gpgedg2iv - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem gpgedg2iv 49432

Description: The edges of the generalized Petersen graph GPG(N,K) between two inside vertices. (Contributed by AV, 20-Nov-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gpgedgiov.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgedgiov.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
gpgedgiov.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgedgiov.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

**Assertion**
Ref	Expression
gpgedg2iv	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ 𝑋 = 𝑌))

**Proof of Theorem gpgedg2iv**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		prcom 4693	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} = {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩}
2	1	eleq1i 2855	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
3		uzuzle35 13052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
4		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0) → 𝐾 ∈ 𝐽)
5	3, 4	anim12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽))
6	5	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽))
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽))
8		1ex 11340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 1 ∈ V)
10	9	anim1i 627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐼))
11	10	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐼))
12		op1stg 8045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (1^st ‘⟨1, 𝑋⟩) = 1)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (1^st ‘⟨1, 𝑋⟩) = 1)
14	13	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (1^st ‘⟨1, 𝑋⟩) = 1)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (1^st ‘⟨1, 𝑋⟩) = 1)
16		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
17		gpgedgiov.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
18		gpgedgiov.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
19		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
20		gpgedgiov.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21	17, 18, 19, 20	gpgvtxedg1 49429	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (1^st ‘⟨1, 𝑋⟩) = 1 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩))
22	7, 15, 16, 21	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩))
23	22	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
24	2, 23	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
25	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽))
26	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (1^st ‘⟨1, 𝑋⟩) = 1)
27		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)
28	17, 18, 19, 20	gpgvtxedg1 49429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (1^st ‘⟨1, 𝑋⟩) = 1 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩))
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩))
30	29	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
31		ovex 7482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ∈ V
32	8, 31	opth 5450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)))
33	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))
34		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼))
35	34	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼))
36		elfzoelz 13831	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) → 𝐾 ∈ ℤ)
37	36, 17	eleq2s 2882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → 𝐾 ∈ ℤ)
38	37	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0) → 𝐾 ∈ ℤ)
39	38	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → 𝐾 ∈ ℤ)
40		gpgedgiov.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
41	40	modaddid 14088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ (𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ↔ 𝑌 = 𝑋))
42	33, 35, 39, 41	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ↔ 𝑌 = 𝑋))
43	42	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)) → 𝑌 = 𝑋)
44	43	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)) → 𝑋 = 𝑌)
45	44	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) → 𝑋 = 𝑌))
46	45	adantld 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((1 = 1 ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)) → 𝑋 = 𝑌))
47	32, 46	biimtrid 245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
48	47	a1dd 51	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
49	8, 31	opth 5450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋))
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋)))
51		ax-1ne0 11306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
52		eqneqall 2970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))))
53	51, 52	mpi 21	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = 0 → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌)))
54	53	imp 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 = 0 ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
55	50, 54	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌)))
56	55	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
57		ovex 7482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ∈ V
58	8, 57	opth 5450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋))
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ↔ (1 = 0 ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋)))
60		eqneqall 2970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋 → 𝑋 = 𝑌)))
61	51, 60	mpi 21	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 = 0 → (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋 → 𝑋 = 𝑌))
62	61	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 = 0 ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = 𝑋) → 𝑋 = 𝑌)
63	59, 62	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌))
64	51	orci 879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
65	8, 31	opthne 5456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑋⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
66	64, 65	mpbir 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑋⟩
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑋⟩)
68		eqneqall 2970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑋⟩ → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌)))
69	67, 68	mpan9 516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
70	56, 63, 69	3jaod 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌))
71	70	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
72	8, 31	opth 5450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)))
73	8, 57	opth 5450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)))
74		eluz3nn 13054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
75	3, 74	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) → 𝑁 ∈ ℕ)
76	75	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑁 ∈ ℕ)
77	76	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ ℕ)
78		elfzoelz 13831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝑁) → 𝑋 ∈ ℤ)
79	78, 40	eleq2s 2882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 𝑋 ∈ ℤ)
80	79	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑋 ∈ ℤ)
81	80	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑋 ∈ ℤ)
82		elfzoelz 13831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑌 ∈ (0..^𝑁) → 𝑌 ∈ ℤ)
83	82, 40	eleq2s 2882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → 𝑌 ∈ ℤ)
84	83	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑌 ∈ ℤ)
85	84	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ ℤ)
86	37	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝐾 ∈ ℤ)
87		modmkpkne 48704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ↔ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) = 0)))
88	77, 81, 85, 86, 87	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ↔ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) = 0)))
89	88	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) ↔ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) = 0))
90		eqneqall 2970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((4 · 𝐾) mod 𝑁) = 0 → (((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0 → 𝑋 = 𝑌))
91	89, 90	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) → (((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0 → 𝑋 = 𝑌)))
92	91	expimpd 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)) → (((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0 → 𝑋 = 𝑌)))
93	92	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0 → ((((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)) → 𝑋 = 𝑌)))
94	93	expimpd 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → ((𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0) → ((((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)) → 𝑋 = 𝑌)))
95	94	3impia 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)) → 𝑋 = 𝑌))
96	95	expd 421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) → 𝑋 = 𝑌)))
97	96	adantld 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((1 = 1 ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) → 𝑋 = 𝑌)))
98	73, 97	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) → 𝑋 = 𝑌)))
99	98	com23 87	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌)))
100	99	adantld 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((1 = 1 ∧ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌)))
101	72, 100	biimtrid 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌)))
102	101	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
103	51	orci 879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋)
104	8, 57	opthne 5456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑋⟩ ↔ (1 ≠ 0 ∨ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑋))
105	103, 104	mpbir 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑋⟩
106		eqneqall 2970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ≠ ⟨0, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌))
107	105, 106	mpi 21	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌)
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ → 𝑋 = 𝑌))
109		eqeq2 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
110	109	eqcoms 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
111	110	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
112	8, 57	opth 5450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 = 1 ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)))
113		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐼)
114	17, 40	modmknepk 48705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))
115	3, 113, 4, 114	syl3an 1178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))
116		eqneqall 2970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) → (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) ≠ ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) → 𝑋 = 𝑌))
117	115, 116	syl5com 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁) → 𝑋 = 𝑌))
118	117	adantld 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((1 = 1 ∧ ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)) → 𝑋 = 𝑌))
119	112, 118	biimtrid 245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
120	119	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
121	111, 120	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ → 𝑋 = 𝑌))
122	102, 108, 121	3jaod 1457	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) ∧ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌))
123	122	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
124	48, 71, 123	3jaod 1457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
125		op2ndg 8046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐼) → (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋)
126	11, 125	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋)
127	126	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋)
128		oveq1 7456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) = (𝑋 + 𝐾))
129	128	oveq1d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁))
130	129	opeq2d 4850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
131	130	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
132		opeq2 4844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩)
133	132	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩))
134		oveq1 7456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) = (𝑋 − 𝐾))
135	134	oveq1d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁))
136	135	opeq2d 4850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩)
137	136	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩))
138	131, 133, 137	3orbi123d 1464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → ((⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) ↔ (⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
139	130	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩))
140	132	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩))
141	136	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩))
142	139, 140, 141	3orbi123d 1464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) ↔ (⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩)))
143	142	imbi1d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌) ↔ ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
144	138, 143	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) = 𝑋 → (((⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)) ↔ ((⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌))))
145	127, 144	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (((⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)) ↔ ((⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, 𝑋⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑋 − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌))))
146	124, 145	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
147	30, 146	syld 48	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → 𝑋 = 𝑌)))
148	147	com23 87	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩)⟩ ∨ ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑋⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 → 𝑋 = 𝑌)))
149	24, 148	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 → 𝑋 = 𝑌)))
150	149	impd 416	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → 𝑋 = 𝑌))
151		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = 1
152	151	olci 880	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = 0 ∨ 1 = 1)
153	152	2a1i 12	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (𝑋 ∈ 𝐼 → (1 = 0 ∨ 1 = 1)))
154	153	imdistanri 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → ((1 = 0 ∨ 1 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼))
155	154	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ((1 = 0 ∨ 1 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼))
156	40, 17, 18, 19	opgpgvtx 49420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (⟨1, 𝑌⟩ ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ ((1 = 0 ∨ 1 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))
157	5, 156	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, 𝑌⟩ ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ ((1 = 0 ∨ 1 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))
158	157	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (⟨1, 𝑌⟩ ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ ((1 = 0 ∨ 1 = 1) ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)))
159	155, 158	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ⟨1, 𝑌⟩ ∈ (Vtx‘𝐺))
160	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → 1 ∈ V)
161		op1stg 8045	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (1^st ‘⟨1, 𝑌⟩) = 1)
162	160, 161	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (1^st ‘⟨1, 𝑌⟩) = 1)
163	162	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (1^st ‘⟨1, 𝑌⟩) = 1)
164	17, 18, 19, 20	gpgedgvtx1 49427	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (⟨1, 𝑌⟩ ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (1^st ‘⟨1, 𝑌⟩) = 1)) → ({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
165	6, 159, 163, 164	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
166		op2ndg 8046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌)
167	8, 166	mpan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌)
168		oveq1 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) = (𝑌 − 𝐾))
169	168	oveq1d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁))
170	169	opeq2d 4850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩)
171	170	preq2d 4701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩})
172		prcom 4693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩}
173	171, 172	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩})
174	173	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → ({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸))
175		oveq1 7456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) = (𝑌 + 𝐾))
176	175	oveq1d 7464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁))
177	176	opeq2d 4850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
178	177	preq2d 4701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
179	178	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → ({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
180	174, 179	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) = 𝑌 → (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
181	167, 180	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
182	181	biimpcd 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (𝑌 ∈ 𝐼 → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
183	182	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (𝑌 ∈ 𝐼 → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
184	183	3adant2 1149	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → (𝑌 ∈ 𝐼 → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
185	184	com12 33	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐼 → (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
186	185	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
187	186	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (({⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨0, (2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, (((2^nd ‘⟨1, 𝑌⟩) − 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
188	165, 187	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
189		opeq2 4844	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ⟨1, 𝑋⟩ = ⟨1, 𝑌⟩)
190	189	preq2d 4701	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → {⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} = {⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩})
191	190	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸))
192	189	preq1d 4700	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
193	192	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
194	191, 193	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑌⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑌⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
195	188, 194	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (𝑋 = 𝑌 → ({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
196	150, 195	impbid 215	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) ∧ (𝑋 ∈ 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) ∧ (𝐾 ∈ 𝐽 ∧ ((4 · 𝐾) mod 𝑁) ≠ 0)) → (({⟨1, ((𝑌 − 𝐾) mod 𝑁)⟩, ⟨1, 𝑋⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨1, ((𝑌 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∨ w3o 1102 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ≠ wne 2959 Vcvv 3454 {cpr 4590 ⟨cop 4838 ‘cfv 6564 (class class class)co 7449 1^st c1st 8031 2^nd c2nd 8032 0cc0 11237 1c1 11238 + caddc 11240 · cmul 11242 − cmin 11578 / cdiv 12011 ℕcn 12373 2c2 12435 3c3 12436 4c4 12437 5c5 12438 ℤcz 12731 ℤ_≥cuz 13003 ..^cfzo 13826 ⌈cceil 13969 mod cmo 14047 Vtxcvtx 29620 Edgcedg 29671 gPetersenGr cgpg 49405

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5236 ax-sep 5253 ax-nul 5264 ax-pow 5332 ax-pr 5396 ax-un 7781 ax-cnex 11293 ax-resscn 11294 ax-1cn 11295 ax-icn 11296 ax-addcl 11297 ax-addrcl 11298 ax-mulcl 11299 ax-mulrcl 11300 ax-mulcom 11301 ax-addass 11302 ax-mulass 11303 ax-distr 11304 ax-i2m1 11305 ax-1ne0 11306 ax-1rid 11307 ax-rnegex 11308 ax-rrecex 11309 ax-cnre 11310 ax-pre-lttri 11311 ax-pre-lttrn 11312 ax-pre-ltadd 11313 ax-pre-mulgt0 11314 ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-op 4839 df-uni 4871 df-int 4911 df-iun 4956 df-br 5107 df-opab 5172 df-mpt 5191 df-tr 5217 df-id 5551 df-eprel 5556 df-po 5564 df-so 5565 df-fr 5609 df-we 5611 df-xp 5662 df-rel 5663 df-cnv 5664 df-co 5665 df-dm 5666 df-rn 5667 df-res 5668 df-ima 5669 df-pred 6328 df-ord 6389 df-on 6390 df-lim 6391 df-suc 6392 df-iota 6518 df-fun 6566 df-fn 6567 df-f 6568 df-f1 6569 df-fo 6570 df-f1o 6571 df-fv 6572 df-riota 7406 df-ov 7452 df-oprab 7453 df-mpo 7454 df-om 7910 df-1st 8033 df-2nd 8034 df-frecs 8335 df-wrecs 8366 df-recs 8415 df-rdg 8454 df-1o 8512 df-oadd 8516 df-er 8753 df-en 9010 df-dom 9011 df-sdom 9012 df-fin 9013 df-sup 9469 df-inf 9470 df-dju 10017 df-card 10055 df-pnf 11382 df-mnf 11383 df-xr 11384 df-ltxr 11385 df-le 11386 df-sub 11580 df-neg 11581 df-div 12012 df-nn 12374 df-2 12443 df-3 12444 df-4 12445 df-5 12446 df-6 12447 df-7 12448 df-8 12449 df-9 12450 df-n0 12645 df-xnn0 12718 df-z 12732 df-dec 12853 df-uz 13004 df-rp 13159 df-ico 13520 df-fz 13678 df-fzo 13827 df-fl 13970 df-ceil 13971 df-mod 14048 df-hash 14514 df-dvds 16464 df-struct 17366 df-slot 17401 df-ndx 17413 df-base 17429 df-edgf 29613 df-vtx 29622 df-iedg 29623 df-edg 29672 df-umgr 29707 df-usgr 29778 df-gpg 49406

This theorem is used by: pgnbgreunbgrlem4 49484

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