MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mtest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mtest 26461
Description: The Weierstrass M-test. If 𝐹 is a sequence of functions which are uniformly bounded by the convergent sequence 𝑀(𝑘), then the series generated by the sequence 𝐹 converges uniformly. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
mtest.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
mtest.s (𝜑𝑆𝑉)
mtest.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
mtest.m (𝜑𝑀𝑊)
mtest.c ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀𝑘) ∈ ℝ)
mtest.l ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀𝑘))
mtest.d (𝜑 → seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
mtest (𝜑 → seq𝑁( ∘f + , 𝐹) ∈ dom (⇝𝑢𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑧,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem mtest
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2 mtest.d . . . 4 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ )
3 mtest.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑁)
43climcau 15703 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟)
51, 2, 4syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟)
6 seqfn 14050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℤ → seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (ℤ𝑁))
71, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (ℤ𝑁))
83fneq2i 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍 ↔ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (ℤ𝑁))
97, 8sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍)
10 mtest.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑆𝑉)
1110elexd 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑆 ∈ V)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑆 ∈ V)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
1413, 3eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑁))
15 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
17 elfzuz 13556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑖) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
1817, 3eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑖) → 𝑘𝑍)
19 ffvelcdm 7100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
2016, 18, 19syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
21 elmapi 8887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2322feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹𝑘) = (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)))
2418adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → 𝑘𝑍)
25 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
2625fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
27 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))
28 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
3024, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
3130mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝑧𝑆 ↦ ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))‘𝑘)) = (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)))
3223, 31eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹𝑘) = (𝑧𝑆 ↦ ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))‘𝑘)))
3312, 14, 32seqof 14096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑍) → (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)))
341adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑁 ∈ ℤ)
3515ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
36 elmapi 8887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (𝐹𝑛):𝑆⟶ℂ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):𝑆⟶ℂ)
3837ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑛)‘𝑧) ∈ ℂ)
3938an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑧) ∈ ℂ)
4039fmpttd 7134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)):𝑍⟶ℂ)
4140ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑖𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))‘𝑖) ∈ ℂ)
423, 34, 41serf 14067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧𝑆) → seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))):𝑍⟶ℂ)
4342ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑖𝑍) → (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) ∈ ℂ)
4443an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑧𝑆) → (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) ∈ ℂ)
4544fmpttd 7134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ)
46 cnex 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℂ ∈ V
47 elmapg 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ))
4846, 12, 47sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) ↔ (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ))
4945, 48mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
5033, 49eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝑍) → (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
5150ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑖𝑍 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
52 ffnfv 7138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆) ↔ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍 ∧ ∀𝑖𝑍 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑m 𝑆)))
539, 51, 52sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → seq𝑁( ∘f + , 𝐹):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
5453ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑁( ∘f + , 𝐹):𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
553uztrn2 12894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑖𝑍)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑖𝑍)
5754, 56ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
58 elmapi 8887 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖):𝑆⟶ℂ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖):𝑆⟶ℂ)
6059ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) ∈ ℂ)
61 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗𝑍)
6254, 61ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
63 elmapi 8887 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗) ∈ (ℂ ↑m 𝑆) → (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗):𝑆⟶ℂ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗):𝑆⟶ℂ)
6564ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ)
6660, 65subcld 11617 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧)) ∈ ℂ)
6766abscld 15471 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ∈ ℝ)
68 fzfid 14010 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑗 + 1)...𝑖) ∈ Fin)
69 ssun2 4188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 + 1)...𝑖) ⊆ ((𝑁...𝑗) ∪ ((𝑗 + 1)...𝑖))
7061, 3eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
71 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))
72 elfzuzb 13554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (𝑁...𝑖) ↔ (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)))
7370, 71, 72sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ (𝑁...𝑖))
74 fzsplit 13586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (𝑁...𝑖) → (𝑁...𝑖) = ((𝑁...𝑗) ∪ ((𝑗 + 1)...𝑖)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑁...𝑖) = ((𝑁...𝑗) ∪ ((𝑗 + 1)...𝑖)))
7669, 75sseqtrrid 4048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑗 + 1)...𝑖) ⊆ (𝑁...𝑖))
7776sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖))
7877adantlr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖))
7915ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑m 𝑆))
8079, 18, 19syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
8180, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
8281ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
8382an32s 652 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
8478, 83syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
8584abscld 15471 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ ℝ)
8668, 85fsumrecl 15766 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ ℝ)
87 mtest.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀𝑘) ∈ ℝ)
883, 1, 87serfre 14068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝑀):𝑍⟶ℝ)
8988ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑁( + , 𝑀):𝑍⟶ℝ)
9089, 56ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) ∈ ℝ)
9189, 61ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗) ∈ ℝ)
9290, 91resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗)) ∈ ℝ)
9392recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗)) ∈ ℂ)
9493abscld 15471 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∈ ℝ)
9594adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∈ ℝ)
9655, 33sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)))
9796adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)))
9897fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) = ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))‘𝑧))
99 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) ∈ V
100 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))
101100fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑆 ∧ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) ∈ V) → ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))
10299, 101mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑆 → ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))
10398, 102sylan9eq 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))
104 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖) = (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗))
105 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))
106105mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)))
107104, 106eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 → ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) ↔ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))))
10833ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑖𝑍 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)))
109108ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ∀𝑖𝑍 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)))
110107, 109, 61rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)))
111110fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧) = ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))‘𝑧))
112 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗) ∈ V
113 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))
114113fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑆 ∧ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗) ∈ V) → ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))
115112, 114mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑆 → ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))
116111, 115sylan9eq 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))
117103, 116oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧)) = ((seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) − (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)))
11818adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → 𝑘𝑍)
119118, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
12056adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑖𝑍)
121120, 3eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑁))
122119, 121, 83fsumser 15762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))
123 elfzuz 13556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
124123, 3eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑗) → 𝑘𝑍)
125124adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → 𝑘𝑍)
126125, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
12761adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑗𝑍)
128127, 3eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
12979, 124, 19syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑m 𝑆))
130129, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
131130ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
132131an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
133126, 128, 132fsumser 15762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹𝑘)‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))
134122, 133oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹𝑘)‘𝑧)) = ((seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) − (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)))
135 fzfid 14010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑁...𝑗) ∈ Fin)
136135, 132fsumcl 15765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
13768, 84fsumcl 15765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
138 eluzelre 12886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
13970, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ)
140139ltp1d 12195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 < (𝑗 + 1))
141 fzdisj 13587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 < (𝑗 + 1) → ((𝑁...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑖)) = ∅)
142140, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑁...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑖)) = ∅)
143142adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑁...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑖)) = ∅)
14475adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑁...𝑖) = ((𝑁...𝑗) ∪ ((𝑗 + 1)...𝑖)))
145 fzfid 14010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑁...𝑖) ∈ Fin)
146143, 144, 145, 83fsumsplit 15773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧) = (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹𝑘)‘𝑧) + Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧)))
147136, 137, 146mvrladdd 11673 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹𝑘)‘𝑧)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧))
148117, 134, 1473eqtr2d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧))
149148fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧)))
15068, 84fsumabs 15833 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)))
151149, 150eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)))
152 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝜑)
153152, 18, 87syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝑀𝑘) ∈ ℝ)
15477, 153syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (𝑀𝑘) ∈ ℝ)
155154adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (𝑀𝑘) ∈ ℝ)
15678, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 𝑘𝑍)
157 mtest.l . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀𝑘))
158157ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀𝑘))
159158anass1rs 655 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀𝑘))
160156, 159syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀𝑘))
16168, 85, 155, 160fsumle 15831 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘))
162 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝑀𝑘) = (𝑀𝑘))
16356, 3eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑁))
164153recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝑀𝑘) ∈ ℂ)
165162, 163, 164fsumser 15762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀𝑘) = (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖))
166 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝑀𝑘) = (𝑀𝑘))
167152, 124, 87syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝑀𝑘) ∈ ℝ)
168167recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝑀𝑘) ∈ ℂ)
169166, 70, 168fsumser 15762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀𝑘) = (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))
170165, 169oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀𝑘) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀𝑘)) = ((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗)))
171 fzfid 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑁...𝑗) ∈ Fin)
172171, 168fsumcl 15765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀𝑘) ∈ ℂ)
173 fzfid 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑗 + 1)...𝑖) ∈ Fin)
17477, 164syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (𝑀𝑘) ∈ ℂ)
175173, 174fsumcl 15765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘) ∈ ℂ)
176 fzfid 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑁...𝑖) ∈ Fin)
177142, 75, 176, 164fsumsplit 15773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘)))
178172, 175, 177mvrladdd 11673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀𝑘) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘))
179170, 178eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘))
180179fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘)))
181180adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘)))
182179, 92eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘) ∈ ℝ)
183182adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘) ∈ ℝ)
184 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 0 ∈ ℝ)
18584absge0d 15479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)))
186184, 85, 155, 185, 160letrd 11415 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 0 ≤ (𝑀𝑘))
18768, 155, 186fsumge0 15827 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘))
188183, 187absidd 15457 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘))
189181, 188eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘))
190161, 189breqtrrd 5175 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))))
19167, 86, 95, 151, 190letrd 11415 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ≤ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))))
192 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑟 ∈ ℝ+)
193192rpred 13074 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑟 ∈ ℝ)
194 lelttr 11348 . . . . . . . . . 10 (((abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ≤ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∧ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟) → (abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
19567, 95, 193, 194syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ≤ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∧ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟) → (abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
196191, 195mpand 695 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → (abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
197196ralrimdva 3151 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
198197anassrs 467 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
199198ralimdva 3164 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
200199reximdva 3165 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∃𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
201200ralimdva 3164 . . 3 (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
2025, 201mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟)
2033, 1, 10, 53ulmcau 26452 . 2 (𝜑 → (seq𝑁( ∘f + , 𝐹) ∈ dom (⇝𝑢𝑆) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
204202, 203mpbird 257 1 (𝜑 → seq𝑁( ∘f + , 𝐹) ∈ dom (⇝𝑢𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cun 3960  cin 3961  c0 4338   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  m cmap 8864  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  ...cfz 13543  seqcseq 14038  abscabs 15269  cli 15516  Σcsu 15718  𝑢culm 26433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ulm 26434
This theorem is referenced by:  pserulm  26479  lgamgulmlem6  27091  knoppcnlem6  36480
  Copyright terms: Public domain W3C validator