MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mtest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mtest 24564
Description: The Weierstrass M-test. If 𝐹 is a sequence of functions which are uniformly bounded by the convergent sequence 𝑀(𝑘), then the series generated by the sequence 𝐹 converges uniformly. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
mtest.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
mtest.s (𝜑𝑆𝑉)
mtest.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
mtest.m (𝜑𝑀𝑊)
mtest.c ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀𝑘) ∈ ℝ)
mtest.l ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀𝑘))
mtest.d (𝜑 → seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
mtest (𝜑 → seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹) ∈ dom (⇝𝑢𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑧,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem mtest
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2 mtest.d . . . 4 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ )
3 mtest.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑁)
43climcau 14785 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟)
51, 2, 4syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟)
6 seqfn 13114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℤ → seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹) Fn (ℤ𝑁))
71, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹) Fn (ℤ𝑁))
83fneq2i 6223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹) Fn 𝑍 ↔ seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹) Fn (ℤ𝑁))
97, 8sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹) Fn 𝑍)
10 mtest.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑆𝑉)
11 elex 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑆𝑉𝑆 ∈ V)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑆 ∈ V)
1312adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑆 ∈ V)
14 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
1514, 3syl6eleq 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑁))
16 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
1716adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑖𝑍) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
18 elfzuz 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑖) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
1918, 3syl6eleqr 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑖) → 𝑘𝑍)
20 ffvelrn 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
2117, 19, 20syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
22 elmapi 8149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2423feqmptd 6500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹𝑘) = (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)))
2519adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → 𝑘𝑍)
26 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
2726fveq1d 6439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
28 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))
29 fvex 6450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ V
3027, 28, 29fvmpt 6533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
3125, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
3231mpteq2dv 4970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝑧𝑆 ↦ ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))‘𝑘)) = (𝑧𝑆 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)))
3324, 32eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹𝑘) = (𝑧𝑆 ↦ ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))‘𝑘)))
3413, 15, 33seqof 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑍) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)))
351adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑁 ∈ ℤ)
3616ffvelrnda 6613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
37 elmapi 8149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑛):𝑆⟶ℂ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):𝑆⟶ℂ)
3938ffvelrnda 6613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑛)‘𝑧) ∈ ℂ)
4039an32s 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑧) ∈ ℂ)
4140fmpttd 6639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)):𝑍⟶ℂ)
4241ffvelrnda 6613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑖𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))‘𝑖) ∈ ℂ)
433, 35, 42serf 13130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧𝑆) → seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))):𝑍⟶ℂ)
4443ffvelrnda 6613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧𝑆) ∧ 𝑖𝑍) → (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) ∈ ℂ)
4544an32s 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖𝑍) ∧ 𝑧𝑆) → (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) ∈ ℂ)
4645fmpttd 6639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ)
47 cnex 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℂ ∈ V
48 elmapg 8140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ))
4947, 13, 48sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝑍) → ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ))
5046, 49mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝑍) → (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
5134, 50eqeltrd 2906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝑍) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
5251ralrimiva 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑖𝑍 (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
53 ffnfv 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹) Fn 𝑍 ∧ ∀𝑖𝑍 (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆)))
549, 52, 53sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
5554ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
563uztrn2 11993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑖𝑍)
5756adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑖𝑍)
5855, 57ffvelrnd 6614 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
59 elmapi 8149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖):𝑆⟶ℂ)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖):𝑆⟶ℂ)
6160ffvelrnda 6613 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) ∈ ℂ)
62 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗𝑍)
6355, 62ffvelrnd 6614 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
64 elmapi 8149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗):𝑆⟶ℂ)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗):𝑆⟶ℂ)
6665ffvelrnda 6613 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ)
6761, 66subcld 10720 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧)) ∈ ℂ)
6867abscld 14559 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ∈ ℝ)
69 fzfid 13074 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑗 + 1)...𝑖) ∈ Fin)
70 ssun2 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 + 1)...𝑖) ⊆ ((𝑁...𝑗) ∪ ((𝑗 + 1)...𝑖))
7162, 3syl6eleq 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
72 simprr 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))
73 elfzuzb 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (𝑁...𝑖) ↔ (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)))
7471, 72, 73sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ (𝑁...𝑖))
75 fzsplit 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (𝑁...𝑖) → (𝑁...𝑖) = ((𝑁...𝑗) ∪ ((𝑗 + 1)...𝑖)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑁...𝑖) = ((𝑁...𝑗) ∪ ((𝑗 + 1)...𝑖)))
7770, 76syl5sseqr 3879 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑗 + 1)...𝑖) ⊆ (𝑁...𝑖))
7877sselda 3827 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖))
7978adantlr 706 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖))
8016ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
8180, 19, 20syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
8281, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
8382ffvelrnda 6613 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
8483an32s 642 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
8579, 84syldan 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
8685abscld 14559 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ ℝ)
8769, 86fsumrecl 14849 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ ℝ)
88 mtest.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑀𝑘) ∈ ℝ)
893, 1, 88serfre 13131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → seq𝑁( + , 𝑀):𝑍⟶ℝ)
9089ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → seq𝑁( + , 𝑀):𝑍⟶ℝ)
9190, 57ffvelrnd 6614 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) ∈ ℝ)
9290, 62ffvelrnd 6614 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗) ∈ ℝ)
9391, 92resubcld 10789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗)) ∈ ℝ)
9493recnd 10392 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗)) ∈ ℂ)
9594abscld 14559 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∈ ℝ)
9695adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∈ ℝ)
9756, 34sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)))
9897adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)))
9998fveq1d 6439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) = ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))‘𝑧))
100 fvex 6450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) ∈ V
101 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))
102101fvmpt2 6543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑆 ∧ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) ∈ V) → ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))
103100, 102mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑆 → ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))
10499, 103sylan9eq 2881 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))
105 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) = (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗))
106 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 → (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))
107106mpteq2dv 4970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 → (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)))
108105, 107eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 → ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) ↔ (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))))
10934ralrimiva 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑖𝑍 (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)))
110109ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ∀𝑖𝑍 (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)))
111108, 110, 62rspcdva 3532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)))
112111fveq1d 6439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧) = ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))‘𝑧))
113 fvex 6450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗) ∈ V
114 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)) = (𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))
115114fvmpt2 6543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝑆 ∧ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗) ∈ V) → ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))
116113, 115mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑆 → ((𝑧𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))
117112, 116sylan9eq 2881 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))
118104, 117oveq12d 6928 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧)) = ((seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) − (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)))
11919adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → 𝑘𝑍)
120119, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
12157adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑖𝑍)
122121, 3syl6eleq 2916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑁))
123120, 122, 84fsumser 14845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))
124 elfzuz 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑁))
125124, 3syl6eleqr 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (𝑁...𝑗) → 𝑘𝑍)
126125adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → 𝑘𝑍)
127126, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
12862adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑗𝑍)
129128, 3syl6eleq 2916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
13080, 125, 20syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
131130, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
132131ffvelrnda 6613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
133132an32s 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
134127, 129, 133fsumser 14845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹𝑘)‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))
135123, 134oveq12d 6928 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹𝑘)‘𝑧)) = ((seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) − (seq𝑁( + , (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)))
136 eluzelre 11986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
13771, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ)
138137ltp1d 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗 < (𝑗 + 1))
139 fzdisj 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 < (𝑗 + 1) → ((𝑁...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑖)) = ∅)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑁...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑖)) = ∅)
141140adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝑁...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑖)) = ∅)
14276adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑁...𝑖) = ((𝑁...𝑗) ∪ ((𝑗 + 1)...𝑖)))
143 fzfid 13074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑁...𝑖) ∈ Fin)
144141, 142, 143, 84fsumsplit 14855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧) = (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹𝑘)‘𝑧) + Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧)))
145144eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹𝑘)‘𝑧) + Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧)) = Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧))
146143, 84fsumcl 14848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
147 fzfid 13074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑁...𝑗) ∈ Fin)
148147, 133fsumcl 14848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
14969, 85fsumcl 14848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
150146, 148, 149subaddd 10738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹𝑘)‘𝑧)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹𝑘)‘𝑧) + Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧)) = Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧)))
151145, 150mpbird 249 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹𝑘)‘𝑧)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧))
152118, 135, 1513eqtr2d 2867 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧))
153152fveq2d 6441 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧)))
15469, 85fsumabs 14914 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)))
155153, 154eqbrtrd 4897 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)))
156 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝜑)
157156, 19, 88syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝑀𝑘) ∈ ℝ)
15878, 157syldan 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (𝑀𝑘) ∈ ℝ)
159158adantlr 706 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (𝑀𝑘) ∈ ℝ)
16079, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 𝑘𝑍)
161 mtest.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀𝑘))
162161adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀𝑘))
163162adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀𝑘))
164163anass1rs 645 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘𝑍) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀𝑘))
165160, 164syldan 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀𝑘))
16669, 86, 159, 165fsumle 14912 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘))
167 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝑀𝑘) = (𝑀𝑘))
16857, 3syl6eleq 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑁))
169157recnd 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝑀𝑘) ∈ ℂ)
170167, 168, 169fsumser 14845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀𝑘) = (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖))
171 eqidd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝑀𝑘) = (𝑀𝑘))
172156, 125, 88syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝑀𝑘) ∈ ℝ)
173172recnd 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝑀𝑘) ∈ ℂ)
174171, 71, 173fsumser 14845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀𝑘) = (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))
175170, 174oveq12d 6928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀𝑘) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀𝑘)) = ((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗)))
176 fzfid 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑁...𝑖) ∈ Fin)
177140, 76, 176, 169fsumsplit 14855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘)))
178177eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀𝑘))
179176, 169fsumcl 14848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀𝑘) ∈ ℂ)
180 fzfid 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑁...𝑗) ∈ Fin)
181180, 173fsumcl 14848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀𝑘) ∈ ℂ)
182 fzfid 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝑗 + 1)...𝑖) ∈ Fin)
18378, 169syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (𝑀𝑘) ∈ ℂ)
184182, 183fsumcl 14848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘) ∈ ℂ)
185179, 181, 184subaddd 10738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀𝑘) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀𝑘)))
186178, 185mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀𝑘) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘))
187175, 186eqtr3d 2863 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘))
188187fveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘)))
189188adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘)))
190187, 93eqeltrrd 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘) ∈ ℝ)
191190adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘) ∈ ℝ)
192 0red 10367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 0 ∈ ℝ)
19385absge0d 14567 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)))
194192, 86, 159, 193, 165letrd 10520 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 0 ≤ (𝑀𝑘))
19569, 159, 194fsumge0 14908 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘))
196191, 195absidd 14545 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘))
197189, 196eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀𝑘))
198166, 197breqtrrd 4903 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))))
19968, 87, 96, 155, 198letrd 10520 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ≤ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))))
200 simpllr 793 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑟 ∈ ℝ+)
201200rpred 12163 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑟 ∈ ℝ)
202 lelttr 10454 . . . . . . . . . 10 (((abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (((abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ≤ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∧ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟) → (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
20368, 96, 201, 202syl3anc 1494 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ≤ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∧ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟) → (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
204199, 203mpand 686 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
205204ralrimdva 3178 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
206205anassrs 461 . . . . . 6 ((((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
207206ralimdva 3171 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
208207reximdva 3225 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∃𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
209208ralimdva 3171 . . 3 (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
2105, 209mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟)
2113, 1, 10, 54ulmcau 24555 . 2 (𝜑 → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹) ∈ dom (⇝𝑢𝑆) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑖 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟))
212210, 211mpbird 249 1 (𝜑 → seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹) ∈ dom (⇝𝑢𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  wrex 3118  Vcvv 3414  cun 3796  cin 3797  c0 4146   class class class wbr 4875  cmpt 4954  dom cdm 5346   Fn wfn 6122  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  𝑓 cof 7160  𝑚 cmap 8127  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   < clt 10398  cle 10399  cmin 10592  cz 11711  cuz 11975  +crp 12119  ...cfz 12626  seqcseq 13102  abscabs 14358  cli 14599  Σcsu 14800  𝑢culm 24536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-ico 12476  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-limsup 14586  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-ulm 24537
This theorem is referenced by:  pserulm  24582  lgamgulmlem6  25180  knoppcnlem6  33016
  Copyright terms: Public domain W3C validator