MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mertens Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mertens 15838
Description: Mertens' theorem. If 𝐴(𝑗) is an absolutely convergent series and 𝐡(π‘˜) is convergent, then (Σ𝑗 ∈ β„•0𝐴(𝑗) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0𝐡(π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0Σ𝑗 ∈ (0...π‘˜)(𝐴(𝑗) Β· 𝐡(π‘˜ βˆ’ 𝑗)) (and this latter series is convergent). This latter sum is commonly known as the Cauchy product of the sequences. The proof follows the outline at http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_product#Proof_of_Mertens.27_theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴)
mertens.2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜π‘—) = (absβ€˜π΄))
mertens.3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
mertens.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = 𝐡)
mertens.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
mertens.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π»β€˜π‘˜) = Σ𝑗 ∈ (0...π‘˜)(𝐴 Β· (πΊβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑗))))
mertens.7 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
mertens.8 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
mertens (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐻) ⇝ (Σ𝑗 ∈ β„•0 𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑗   𝑗,π‘˜,𝐺   πœ‘,𝑗,π‘˜   𝐴,π‘˜   𝑗,𝐾,π‘˜   𝑗,𝐹   π‘˜,𝐻
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐡(π‘˜)   𝐹(π‘˜)   𝐻(𝑗)

Proof of Theorem mertens
Dummy variables π‘š 𝑛 𝑠 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑖 𝑙 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12868 . 2 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12574 . 2 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
3 seqex 13974 . . 3 seq0( + , 𝐻) ∈ V
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐻) ∈ V)
5 mertens.6 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π»β€˜π‘˜) = Σ𝑗 ∈ (0...π‘˜)(𝐴 Β· (πΊβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑗))))
6 fzfid 13944 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0...π‘˜) ∈ Fin)
7 simpl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ πœ‘)
8 elfznn0 13600 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0...π‘˜) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
9 mertens.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
107, 8, 9syl2an 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
11 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 𝑗) β†’ (πΊβ€˜π‘–) = (πΊβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑗)))
1211eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (𝑖 = (π‘˜ βˆ’ 𝑗) β†’ ((πΊβ€˜π‘–) ∈ β„‚ ↔ (πΊβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑗)) ∈ β„‚))
13 mertens.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = 𝐡)
14 mertens.5 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1513, 14eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1615ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
17 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘–))
1817eleq1d 2812 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„‚))
1918cbvralvw 3228 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ βˆ€π‘– ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
2016, 19sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
2120ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘˜)) β†’ βˆ€π‘– ∈ β„•0 (πΊβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
22 fznn0sub 13539 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...π‘˜) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑗) ∈ β„•0)
2322adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘˜)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑗) ∈ β„•0)
2412, 21, 23rspcdva 3607 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘˜)) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑗)) ∈ β„‚)
2510, 24mulcld 11238 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘˜)) β†’ (𝐴 Β· (πΊβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑗))) ∈ β„‚)
266, 25fsumcl 15685 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...π‘˜)(𝐴 Β· (πΊβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑗))) ∈ β„‚)
275, 26eqeltrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π»β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
281, 2, 27serf 14001 . . 3 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐻):β„•0βŸΆβ„‚)
2928ffvelcdmda 7080 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (seq0( + , 𝐻)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
30 mertens.1 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴)
3130adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐴)
32 mertens.2 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜π‘—) = (absβ€˜π΄))
3332adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜π‘—) = (absβ€˜π΄))
349adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3513adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = 𝐡)
3614adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
375adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π»β€˜π‘˜) = Σ𝑗 ∈ (0...π‘˜)(𝐴 Β· (πΊβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑗))))
38 mertens.7 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
3938adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
40 mertens.8 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
4140adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
42 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
43 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘™) = (πΊβ€˜π‘˜))
4443cbvsumv 15648 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1))(πΊβ€˜π‘™) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1))(πΊβ€˜π‘˜)
45 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)))
4645sumeq1d 15653 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1))(πΊβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜))
4744, 46eqtrid 2778 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 β†’ Σ𝑙 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1))(πΊβ€˜π‘™) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜))
4847fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 β†’ (absβ€˜Ξ£π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1))(πΊβ€˜π‘™)) = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜)))
4948eqeq2d 2737 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛 β†’ (𝑒 = (absβ€˜Ξ£π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1))(πΊβ€˜π‘™)) ↔ 𝑒 = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜))))
5049cbvrexvw 3229 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘– ∈ (0...(𝑠 βˆ’ 1))𝑒 = (absβ€˜Ξ£π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1))(πΊβ€˜π‘™)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝑠 βˆ’ 1))𝑒 = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜)))
51 eqeq1 2730 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑧 β†’ (𝑒 = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜)) ↔ 𝑧 = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜))))
5251rexbidv 3172 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝑠 βˆ’ 1))𝑒 = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝑠 βˆ’ 1))𝑧 = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜))))
5350, 52bitrid 283 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0...(𝑠 βˆ’ 1))𝑒 = (absβ€˜Ξ£π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1))(πΊβ€˜π‘™)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝑠 βˆ’ 1))𝑧 = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜))))
5453cbvabv 2799 . . . . 5 {𝑒 ∣ βˆƒπ‘– ∈ (0...(𝑠 βˆ’ 1))𝑒 = (absβ€˜Ξ£π‘™ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑖 + 1))(πΊβ€˜π‘™))} = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝑠 βˆ’ 1))𝑧 = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜))}
55 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ (πΎβ€˜π‘–) = (πΎβ€˜π‘—))
5655cbvsumv 15648 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑖 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘–) = Σ𝑗 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘—)
5756oveq1i 7415 . . . . . . . . . 10 (Σ𝑖 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘–) + 1) = (Σ𝑗 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘—) + 1)
5857oveq2i 7416 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ / 2) / (Σ𝑖 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘–) + 1)) = ((π‘₯ / 2) / (Σ𝑗 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘—) + 1))
5958breq2i 5149 . . . . . . . 8 ((absβ€˜Ξ£π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 + 1))(πΊβ€˜π‘–)) < ((π‘₯ / 2) / (Σ𝑖 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘–) + 1)) ↔ (absβ€˜Ξ£π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 + 1))(πΊβ€˜π‘–)) < ((π‘₯ / 2) / (Σ𝑗 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘—) + 1)))
60 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘–) = (πΊβ€˜π‘˜))
6160cbvsumv 15648 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 + 1))(πΊβ€˜π‘–) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 + 1))(πΊβ€˜π‘˜)
62 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑛 β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)))
6362sumeq1d 15653 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑛 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 + 1))(πΊβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜))
6461, 63eqtrid 2778 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑛 β†’ Σ𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 + 1))(πΊβ€˜π‘–) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜))
6564fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑛 β†’ (absβ€˜Ξ£π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 + 1))(πΊβ€˜π‘–)) = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜)))
6665breq1d 5151 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑛 β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 + 1))(πΊβ€˜π‘–)) < ((π‘₯ / 2) / (Σ𝑗 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘—) + 1)) ↔ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜)) < ((π‘₯ / 2) / (Σ𝑗 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘—) + 1))))
6759, 66bitrid 283 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑛 β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 + 1))(πΊβ€˜π‘–)) < ((π‘₯ / 2) / (Σ𝑖 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘–) + 1)) ↔ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜)) < ((π‘₯ / 2) / (Σ𝑗 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘—) + 1))))
6867cbvralvw 3228 . . . . . 6 (βˆ€π‘’ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ )(absβ€˜Ξ£π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 + 1))(πΊβ€˜π‘–)) < ((π‘₯ / 2) / (Σ𝑖 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘–) + 1)) ↔ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ )(absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜)) < ((π‘₯ / 2) / (Σ𝑗 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘—) + 1)))
6968anbi2i 622 . . . . 5 ((𝑠 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘’ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ )(absβ€˜Ξ£π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑒 + 1))(πΊβ€˜π‘–)) < ((π‘₯ / 2) / (Σ𝑖 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘–) + 1))) ↔ (𝑠 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘› ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘ )(absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1))(πΊβ€˜π‘˜)) < ((π‘₯ / 2) / (Σ𝑗 ∈ β„•0 (πΎβ€˜π‘—) + 1))))
7031, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 41, 42, 54, 69mertenslem2 15837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...π‘š)(𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡)) < π‘₯)
71 eluznn0 12905 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
72 fzfid 13944 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (0...π‘š) ∈ Fin)
73 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ πœ‘)
74 elfznn0 13600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...π‘š) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
761, 2, 13, 14, 40isumcl 15713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 ∈ β„‚)
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 ∈ β„‚)
7830, 9eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
7977, 78mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)) ∈ β„‚)
8073, 75, 79syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)) ∈ β„‚)
81 fzfid 13944 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗)) ∈ Fin)
82 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))) β†’ πœ‘)
8374ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
8482, 83, 9syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
85 elfznn0 13600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8685adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8782, 86, 15syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8884, 87mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))) β†’ (𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
8981, 88fsumcl 15685 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
9072, 80, 89fsumsub 15740 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...π‘š)((Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘˜))) = (Σ𝑗 ∈ (0...π‘š)(Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (0...π‘š)Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘˜))))
9173, 75, 9syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
9276ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 ∈ β„‚)
9381, 87fsumcl 15685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
9491, 92, 93subdid 11674 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ (𝐴 Β· (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(πΊβ€˜π‘˜))) = ((𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡) βˆ’ (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(πΊβ€˜π‘˜))))
95 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1)) = (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))
96 fznn0sub 13539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0...π‘š) β†’ (π‘š βˆ’ 𝑗) ∈ β„•0)
9796adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ (π‘š βˆ’ 𝑗) ∈ β„•0)
98 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š βˆ’ 𝑗) ∈ β„•0 β†’ ((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1) ∈ β„•0)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ ((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1) ∈ β„•0)
10099nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ ((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1) ∈ β„€)
101 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))) β†’ πœ‘)
102 eluznn0 12905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1) ∈ β„•0 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
10399, 102sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
104101, 103, 13syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = 𝐡)
105101, 103, 14syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
10640ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
10773, 13sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = 𝐡)
10873, 14sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
109107, 108eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1101, 99, 109iserex 15609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
111106, 110mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ seq((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
11295, 100, 104, 105, 111isumcl 15713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡 ∈ β„‚)
1131, 95, 99, 107, 108, 106isumsplit 15792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1) βˆ’ 1))𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡))
11497nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ (π‘š βˆ’ 𝑗) ∈ β„‚)
115 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ β„‚
116 pncan 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘š βˆ’ 𝑗) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1) βˆ’ 1) = (π‘š βˆ’ 𝑗))
117114, 115, 116sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ (((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1) βˆ’ 1) = (π‘š βˆ’ 𝑗))
118117oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ (0...(((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1) βˆ’ 1)) = (0...(π‘š βˆ’ 𝑗)))
119118sumeq1d 15653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1) βˆ’ 1))𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))𝐡)
12082, 86, 13syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) ∧ π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = 𝐡)
121120sumeq2dv 15655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(πΊβ€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))𝐡)
122119, 121eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1) βˆ’ 1))𝐡 = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(πΊβ€˜π‘˜))
123122oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1) βˆ’ 1))𝐡 + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(πΊβ€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡))
124113, 123eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(πΊβ€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡))
12593, 112, 124mvrladdd 11631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(πΊβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡)
126125oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ (𝐴 Β· (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(πΊβ€˜π‘˜))) = (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡))
1279, 77mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· 𝐴))
12830oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· 𝐴))
129127, 128eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)))
13073, 75, 129syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)))
13181, 91, 87fsummulc2 15736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(πΊβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
132130, 131oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ ((𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡) βˆ’ (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(πΊβ€˜π‘˜))) = ((Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘˜))))
13394, 126, 1323eqtr3rd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ ((Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘˜))) = (𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡))
134133sumeq2dv 15655 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...π‘š)((Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘˜))) = Σ𝑗 ∈ (0...π‘š)(𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡))
135 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘—))
136135oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑗 β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›)) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)))
137 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›)))
138 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)) ∈ V
139136, 137, 138fvmpt 6992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)))
14075, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ (0...π‘š)) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘—) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)))
141 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ β„•0)
142141, 1eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
143140, 142, 80fsumser 15682 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...π‘š)(Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›))))β€˜π‘š))
144 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜π‘˜))
145144oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘›)) = (𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘˜)))
146 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (π‘˜ βˆ’ 𝑗) β†’ (πΊβ€˜π‘›) = (πΊβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑗)))
147146oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (π‘˜ βˆ’ 𝑗) β†’ (𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘›)) = (𝐴 Β· (πΊβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑗))))
14888anasss 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ (𝑗 ∈ (0...π‘š) ∧ π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗)))) β†’ (𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
149145, 147, 148fsum0diag2 15735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...π‘š)Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘š)Σ𝑗 ∈ (0...π‘˜)(𝐴 Β· (πΊβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑗))))
150 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...π‘š)) β†’ πœ‘)
151 elfznn0 13600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (0...π‘š) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
152151adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...π‘š)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
153150, 152, 5syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...π‘š)) β†’ (π»β€˜π‘˜) = Σ𝑗 ∈ (0...π‘˜)(𝐴 Β· (πΊβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑗))))
154150, 152, 26syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ (0...π‘š)) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...π‘˜)(𝐴 Β· (πΊβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑗))) ∈ β„‚)
155153, 142, 154fsumser 15682 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...π‘š)Σ𝑗 ∈ (0...π‘˜)(𝐴 Β· (πΊβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑗))) = (seq0( + , 𝐻)β€˜π‘š))
156149, 155eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ Σ𝑗 ∈ (0...π‘š)Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘˜)) = (seq0( + , 𝐻)β€˜π‘š))
157143, 156oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (Σ𝑗 ∈ (0...π‘š)(Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘—)) βˆ’ Σ𝑗 ∈ (0...π‘š)Ξ£π‘˜ ∈ (0...(π‘š βˆ’ 𝑗))(𝐴 Β· (πΊβ€˜π‘˜))) = ((seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›))))β€˜π‘š) βˆ’ (seq0( + , 𝐻)β€˜π‘š)))
15890, 134, 1573eqtr3rd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›))))β€˜π‘š) βˆ’ (seq0( + , 𝐻)β€˜π‘š)) = Σ𝑗 ∈ (0...π‘š)(𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡))
159158fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜((seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›))))β€˜π‘š) βˆ’ (seq0( + , 𝐻)β€˜π‘š))) = (absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...π‘š)(𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡)))
160159breq1d 5151 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((absβ€˜((seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›))))β€˜π‘š) βˆ’ (seq0( + , 𝐻)β€˜π‘š))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...π‘š)(𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡)) < π‘₯))
16171, 160sylan2 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦))) β†’ ((absβ€˜((seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›))))β€˜π‘š) βˆ’ (seq0( + , 𝐻)β€˜π‘š))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...π‘š)(𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡)) < π‘₯))
162161anassrs 467 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)) β†’ ((absβ€˜((seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›))))β€˜π‘š) βˆ’ (seq0( + , 𝐻)β€˜π‘š))) < π‘₯ ↔ (absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...π‘š)(𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡)) < π‘₯))
163162ralbidva 3169 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(absβ€˜((seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›))))β€˜π‘š) βˆ’ (seq0( + , 𝐻)β€˜π‘š))) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...π‘š)(𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡)) < π‘₯))
164163rexbidva 3170 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(absβ€˜((seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›))))β€˜π‘š) βˆ’ (seq0( + , 𝐻)β€˜π‘š))) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...π‘š)(𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡)) < π‘₯))
165164adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(absβ€˜((seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›))))β€˜π‘š) βˆ’ (seq0( + , 𝐻)β€˜π‘š))) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(absβ€˜Ξ£π‘— ∈ (0...π‘š)(𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((π‘š βˆ’ 𝑗) + 1))𝐡)) < π‘₯))
16670, 165mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(absβ€˜((seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›))))β€˜π‘š) βˆ’ (seq0( + , 𝐻)β€˜π‘š))) < π‘₯)
167166ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘¦)(absβ€˜((seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›))))β€˜π‘š) βˆ’ (seq0( + , 𝐻)β€˜π‘š))) < π‘₯)
16830fveq2d 6889 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)) = (absβ€˜π΄))
16932, 168eqtr4d 2769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (πΎβ€˜π‘—) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘—)))
1701, 2, 169, 78, 38abscvgcvg 15771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
1711, 2, 30, 9, 170isumclim2 15710 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑗 ∈ β„•0 𝐴)
17278ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚)
173 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘š))
174173eleq1d 2812 . . . . . 6 (𝑗 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚ ↔ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚))
175174rspccva 3605 . . . . 5 ((βˆ€π‘— ∈ β„•0 (πΉβ€˜π‘—) ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
176172, 175sylan 579 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
177 fveq2 6885 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘š))
178177oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›)) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š)))
179 ovex 7438 . . . . . 6 (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š)) ∈ V
180178, 137, 179fvmpt 6992 . . . . 5 (π‘š ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘š) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š)))
181180adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘š) = (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘š)))
1821, 2, 76, 171, 176, 181isermulc2 15610 . . 3 (πœ‘ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›)))) ⇝ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· Σ𝑗 ∈ β„•0 𝐴))
1831, 2, 30, 9, 170isumcl 15713 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑗 ∈ β„•0 𝐴 ∈ β„‚)
18476, 183mulcomd 11239 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· Σ𝑗 ∈ β„•0 𝐴) = (Σ𝑗 ∈ β„•0 𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡))
185182, 184breqtrd 5167 . 2 (πœ‘ β†’ seq0( + , (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡 Β· (πΉβ€˜π‘›)))) ⇝ (Σ𝑗 ∈ β„•0 𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡))
1861, 2, 4, 29, 167, 1852clim 15522 1 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐻) ⇝ (Σ𝑗 ∈ β„•0 𝐴 Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12980  ...cfz 13490  seqcseq 13972  abscabs 15187   ⇝ cli 15434  Ξ£csu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  efaddlem  16043
  Copyright terms: Public domain W3C validator