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Theorem mtest 26339
Description: The Weierstrass M-test. If 𝐹 is a sequence of functions which are uniformly bounded by the convergent sequence 𝑀(π‘˜), then the series generated by the sequence 𝐹 converges uniformly. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
mtest.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
mtest.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
mtest.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
mtest.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ π‘Š)
mtest.c ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
mtest.l ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
mtest.d (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
mtest (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†))
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀,𝑧   π‘˜,𝑁,𝑧   πœ‘,π‘˜,𝑧   π‘˜,𝑍,𝑧   𝑆,π‘˜,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑧,π‘˜)   π‘Š(𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem mtest
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑛 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2 mtest.d . . . 4 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ )
3 mtest.z . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
43climcau 15649 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) < π‘Ÿ)
51, 2, 4syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) < π‘Ÿ)
6 seqfn 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ β„€ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
71, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
83fneq2i 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍 ↔ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn (β„€β‰₯β€˜π‘))
97, 8sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍)
10 mtest.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
1110elexd 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑆 ∈ V)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
1413, 3eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
15 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
17 elfzuz 13529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
1817, 3eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
19 ffvelcdm 7091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
2016, 18, 19syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
21 elmapi 8867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
2322feqmptd 6967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
2418adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
25 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
2625fveq1d 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
27 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))
28 fvex 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 7005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
3024, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
3130mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))β€˜π‘˜)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
3223, 31eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))β€˜π‘˜)))
3312, 14, 32seqof 14056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–)))
341adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
3515ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
36 elmapi 8867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πΉβ€˜π‘›) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘›):π‘†βŸΆβ„‚)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘›):π‘†βŸΆβ„‚)
3837ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
3938an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
4039fmpttd 7125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)):π‘βŸΆβ„‚)
4140ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
423, 34, 41serf 14027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))):π‘βŸΆβ„‚)
4342ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
4443an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–) ∈ β„‚)
4544fmpttd 7125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–)):π‘†βŸΆβ„‚)
46 cnex 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„‚ ∈ V
47 elmapg 8857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–)):π‘†βŸΆβ„‚))
4846, 12, 47sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–)):π‘†βŸΆβ„‚))
4945, 48mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–)) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
5033, 49eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
5150ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
52 ffnfv 7129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆) ↔ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹) Fn 𝑍 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆)))
539, 51, 52sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
5453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹):π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
553uztrn2 12871 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
5754, 56ffvelcdmd 7095 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
58 elmapi 8867 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–):π‘†βŸΆβ„‚)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–):π‘†βŸΆβ„‚)
6059ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
61 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
6254, 61ffvelcdmd 7095 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
63 elmapi 8867 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—):π‘†βŸΆβ„‚)
6564ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
6660, 65subcld 11601 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§)) ∈ β„‚)
6766abscld 15415 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) ∈ ℝ)
68 fzfid 13970 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑗 + 1)...𝑖) ∈ Fin)
69 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑗 + 1)...𝑖) βŠ† ((𝑁...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑖))
7061, 3eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
71 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
72 elfzuzb 13527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ (𝑁...𝑖) ↔ (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
7370, 71, 72sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ (𝑁...𝑖))
74 fzsplit 13559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (𝑁...𝑖) β†’ (𝑁...𝑖) = ((𝑁...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑖)))
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝑁...𝑖) = ((𝑁...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑖)))
7669, 75sseqtrrid 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝑗 + 1)...𝑖) βŠ† (𝑁...𝑖))
7776sselda 3980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖))
7877adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖))
7915ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐹:π‘βŸΆ(β„‚ ↑m 𝑆))
8079, 18, 19syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
8180, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
8281ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
8382an32s 651 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
8478, 83syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
8584abscld 15415 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
8668, 85fsumrecl 15712 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ∈ ℝ)
87 mtest.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
883, 1, 87serfre 14028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ seq𝑁( + , 𝑀):π‘βŸΆβ„)
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ seq𝑁( + , 𝑀):π‘βŸΆβ„)
9089, 56ffvelcdmd 7095 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) ∈ ℝ)
9189, 61ffvelcdmd 7095 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—) ∈ ℝ)
9290, 91resubcld 11672 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—)) ∈ ℝ)
9392recnd 11272 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—)) ∈ β„‚)
9493abscld 15415 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
9594adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) ∈ ℝ)
9655, 33sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–)))
9796adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–)))
9897fveq1d 6899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–))β€˜π‘§))
99 fvex 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–) ∈ V
100 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–))
101100fvmpt2 7016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–))β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–))
10299, 101mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–))β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–))
10398, 102sylan9eq 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–))
104 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–) = (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—))
105 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 β†’ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—))
106105mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑗 β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—)))
107104, 106eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–)) ↔ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—))))
10833ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–)))
109108ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑍 (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–)))
110107, 109, 61rspcdva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—)))
111110fveq1d 6899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—))β€˜π‘§))
112 fvex 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—) ∈ V
113 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—))
114113fvmpt2 7016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—) ∈ V) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—))β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—))
115112, 114mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—))β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—))
116111, 115sylan9eq 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—))
117103, 116oveq12d 7438 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§)) = ((seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—)))
11818adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
119118, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
12056adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑖 ∈ 𝑍)
121120, 3eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
122119, 121, 83fsumser 15708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–))
123 elfzuz 13529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
124123, 3eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
125124adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
126125, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§))β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
12761adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
128127, 3eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
12979, 124, 19syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (β„‚ ↑m 𝑆))
130129, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):π‘†βŸΆβ„‚)
131130ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
132131an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
133126, 128, 132fsumser 15708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—))
134122, 133oveq12d 7438 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) = ((seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘§)))β€˜π‘—)))
135 fzfid 13970 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁...𝑗) ∈ Fin)
136135, 132fsumcl 15711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
13768, 84fsumcl 15711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
138 eluzelre 12863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
13970, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
140139ltp1d 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑗 < (𝑗 + 1))
141 fzdisj 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 < (𝑗 + 1) β†’ ((𝑁...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑖)) = βˆ…)
142140, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝑁...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑖)) = βˆ…)
143142adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑁...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑖)) = βˆ…)
14475adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁...𝑖) = ((𝑁...𝑗) βˆͺ ((𝑗 + 1)...𝑖)))
145 fzfid 13970 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (𝑁...𝑖) ∈ Fin)
146143, 144, 145, 83fsumsplit 15719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) + Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
147136, 137, 146mvrladdd 11657 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
148117, 134, 1473eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§)) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§))
149148fveq2d 6901 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
15068, 84fsumabs 15779 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
151149, 150eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
152 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ πœ‘)
153152, 18, 87syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
15477, 153syldan 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
155154adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
15678, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
157 mtest.l . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
158157ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
159158anass1rs 654 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
160156, 159syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
16168, 85, 155, 160fsumle 15777 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜))
162 eqidd 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) = (π‘€β€˜π‘˜))
16356, 3eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘))
164153recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
165162, 163, 164fsumser 15708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜) = (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–))
166 eqidd 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) = (π‘€β€˜π‘˜))
167152, 124, 87syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
168167recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
169166, 70, 168fsumser 15708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)(π‘€β€˜π‘˜) = (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))
170165, 169oveq12d 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)(π‘€β€˜π‘˜)) = ((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—)))
171 fzfid 13970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝑁...𝑗) ∈ Fin)
172171, 168fsumcl 15711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)(π‘€β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
173 fzfid 13970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝑗 + 1)...𝑖) ∈ Fin)
17477, 164syldan 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
175173, 174fsumcl 15711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
176 fzfid 13970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝑁...𝑖) ∈ Fin)
177142, 75, 176, 164fsumsplit 15719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)(π‘€β€˜π‘˜) + Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜)))
178172, 175, 177mvrladdd 11657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜) βˆ’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑁...𝑗)(π‘€β€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜))
179170, 178eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—)) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜))
180179fveq2d 6901 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜)))
181180adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜)))
182179, 92eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
183182adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
184 0red 11247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) β†’ 0 ∈ ℝ)
18584absge0d 15423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)))
186184, 85, 155, 185, 160letrd 11401 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) β†’ 0 ≀ (π‘€β€˜π‘˜))
18768, 155, 186fsumge0 15773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜))
188183, 187absidd 15401 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜))
189181, 188eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) = Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(π‘€β€˜π‘˜))
190161, 189breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(absβ€˜((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))))
19167, 86, 95, 151, 190letrd 11401 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) ≀ (absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))))
192 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
193192rpred 13048 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
194 lelttr 11334 . . . . . . . . . 10 (((absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) ≀ (absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) ∧ (absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) < π‘Ÿ) β†’ (absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
19567, 95, 193, 194syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (((absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) ≀ (absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) ∧ (absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) < π‘Ÿ) β†’ (absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
196191, 195mpand 694 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) < π‘Ÿ β†’ (absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
197196ralrimdva 3151 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) < π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
198197anassrs 467 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) < π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
199198ralimdva 3164 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) < π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
200199reximdva 3165 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) < π‘Ÿ β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
201200ralimdva 3164 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(absβ€˜((seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘–) βˆ’ (seq𝑁( + , 𝑀)β€˜π‘—))) < π‘Ÿ β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
2025, 201mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘Ÿ)
2033, 1, 10, 53ulmcau 26330 . 2 (πœ‘ β†’ (seq𝑁( ∘f + , 𝐹) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)βˆ€π‘§ ∈ 𝑆 (absβ€˜(((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘–)β€˜π‘§) βˆ’ ((seq𝑁( ∘f + , 𝐹)β€˜π‘—)β€˜π‘§))) < π‘Ÿ))
204202, 203mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ seq𝑁( ∘f + , 𝐹) ∈ dom (β‡π‘’β€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3471   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5678   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘f cof 7683   ↑m cmap 8844  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  β„+crp 13006  ...cfz 13516  seqcseq 13998  abscabs 15213   ⇝ cli 15460  Ξ£csu 15664  β‡π‘’culm 26311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ico 13362  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ulm 26312
This theorem is referenced by:  pserulm  26357  lgamgulmlem6  26965  knoppcnlem6  35973
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