Theorem efiarg 26638

Description: The exponential of the "arg" function ℑ ∘ log. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efiarg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))

Proof of Theorem efiarg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcl 26599	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
2	1	recld 15193	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
3	2	recnd 11196	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
4		efsub 16104	. . 3 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐴) − (ℜ‘(log‘𝐴)))) = ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴)))))
5	1, 3, 4	syl2anc 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘((log‘𝐴) − (ℜ‘(log‘𝐴)))) = ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴)))))
6		ax-icn 11118	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
7	1	imcld 15194	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11196	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
9		mulcl 11143	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
10	6, 8, 9	sylancr 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
11	1	replimd 15196	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) = ((ℜ‘(log‘𝐴)) + (i · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
12	3, 10, 11	mvrladdd 11586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((log‘𝐴) − (ℜ‘(log‘𝐴))) = (i · (ℑ‘(log‘𝐴))))
13	12	fveq2d 6856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘((log‘𝐴) − (ℜ‘(log‘𝐴)))) = (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
14		eflog 26607	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
15		relog 26628	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
16	15	fveq2d 6856	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) = (exp‘(log‘(abs‘𝐴))))
17		abscl 15277	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
18	17	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11196	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
20		absrpcl 15287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
21	20	rpne0d 13028	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
22		eflog 26607	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(log‘(abs‘𝐴))) = (abs‘𝐴))
23	19, 21, 22	syl2anc 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘(abs‘𝐴))) = (abs‘𝐴))
24	16, 23	eqtrd 2787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴))) = (abs‘𝐴))
25	14, 24	oveq12d 7399	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp‘(log‘𝐴)) / (exp‘(ℜ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))
26	5, 13, 25	3eqtr3d 2795	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (𝐴 / (abs‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  ℝcr 11058  0cc0 11059  ici 11061   · cmul 11064   − cmin 11400   / cdiv 11830  ℜcre 15096  ℑcim 15097  abscabs 15233  expce 16063  logclog 26585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-fsupp 9294  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-q 12936  df-rp 12980  df-xneg 13100  df-xadd 13101  df-xmul 13102  df-ioo 13339  df-ioc 13340  df-ico 13341  df-icc 13342  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-fl 13788  df-mod 13866  df-seq 14001  df-exp 14061  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15066  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-limsup 15470  df-clim 15487  df-rlim 15488  df-sum 15686  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-pi 16074  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-hom 17282  df-cco 17283  df-rest 17423  df-topn 17424  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-topgen 17444  df-pt 17445  df-prds 17448  df-xrs 17504  df-qtop 17509  df-imas 17510  df-xps 17512  df-mre 17586  df-mrc 17587  df-acs 17589  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-submnd 18790  df-mulg 19082  df-cntz 19329  df-cmn 19794  df-psmet 21385  df-xmet 21386  df-met 21387  df-bl 21388  df-mopn 21389  df-fbas 21390  df-fg 21391  df-cnfld 21394  df-top 22923  df-topon 22940  df-topsp 22962  df-bases 22975  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24349  df-ms 24350  df-tms 24351  df-cncf 24909  df-limc 25897  df-dv 25898  df-log 26587

This theorem is referenced by:  cosargd  26639  argregt0  26641  argrege0  26642  argimgt0  26643  tanarg  26650  lawcos  26847  efiargd  32887