Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | mtest.n |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
2 | | mtest.d |
. . . 4
⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ ) |
3 | | mtest.z |
. . . . 5
⊢ 𝑍 =
(ℤ≥‘𝑁) |
4 | 3 | climcau 14785 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑁( + , 𝑀) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑟 ∈ ℝ+
∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟) |
5 | 1, 2, 4 | syl2anc 579 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟) |
6 | | seqfn 13114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → seq𝑁( ∘𝑓 +
, 𝐹) Fn
(ℤ≥‘𝑁)) |
7 | 1, 6 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹) Fn
(ℤ≥‘𝑁)) |
8 | 3 | fneq2i 6223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (seq𝑁( ∘𝑓 +
, 𝐹) Fn 𝑍 ↔ seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹) Fn
(ℤ≥‘𝑁)) |
9 | 7, 8 | sylibr 226 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹) Fn 𝑍) |
10 | | mtest.s |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉) |
11 | | elex 3429 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V) |
12 | 10, 11 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V) |
13 | 12 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑆 ∈ V) |
14 | | simpr 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ 𝑍) |
15 | 14, 3 | syl6eleq 2916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) |
16 | | mtest.f |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
17 | 16 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
18 | | elfzuz 12638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑖) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) |
19 | 18, 3 | syl6eleqr 2917 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑖) → 𝑘 ∈ 𝑍) |
20 | | ffvelrn 6611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚
𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
21 | 17, 19, 20 | syl2an 589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
22 | | elmapi 8149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ) |
24 | 23 | feqmptd 6500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹‘𝑘) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) |
25 | 19 | adantl 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍) |
26 | | fveq2 6437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑘)) |
27 | 26 | fveq1d 6439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) |
28 | | eqid 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)) |
29 | | fvex 6450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ V |
30 | 27, 28, 29 | fvmpt 6533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) |
31 | 25, 30 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) |
32 | 31 | mpteq2dv 4970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))‘𝑘)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) |
33 | 24, 32 | eqtr4d 2864 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹‘𝑘) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))‘𝑘))) |
34 | 13, 15, 33 | seqof 13159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))) |
35 | 1 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℤ) |
36 | 16 | ffvelrnda 6613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
37 | | elmapi 8149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝐹‘𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆) → (𝐹‘𝑛):𝑆⟶ℂ) |
38 | 36, 37 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑛):𝑆⟶ℂ) |
39 | 38 | ffvelrnda 6613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) ∈ ℂ) |
40 | 39 | an32s 642 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑛)‘𝑧) ∈ ℂ) |
41 | 40 | fmpttd 6639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)):𝑍⟶ℂ) |
42 | 41 | ffvelrnda 6613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))‘𝑖) ∈ ℂ) |
43 | 3, 35, 42 | serf 13130 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))):𝑍⟶ℂ) |
44 | 43 | ffvelrnda 6613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) ∈ ℂ) |
45 | 44 | an32s 642 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) ∈ ℂ) |
46 | 45 | fmpttd 6639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ) |
47 | | cnex 10340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ℂ
∈ V |
48 | | elmapg 8140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((ℂ
∈ V ∧ 𝑆 ∈ V)
→ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ)) |
49 | 47, 13, 48 | sylancr 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)):𝑆⟶ℂ)) |
50 | 46, 49 | mpbird 249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
51 | 34, 50 | eqeltrd 2906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
52 | 51 | ralrimiva 3175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑍 (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
53 | | ffnfv 6642 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (seq𝑁( ∘𝑓 +
, 𝐹):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚
𝑆) ↔ (seq𝑁( ∘𝑓 +
, 𝐹) Fn 𝑍 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆))) |
54 | 9, 52, 53 | sylanbrc 578 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
55 | 54 | ad2antrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹):𝑍⟶(ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
56 | 3 | uztrn2 11993 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑖 ∈ 𝑍) |
57 | 56 | adantl 475 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑖 ∈ 𝑍) |
58 | 55, 57 | ffvelrnd 6614 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
59 | | elmapi 8149 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((seq𝑁(
∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆) → (seq𝑁( ∘𝑓 +
, 𝐹)‘𝑖):𝑆⟶ℂ) |
60 | 58, 59 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖):𝑆⟶ℂ) |
61 | 60 | ffvelrnda 6613 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) ∈ ℂ) |
62 | | simprl 787 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ 𝑍) |
63 | 55, 62 | ffvelrnd 6614 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
64 | | elmapi 8149 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((seq𝑁(
∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆) → (seq𝑁( ∘𝑓 +
, 𝐹)‘𝑗):𝑆⟶ℂ) |
65 | 63, 64 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗):𝑆⟶ℂ) |
66 | 65 | ffvelrnda 6613 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ) |
67 | 61, 66 | subcld 10720 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧)) ∈ ℂ) |
68 | 67 | abscld 14559 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ∈ ℝ) |
69 | | fzfid 13074 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑗 + 1)...𝑖) ∈ Fin) |
70 | | ssun2 4006 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑗 + 1)...𝑖) ⊆ ((𝑁...𝑗) ∪ ((𝑗 + 1)...𝑖)) |
71 | 62, 3 | syl6eleq 2916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) |
72 | | simprr 789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) |
73 | | elfzuzb 12636 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 ∈ (𝑁...𝑖) ↔ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) |
74 | 71, 72, 73 | sylanbrc 578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ (𝑁...𝑖)) |
75 | | fzsplit 12667 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑗 ∈ (𝑁...𝑖) → (𝑁...𝑖) = ((𝑁...𝑗) ∪ ((𝑗 + 1)...𝑖))) |
76 | 74, 75 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑁...𝑖) = ((𝑁...𝑗) ∪ ((𝑗 + 1)...𝑖))) |
77 | 70, 76 | syl5sseqr 3879 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑗 + 1)...𝑖) ⊆ (𝑁...𝑖)) |
78 | 77 | sselda 3827 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) |
79 | 78 | adantlr 706 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) |
80 | 16 | ad2antrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
81 | 80, 19, 20 | syl2an 589 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
82 | 81, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ) |
83 | 82 | ffvelrnda 6613 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ) |
84 | 83 | an32s 642 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ) |
85 | 79, 84 | syldan 585 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ) |
86 | 85 | abscld 14559 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ ℝ) |
87 | 69, 86 | fsumrecl 14849 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ∈ ℝ) |
88 | | mtest.c |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑀‘𝑘) ∈ ℝ) |
89 | 3, 1, 88 | serfre 13131 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → seq𝑁( + , 𝑀):𝑍⟶ℝ) |
90 | 89 | ad2antrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → seq𝑁( + , 𝑀):𝑍⟶ℝ) |
91 | 90, 57 | ffvelrnd 6614 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) ∈ ℝ) |
92 | 90, 62 | ffvelrnd 6614 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗) ∈ ℝ) |
93 | 91, 92 | resubcld 10789 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗)) ∈ ℝ) |
94 | 93 | recnd 10392 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗)) ∈ ℂ) |
95 | 94 | abscld 14559 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∈ ℝ) |
96 | 95 | adantr 474 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∈ ℝ) |
97 | 56, 34 | sylan2 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))) |
98 | 97 | adantlr 706 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))) |
99 | 98 | fveq1d 6439 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((seq𝑁( ∘𝑓 +
, 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))‘𝑧)) |
100 | | fvex 6450 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) ∈ V |
101 | | eqid 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) |
102 | 101 | fvmpt2 6543 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) ∈ V) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) |
103 | 100, 102 | mpan2 682 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) |
104 | 99, 103 | sylan9eq 2881 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) |
105 | | fveq2 6437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) = (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)) |
106 | | fveq2 6437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)) |
107 | 106 | mpteq2dv 4970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))) |
108 | 105, 107 | eqeq12d 2840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) ↔ (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)))) |
109 | 34 | ralrimiva 3175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑍 (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))) |
110 | 109 | ad2antrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ∀𝑖 ∈ 𝑍 (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖))) |
111 | 108, 110,
62 | rspcdva 3532 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))) |
112 | 111 | fveq1d 6439 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((seq𝑁( ∘𝑓 +
, 𝐹)‘𝑗)‘𝑧) = ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))‘𝑧)) |
113 | | fvex 6450 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗) ∈ V |
114 | | eqid 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)) |
115 | 114 | fvmpt2 6543 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗) ∈ V) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)) |
116 | 113, 115 | mpan2 682 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)) |
117 | 112, 116 | sylan9eq 2881 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)) |
118 | 104, 117 | oveq12d 6928 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧)) = ((seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) − (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))) |
119 | 19 | adantl 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍) |
120 | 119, 30 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) |
121 | 57 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑖 ∈ 𝑍) |
122 | 121, 3 | syl6eleq 2916 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) |
123 | 120, 122,
84 | fsumser 14845 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖)) |
124 | | elfzuz 12638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) |
125 | 124, 3 | syl6eleqr 2917 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍) |
126 | 125 | adantl 475 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍) |
127 | 126, 30 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧))‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) |
128 | 62 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ 𝑍) |
129 | 128, 3 | syl6eleq 2916 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) |
130 | 80, 125, 20 | syl2an 589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚
𝑆)) |
131 | 130, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝐹‘𝑘):𝑆⟶ℂ) |
132 | 131 | ffvelrnda 6613 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ) |
133 | 132 | an32s 642 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → ((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ) |
134 | 127, 129,
133 | fsumser 14845 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗)) |
135 | 123, 134 | oveq12d 6928 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) = ((seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑖) − (seq𝑁( + , (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑛)‘𝑧)))‘𝑗))) |
136 | | eluzelre 11986 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑗 ∈
(ℤ≥‘𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ) |
137 | 71, 136 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ) |
138 | 137 | ltp1d 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 < (𝑗 + 1)) |
139 | | fzdisj 12668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑗 < (𝑗 + 1) → ((𝑁...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑖)) = ∅) |
140 | 138, 139 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑁...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑖)) = ∅) |
141 | 140 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑁...𝑗) ∩ ((𝑗 + 1)...𝑖)) = ∅) |
142 | 76 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑁...𝑖) = ((𝑁...𝑗) ∪ ((𝑗 + 1)...𝑖))) |
143 | | fzfid 13074 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑁...𝑖) ∈ Fin) |
144 | 141, 142,
143, 84 | fsumsplit 14855 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧) = (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) |
145 | 144 | eqcomd 2831 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) = Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) |
146 | 143, 84 | fsumcl 14848 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ) |
147 | | fzfid 13074 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑁...𝑗) ∈ Fin) |
148 | 147, 133 | fsumcl 14848 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ) |
149 | 69, 85 | fsumcl 14848 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ) |
150 | 146, 148,
149 | subaddd 10738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹‘𝑘)‘𝑧) + Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) = Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) |
151 | 145, 150 | mpbird 249 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) |
152 | 118, 135,
151 | 3eqtr2d 2867 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) |
153 | 152 | fveq2d 6441 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) |
154 | 69, 85 | fsumabs 14914 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) |
155 | 153, 154 | eqbrtrd 4897 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) |
156 | | simpll 783 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝜑) |
157 | 156, 19, 88 | syl2an 589 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝑀‘𝑘) ∈ ℝ) |
158 | 78, 157 | syldan 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (𝑀‘𝑘) ∈ ℝ) |
159 | 158 | adantlr 706 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (𝑀‘𝑘) ∈ ℝ) |
160 | 79, 19 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 𝑘 ∈ 𝑍) |
161 | | mtest.l |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀‘𝑘)) |
162 | 161 | adantlr 706 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀‘𝑘)) |
163 | 162 | adantlr 706 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀‘𝑘)) |
164 | 163 | anass1rs 645 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀‘𝑘)) |
165 | 160, 164 | syldan 585 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ (𝑀‘𝑘)) |
166 | 69, 86, 159, 165 | fsumle 14912 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘)) |
167 | | eqidd 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝑀‘𝑘) = (𝑀‘𝑘)) |
168 | 57, 3 | syl6eleq 2916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) |
169 | 157 | recnd 10392 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)) → (𝑀‘𝑘) ∈ ℂ) |
170 | 167, 168,
169 | fsumser 14845 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘𝑘) = (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖)) |
171 | | eqidd 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝑀‘𝑘) = (𝑀‘𝑘)) |
172 | 156, 125,
88 | syl2an 589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝑀‘𝑘) ∈ ℝ) |
173 | 172 | recnd 10392 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)) → (𝑀‘𝑘) ∈ ℂ) |
174 | 171, 71, 173 | fsumser 14845 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀‘𝑘) = (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗)) |
175 | 170, 174 | oveq12d 6928 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘𝑘) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀‘𝑘)) = ((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) |
176 | | fzfid 13074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑁...𝑖) ∈ Fin) |
177 | 140, 76, 176, 169 | fsumsplit 14855 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘))) |
178 | 177 | eqcomd 2831 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘𝑘)) |
179 | 176, 169 | fsumcl 14848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘𝑘) ∈ ℂ) |
180 | | fzfid 13074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑁...𝑗) ∈ Fin) |
181 | 180, 173 | fsumcl 14848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀‘𝑘) ∈ ℂ) |
182 | | fzfid 13074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝑗 + 1)...𝑖) ∈ Fin) |
183 | 78, 169 | syldan 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → (𝑀‘𝑘) ∈ ℂ) |
184 | 182, 183 | fsumcl 14848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘) ∈ ℂ) |
185 | 179, 181,
184 | subaddd 10738 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘𝑘) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘) ↔ (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘𝑘))) |
186 | 178, 185 | mpbird 249 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑖)(𝑀‘𝑘) − Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑗)(𝑀‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘)) |
187 | 175, 186 | eqtr3d 2863 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘)) |
188 | 187 | fveq2d 6441 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘))) |
189 | 188 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘))) |
190 | 187, 93 | eqeltrrd 2907 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘) ∈ ℝ) |
191 | 190 | adantr 474 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘) ∈ ℝ) |
192 | | 0red 10367 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 0 ∈ ℝ) |
193 | 85 | absge0d 14567 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧))) |
194 | 192, 86, 159, 193, 165 | letrd 10520 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)
∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)) → 0 ≤ (𝑀‘𝑘)) |
195 | 69, 159, 194 | fsumge0 14908 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘)) |
196 | 191, 195 | absidd 14545 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (abs‘Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘)) |
197 | 189, 196 | eqtrd 2861 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(𝑀‘𝑘)) |
198 | 166, 197 | breqtrrd 4903 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → Σ𝑘 ∈ ((𝑗 + 1)...𝑖)(abs‘((𝐹‘𝑘)‘𝑧)) ≤ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗)))) |
199 | 68, 87, 96, 155, 198 | letrd 10520 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ≤ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗)))) |
200 | | simpllr 793 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ ℝ+) |
201 | 200 | rpred 12163 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ ℝ) |
202 | | lelttr 10454 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ∈ ℝ ∧
(abs‘((seq𝑁( + ,
𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) →
(((abs‘(((seq𝑁(
∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ≤ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∧ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟) → (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟)) |
203 | 68, 96, 201, 202 | syl3anc 1494 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 +
, 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) ≤ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) ∧ (abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟) → (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟)) |
204 | 199, 203 | mpand 686 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟)) |
205 | 204 | ralrimdva 3178 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) →
((abs‘((seq𝑁( + ,
𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟)) |
206 | 205 | anassrs 461 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟)) |
207 | 206 | ralimdva 3171 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟)) |
208 | 207 | reximdva 3225 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) →
(∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟)) |
209 | 208 | ralimdva 3171 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (∀𝑟 ∈ ℝ+
∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑖) − (seq𝑁( + , 𝑀)‘𝑗))) < 𝑟 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟)) |
210 | 5, 209 | mpd 15 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟) |
211 | 3, 1, 10, 54 | ulmcau 24555 |
. 2
⊢ (𝜑 → (seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹) ∈ dom
(⇝𝑢‘𝑆) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑗)∀𝑧 ∈ 𝑆 (abs‘(((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑖)‘𝑧) − ((seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹)‘𝑗)‘𝑧))) < 𝑟)) |
212 | 210, 211 | mpbird 249 |
1
⊢ (𝜑 → seq𝑁( ∘𝑓 + , 𝐹) ∈ dom
(⇝𝑢‘𝑆)) |