 = 1 ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) → 𝑋 = 𝑌)))
98	73, 97	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) → 𝑋 = 𝑌)))
99	98	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌)))
100	99	adantld 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((1 = 1 ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌)))
101	72, 100	biimtrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌)))
102	101	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
103	51	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
104	8, 57	opthne 5417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑋⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
105	103, 104	mpbir 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑋⟩
106		eqneqall 2939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌))
107	105, 106	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌)
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌))
109		eqeq2 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
110	109	eqcoms 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
111	110	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
112	8, 57	opth 5411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)))
113		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐼)
114	17, 40	modmknepk 47393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))
115	3, 113, 4, 114	syl3an 1160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))
116		eqneqall 2939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) → (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) → 𝑋 = 𝑌))
117	115, 116	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) → 𝑋 = 𝑌))
118	117	adantld 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((1 = 1 ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)) → 𝑋 = 𝑌))
119	112, 118	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
121	111, 120	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
122	102, 108, 121	3jaod 1431	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌))
123	122	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
124	48, 71, 123	3jaod 1431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
125		op2ndg 7929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋)
126	11, 125	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋)
127	126	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋)
128		oveq1 7348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) = (𝑋 + 𝐾))
129	128	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁))
130	129	opeq2d 4827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
131	130	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
132		opeq2 4821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩)
133	132	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩))
134		oveq1 7348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) = (𝑋 − 𝐾))
135	134	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁))
136	135	opeq2d 4827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩)
137	136	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩))
138	131, 133, 137	3orbi123d 1437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → ((⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) ↔ (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
139	130	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
140	132	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩))
141	136	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩))
142	139, 140, 141	3orbi123d 1437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) ↔ (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
143	142	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌) ↔ ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
144	138, 143	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (((⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)) ↔ ((⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌))))
145	127, 144	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (((⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)) ↔ ((⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌))))
146	124, 145	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
147	30, 146	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
148	147	com23 86	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 → 𝑋 = 𝑌)))
149	24, 148	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 → 𝑋 = 𝑌)))
150	149	impd 410	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑌))
151		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = 1
152	151	olci 866	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 0 ∨ 1 = 1)
153	152	2a1i 12	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑋 ∈ 𝐼 → (1 = 0 ∨ 1 = 1)))
154	153	imdistanri 569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((1 = 0 ∨ 1 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼))
155	154	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((1 = 0 ∨ 1 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼))
156	40, 17, 18, 19	opgpgvtx 48086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨1, 𝑌⟩ ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ ((1 = 0 ∨ 1 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))
157	5, 156	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, 𝑌⟩ ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ ((1 = 0 ∨ 1 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))
158	157	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, 𝑌⟩ ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ ((1 = 0 ∨ 1 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))
159	155, 158	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ⟨1, 𝑌⟩ ∈ (Vtx‘𝐺))
160	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 1 ∈ V)
161		op1stg 7928	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (1^st ‘⟨1, 𝑌⟩) = 1)
162	160, 161	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (1^st ‘⟨1, 𝑌⟩) = 1)
163	162	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (1^st ‘⟨1, 𝑌⟩) = 1)
164	17, 18, 19, 20	gpgedgvtx1 48093	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (⟨1, 𝑌⟩ ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (1^st ‘⟨1, 𝑌⟩) = 1)) → ({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
165	6, 159, 163, 164	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
166		op2ndg 7929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌)
167	8, 166	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌)
168		oveq1 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) = (𝑌 − 𝐾))
169	168	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁))
170	169	opeq2d 4827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩)
171	170	preq2d 4688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩})
172		prcom 4680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩}
173	171, 172	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩})
174	173	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → ({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸))
175		oveq1 7348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) = (𝑌 + 𝐾))
176	175	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))
177	176	opeq2d 4827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
178	177	preq2d 4688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
179	178	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → ({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
180	174, 179	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
181	167, 180	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
182	181	biimpcd 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (𝑌 ∈ 𝐼 → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
183	182	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (𝑌 ∈ 𝐼 → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
184	183	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (𝑌 ∈ 𝐼 → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
185	184	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
186	185	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
187	186	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
188	165, 187	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
189		opeq2 4821	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ⟨1, 𝑋⟩ = ⟨1, 𝑌⟩)
190	189	preq2d 4688	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → {⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} = {⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩})
191	190	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸))
192	189	preq1d 4687	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
193	192	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
194	191, 193	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
195	188, 194	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (𝑋 = 𝑌 → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
196	150, 195	impbid 212	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∨ w3o 1085 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2928 Vcvv 3436 {cpr 4573 ⟨cop 4577 ‘cfv 6476 (class class class)co 7341 1^st c1st 7914 2^nd c2nd 7915 0cc0 11001 1c1 11002 + caddc 11004 · cmul 11006 − cmin 11339 / cdiv 11769 ℕcn 12120 2c2 12175 3c3 12176 4c4 12177 5c5 12178 ℤcz 12463 ℤ_≥cuz 12727 ..^cfzo 13549 ⌈cceil 13690 mod cmo 13768 Vtxcvtx 28969 Edgcedg 29020 gPetersenGr cgpg 48071

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-rep 5212 ax-sep 5229 ax-nul 5239 ax-pow 5298 ax-pr 5365 ax-un 7663 ax-cnex 11057 ax-resscn 11058 ax-1cn 11059 ax-icn 11060 ax-addcl 11061 ax-addrcl 11062 ax-mulcl 11063 ax-mulrcl 11064 ax-mulcom 11065 ax-addass 11066 ax-mulass 11067 ax-distr 11068 ax-i2m1 11069 ax-1ne0 11070 ax-1rid 11071 ax-rnegex 11072 ax-rrecex 11073 ax-cnre 11074 ax-pre-lttri 11075 ax-pre-lttrn 11076 ax-pre-ltadd 11077 ax-pre-mulgt0 11078 ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3737 df-csb 3846 df-dif 3900 df-un 3902 df-in 3904 df-ss 3914 df-pss 3917 df-nul 4279 df-if 4471 df-pw 4547 df-sn 4572 df-pr 4574 df-op 4578 df-uni 4855 df-int 4893 df-iun 4938 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5506 df-eprel 5511 df-po 5519 df-so 5520 df-fr 5564 df-we 5566 df-xp 5617 df-rel 5618 df-cnv 5619 df-co 5620 df-dm 5621 df-rn 5622 df-res 5623 df-ima 5624 df-pred 6243 df-ord 6304 df-on 6305 df-lim 6306 df-suc 6307 df-iota 6432 df-fun 6478 df-fn 6479 df-f 6480 df-f1 6481 df-fo 6482 df-f1o 6483 df-fv 6484 df-riota 7298 df-ov 7344 df-oprab 7345 df-mpo 7346 df-om 7792 df-1st 7916 df-2nd 7917 df-frecs 8206 df-wrecs 8237 df-recs 8286 df-rdg 8324 df-1o 8380 df-oadd 8384 df-er 8617 df-en 8865 df-dom 8866 df-sdom 8867 df-fin 8868 df-sup 9321 df-inf 9322 df-dju 9789 df-card 9827 df-pnf 11143 df-mnf 11144 df-xr 11145 df-ltxr 11146 df-le 11147 df-sub 11341 df-neg 11342 df-div 11770 df-nn 12121 df-2 12183 df-3 12184 df-4 12185 df-5 12186 df-6 12187 df-7 12188 df-8 12189 df-9 12190 df-n0 12377 df-xnn0 12450 df-z 12464 df-dec 12584 df-uz 12728 df-rp 12886 df-ico 13246 df-fz 13403 df-fzo 13550 df-fl 13691 df-ceil 13692 df-mod 13769 df-hash 14233 df-dvds 16159 df-struct 17053 df-slot 17088 df-ndx 17100 df-base 17116 df-edgf 28962 df-vtx 28971 df-iedg 28972 df-edg 29021 df-umgr 29056 df-usgr 29124 df-gpg 48072

This theorem is referenced by: pgnbgreunbgrlem4 48150

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