Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | mtest.n |
. . . 4
β’ (π β π β β€) |
2 | | mtest.d |
. . . 4
β’ (π β seqπ( + , π) β dom β ) |
3 | | mtest.z |
. . . . 5
β’ π =
(β€β₯βπ) |
4 | 3 | climcau 15562 |
. . . 4
β’ ((π β β€ β§ seqπ( + , π) β dom β ) β βπ β β+
βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) < π) |
5 | 1, 2, 4 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ (π β βπ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) < π) |
6 | | seqfn 13925 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β€ β seqπ( βf + , πΉ) Fn
(β€β₯βπ)) |
7 | 1, 6 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β seqπ( βf + , πΉ) Fn (β€β₯βπ)) |
8 | 3 | fneq2i 6605 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (seqπ( βf + , πΉ) Fn π β seqπ( βf + , πΉ) Fn (β€β₯βπ)) |
9 | 7, 8 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β seqπ( βf + , πΉ) Fn π) |
10 | | mtest.s |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β π β π) |
11 | 10 | elexd 3468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π β V) |
12 | 11 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β π) β π β V) |
13 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β§ π β π) β π β π) |
14 | 13, 3 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β π) β π β (β€β₯βπ)) |
15 | | mtest.f |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β πΉ:πβΆ(β βm π)) |
16 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π β π) β πΉ:πβΆ(β βm π)) |
17 | | elfzuz 13444 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β (π...π) β π β (β€β₯βπ)) |
18 | 17, 3 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β (π...π) β π β π) |
19 | | ffvelcdm 7037 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((πΉ:πβΆ(β βm π) β§ π β π) β (πΉβπ) β (β βm π)) |
20 | 16, 18, 19 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (π...π)) β (πΉβπ) β (β βm π)) |
21 | | elmapi 8794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((πΉβπ) β (β βm π) β (πΉβπ):πβΆβ) |
22 | 20, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (π...π)) β (πΉβπ):πβΆβ) |
23 | 22 | feqmptd 6915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (π...π)) β (πΉβπ) = (π§ β π β¦ ((πΉβπ)βπ§))) |
24 | 18 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (π...π)) β π β π) |
25 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π β (πΉβπ) = (πΉβπ)) |
26 | 25 | fveq1d 6849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = π β ((πΉβπ)βπ§) = ((πΉβπ)βπ§)) |
27 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)) = (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)) |
28 | | fvex 6860 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((πΉβπ)βπ§) β V |
29 | 26, 27, 28 | fvmpt 6953 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β π β ((π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§))βπ) = ((πΉβπ)βπ§)) |
30 | 24, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (π...π)) β ((π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§))βπ) = ((πΉβπ)βπ§)) |
31 | 30 | mpteq2dv 5212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (π...π)) β (π§ β π β¦ ((π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§))βπ)) = (π§ β π β¦ ((πΉβπ)βπ§))) |
32 | 23, 31 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β π) β§ π β (π...π)) β (πΉβπ) = (π§ β π β¦ ((π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§))βπ))) |
33 | 12, 14, 32 | seqof 13972 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β π) β (seqπ( βf + , πΉ)βπ) = (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))) |
34 | 1 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π β§ π§ β π) β π β β€) |
35 | 15 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π β§ π β π) β (πΉβπ) β (β βm π)) |
36 | | elmapi 8794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((πΉβπ) β (β βm π) β (πΉβπ):πβΆβ) |
37 | 35, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π β§ π β π) β (πΉβπ):πβΆβ) |
38 | 37 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π β§ π β π) β§ π§ β π) β ((πΉβπ)βπ§) β β) |
39 | 38 | an32s 651 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β π) β ((πΉβπ)βπ§) β β) |
40 | 39 | fmpttd 7068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β§ π§ β π) β (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)):πβΆβ) |
41 | 40 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β π) β ((π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§))βπ) β β) |
42 | 3, 34, 41 | serf 13943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β§ π§ β π) β seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§))):πβΆβ) |
43 | 42 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π β§ π§ β π) β§ π β π) β (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ) β β) |
44 | 43 | an32s 651 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π β§ π β π) β§ π§ β π) β (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ) β β) |
45 | 44 | fmpttd 7068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β π) β (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)):πβΆβ) |
46 | | cnex 11139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ β
β V |
47 | | elmapg 8785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((β
β V β§ π β V)
β ((π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) β (β βm π) β (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)):πβΆβ)) |
48 | 46, 12, 47 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β π) β ((π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) β (β βm π) β (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)):πβΆβ)) |
49 | 45, 48 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β§ π β π) β (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) β (β βm π)) |
50 | 33, 49 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β§ π β π) β (seqπ( βf + , πΉ)βπ) β (β βm π)) |
51 | 50 | ralrimiva 3144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β βπ β π (seqπ( βf + , πΉ)βπ) β (β βm π)) |
52 | | ffnfv 7071 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (seqπ( βf + , πΉ):πβΆ(β βm π) β (seqπ( βf + , πΉ) Fn π β§ βπ β π (seqπ( βf + , πΉ)βπ) β (β βm π))) |
53 | 9, 51, 52 | sylanbrc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β seqπ( βf + , πΉ):πβΆ(β βm π)) |
54 | 53 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β seqπ( βf + , πΉ):πβΆ(β βm π)) |
55 | 3 | uztrn2 12789 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β π β§ π β (β€β₯βπ)) β π β π) |
56 | 55 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β π) |
57 | 54, 56 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (seqπ( βf + , πΉ)βπ) β (β βm π)) |
58 | | elmapi 8794 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
((seqπ(
βf + , πΉ)βπ) β (β βm π) β (seqπ( βf + , πΉ)βπ):πβΆβ) |
59 | 57, 58 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (seqπ( βf + , πΉ)βπ):πβΆβ) |
60 | 59 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β β) |
61 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β π) |
62 | 54, 61 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (seqπ( βf + , πΉ)βπ) β (β βm π)) |
63 | | elmapi 8794 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
((seqπ(
βf + , πΉ)βπ) β (β βm π) β (seqπ( βf + , πΉ)βπ):πβΆβ) |
64 | 62, 63 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (seqπ( βf + , πΉ)βπ):πβΆβ) |
65 | 64 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β β) |
66 | 60, 65 | subcld 11519 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§)) β β) |
67 | 66 | abscld 15328 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) β β) |
68 | | fzfid 13885 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β ((π + 1)...π) β Fin) |
69 | | ssun2 4138 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π + 1)...π) β ((π...π) βͺ ((π + 1)...π)) |
70 | 61, 3 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β (β€β₯βπ)) |
71 | | simprr 772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β (β€β₯βπ)) |
72 | | elfzuzb 13442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (π...π) β (π β (β€β₯βπ) β§ π β (β€β₯βπ))) |
73 | 70, 71, 72 | sylanbrc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β (π...π)) |
74 | | fzsplit 13474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (π...π) β (π...π) = ((π...π) βͺ ((π + 1)...π))) |
75 | 73, 74 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (π...π) = ((π...π) βͺ ((π + 1)...π))) |
76 | 69, 75 | sseqtrrid 4002 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β ((π + 1)...π) β (π...π)) |
77 | 76 | sselda 3949 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β ((π + 1)...π)) β π β (π...π)) |
78 | 77 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β ((π + 1)...π)) β π β (π...π)) |
79 | 15 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β πΉ:πβΆ(β βm π)) |
80 | 79, 18, 19 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β (π...π)) β (πΉβπ) β (β βm π)) |
81 | 80, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β (π...π)) β (πΉβπ):πβΆβ) |
82 | 81 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β (π...π)) β§ π§ β π) β ((πΉβπ)βπ§) β β) |
83 | 82 | an32s 651 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β (π...π)) β ((πΉβπ)βπ§) β β) |
84 | 78, 83 | syldan 592 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β ((π + 1)...π)) β ((πΉβπ)βπ§) β β) |
85 | 84 | abscld 15328 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β ((π + 1)...π)) β (absβ((πΉβπ)βπ§)) β β) |
86 | 68, 85 | fsumrecl 15626 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β Ξ£π β ((π + 1)...π)(absβ((πΉβπ)βπ§)) β β) |
87 | | mtest.c |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ π β π) β (πβπ) β β) |
88 | 3, 1, 87 | serfre 13944 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β seqπ( + , π):πβΆβ) |
89 | 88 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β seqπ( + , π):πβΆβ) |
90 | 89, 56 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (seqπ( + , π)βπ) β β) |
91 | 89, 61 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (seqπ( + , π)βπ) β β) |
92 | 90, 91 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ)) β β) |
93 | 92 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ)) β β) |
94 | 93 | abscld 15328 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) β β) |
95 | 94 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) β β) |
96 | 55, 33 | sylan2 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (seqπ( βf + , πΉ)βπ) = (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))) |
97 | 96 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (seqπ( βf + , πΉ)βπ) = (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))) |
98 | 97 | fveq1d 6849 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) = ((π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))βπ§)) |
99 | | fvex 6860 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ) β V |
100 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) = (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) |
101 | 100 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π§ β π β§ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ) β V) β ((π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))βπ§) = (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) |
102 | 99, 101 | mpan2 690 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π§ β π β ((π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))βπ§) = (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) |
103 | 98, 102 | sylan9eq 2797 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) = (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) |
104 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = π β (seqπ( βf + , πΉ)βπ) = (seqπ( βf + , πΉ)βπ)) |
105 | | fveq2 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π β (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ) = (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) |
106 | 105 | mpteq2dv 5212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = π β (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) = (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))) |
107 | 104, 106 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π = π β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ) = (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) β (seqπ( βf + , πΉ)βπ) = (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)))) |
108 | 33 | ralrimiva 3144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β βπ β π (seqπ( βf + , πΉ)βπ) = (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))) |
109 | 108 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β βπ β π (seqπ( βf + , πΉ)βπ) = (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))) |
110 | 107, 109,
61 | rspcdva 3585 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (seqπ( βf + , πΉ)βπ) = (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))) |
111 | 110 | fveq1d 6849 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) = ((π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))βπ§)) |
112 | | fvex 6860 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ) β V |
113 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) = (π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) |
114 | 113 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π§ β π β§ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ) β V) β ((π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))βπ§) = (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) |
115 | 112, 114 | mpan2 690 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π§ β π β ((π§ β π β¦ (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))βπ§) = (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) |
116 | 111, 115 | sylan9eq 2797 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) = (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) |
117 | 103, 116 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§)) = ((seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ) β (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))) |
118 | 18 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β (π...π)) β π β π) |
119 | 118, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β (π...π)) β ((π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§))βπ) = ((πΉβπ)βπ§)) |
120 | 56 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β π β π) |
121 | 120, 3 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β π β (β€β₯βπ)) |
122 | 119, 121,
83 | fsumser 15622 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β Ξ£π β (π...π)((πΉβπ)βπ§) = (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) |
123 | | elfzuz 13444 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β (π...π) β π β (β€β₯βπ)) |
124 | 123, 3 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (π...π) β π β π) |
125 | 124 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β (π...π)) β π β π) |
126 | 125, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β (π...π)) β ((π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§))βπ) = ((πΉβπ)βπ§)) |
127 | 61 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β π β π) |
128 | 127, 3 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β π β (β€β₯βπ)) |
129 | 79, 124, 19 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β (π...π)) β (πΉβπ) β (β βm π)) |
130 | 129, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β (π...π)) β (πΉβπ):πβΆβ) |
131 | 130 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β (π...π)) β§ π§ β π) β ((πΉβπ)βπ§) β β) |
132 | 131 | an32s 651 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β (π...π)) β ((πΉβπ)βπ§) β β) |
133 | 126, 128,
132 | fsumser 15622 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β Ξ£π β (π...π)((πΉβπ)βπ§) = (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ)) |
134 | 122, 133 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (Ξ£π β (π...π)((πΉβπ)βπ§) β Ξ£π β (π...π)((πΉβπ)βπ§)) = ((seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ) β (seqπ( + , (π β π β¦ ((πΉβπ)βπ§)))βπ))) |
135 | | fzfid 13885 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (π...π) β Fin) |
136 | 135, 132 | fsumcl 15625 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β Ξ£π β (π...π)((πΉβπ)βπ§) β β) |
137 | 68, 84 | fsumcl 15625 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β Ξ£π β ((π + 1)...π)((πΉβπ)βπ§) β β) |
138 | | eluzelre 12781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β
(β€β₯βπ) β π β β) |
139 | 70, 138 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β β) |
140 | 139 | ltp1d 12092 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π < (π + 1)) |
141 | | fzdisj 13475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π < (π + 1) β ((π...π) β© ((π + 1)...π)) = β
) |
142 | 140, 141 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β ((π...π) β© ((π + 1)...π)) = β
) |
143 | 142 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β ((π...π) β© ((π + 1)...π)) = β
) |
144 | 75 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (π...π) = ((π...π) βͺ ((π + 1)...π))) |
145 | | fzfid 13885 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (π...π) β Fin) |
146 | 143, 144,
145, 83 | fsumsplit 15633 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β Ξ£π β (π...π)((πΉβπ)βπ§) = (Ξ£π β (π...π)((πΉβπ)βπ§) + Ξ£π β ((π + 1)...π)((πΉβπ)βπ§))) |
147 | 136, 137,
146 | mvrladdd 11575 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (Ξ£π β (π...π)((πΉβπ)βπ§) β Ξ£π β (π...π)((πΉβπ)βπ§)) = Ξ£π β ((π + 1)...π)((πΉβπ)βπ§)) |
148 | 117, 134,
147 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§)) = Ξ£π β ((π + 1)...π)((πΉβπ)βπ§)) |
149 | 148 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) = (absβΞ£π β ((π + 1)...π)((πΉβπ)βπ§))) |
150 | 68, 84 | fsumabs 15693 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (absβΞ£π β ((π + 1)...π)((πΉβπ)βπ§)) β€ Ξ£π β ((π + 1)...π)(absβ((πΉβπ)βπ§))) |
151 | 149, 150 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) β€ Ξ£π β ((π + 1)...π)(absβ((πΉβπ)βπ§))) |
152 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π) |
153 | 152, 18, 87 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β (π...π)) β (πβπ) β β) |
154 | 77, 153 | syldan 592 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β ((π + 1)...π)) β (πβπ) β β) |
155 | 154 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β ((π + 1)...π)) β (πβπ) β β) |
156 | 78, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β ((π + 1)...π)) β π β π) |
157 | | mtest.l |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ (π β π β§ π§ β π)) β (absβ((πΉβπ)βπ§)) β€ (πβπ)) |
158 | 157 | ad4ant14 751 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ (π β π β§ π§ β π)) β (absβ((πΉβπ)βπ§)) β€ (πβπ)) |
159 | 158 | anass1rs 654 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β π) β (absβ((πΉβπ)βπ§)) β€ (πβπ)) |
160 | 156, 159 | syldan 592 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β ((π + 1)...π)) β (absβ((πΉβπ)βπ§)) β€ (πβπ)) |
161 | 68, 85, 155, 160 | fsumle 15691 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β Ξ£π β ((π + 1)...π)(absβ((πΉβπ)βπ§)) β€ Ξ£π β ((π + 1)...π)(πβπ)) |
162 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β (π...π)) β (πβπ) = (πβπ)) |
163 | 56, 3 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β π β (β€β₯βπ)) |
164 | 153 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β (π...π)) β (πβπ) β β) |
165 | 162, 163,
164 | fsumser 15622 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β Ξ£π β (π...π)(πβπ) = (seqπ( + , π)βπ)) |
166 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β (π...π)) β (πβπ) = (πβπ)) |
167 | 152, 124,
87 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β (π...π)) β (πβπ) β β) |
168 | 167 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β (π...π)) β (πβπ) β β) |
169 | 166, 70, 168 | fsumser 15622 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β Ξ£π β (π...π)(πβπ) = (seqπ( + , π)βπ)) |
170 | 165, 169 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (Ξ£π β (π...π)(πβπ) β Ξ£π β (π...π)(πβπ)) = ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) |
171 | | fzfid 13885 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (π...π) β Fin) |
172 | 171, 168 | fsumcl 15625 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β Ξ£π β (π...π)(πβπ) β β) |
173 | | fzfid 13885 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β ((π + 1)...π) β Fin) |
174 | 77, 164 | syldan 592 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π β ((π + 1)...π)) β (πβπ) β β) |
175 | 173, 174 | fsumcl 15625 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β Ξ£π β ((π + 1)...π)(πβπ) β β) |
176 | | fzfid 13885 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (π...π) β Fin) |
177 | 142, 75, 176, 164 | fsumsplit 15633 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β Ξ£π β (π...π)(πβπ) = (Ξ£π β (π...π)(πβπ) + Ξ£π β ((π + 1)...π)(πβπ))) |
178 | 172, 175,
177 | mvrladdd 11575 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (Ξ£π β (π...π)(πβπ) β Ξ£π β (π...π)(πβπ)) = Ξ£π β ((π + 1)...π)(πβπ)) |
179 | 170, 178 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ)) = Ξ£π β ((π + 1)...π)(πβπ)) |
180 | 179 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β (absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) = (absβΞ£π β ((π + 1)...π)(πβπ))) |
181 | 180 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) = (absβΞ£π β ((π + 1)...π)(πβπ))) |
182 | 179, 92 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β Ξ£π β ((π + 1)...π)(πβπ) β β) |
183 | 182 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β Ξ£π β ((π + 1)...π)(πβπ) β β) |
184 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β ((π + 1)...π)) β 0 β β) |
185 | 84 | absge0d 15336 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β ((π + 1)...π)) β 0 β€ (absβ((πΉβπ)βπ§))) |
186 | 184, 85, 155, 185, 160 | letrd 11319 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β§ π β ((π + 1)...π)) β 0 β€ (πβπ)) |
187 | 68, 155, 186 | fsumge0 15687 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β 0 β€ Ξ£π β ((π + 1)...π)(πβπ)) |
188 | 183, 187 | absidd 15314 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (absβΞ£π β ((π + 1)...π)(πβπ)) = Ξ£π β ((π + 1)...π)(πβπ)) |
189 | 181, 188 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) = Ξ£π β ((π + 1)...π)(πβπ)) |
190 | 161, 189 | breqtrrd 5138 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β Ξ£π β ((π + 1)...π)(absβ((πΉβπ)βπ§)) β€ (absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ)))) |
191 | 67, 86, 95, 151, 190 | letrd 11319 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) β€ (absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ)))) |
192 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β π β β+) |
193 | 192 | rpred 12964 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β π β β) |
194 | | lelttr 11252 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) β β β§
(absβ((seqπ( + ,
π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) β β β§ π β β) β
(((absβ(((seqπ(
βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) β€ (absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) β§ (absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) < π) β (absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) < π)) |
195 | 67, 95, 193, 194 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β (((absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) β€ (absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) β§ (absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) < π) β (absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) < π)) |
196 | 191, 195 | mpand 694 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β§ π§ β π) β ((absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) < π β (absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) < π)) |
197 | 196 | ralrimdva 3152 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β+) β§ (π β π β§ π β (β€β₯βπ))) β
((absβ((seqπ( + ,
π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) < π β βπ§ β π (absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) < π)) |
198 | 197 | anassrs 469 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β π) β§ π β (β€β₯βπ)) β ((absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) < π β βπ§ β π (absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) < π)) |
199 | 198 | ralimdva 3165 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β π) β (βπ β (β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) < π β βπ β (β€β₯βπ)βπ§ β π (absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) < π)) |
200 | 199 | reximdva 3166 |
. . . 4
β’ ((π β§ π β β+) β
(βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) < π β βπ β π βπ β (β€β₯βπ)βπ§ β π (absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) < π)) |
201 | 200 | ralimdva 3165 |
. . 3
β’ (π β (βπ β β+
βπ β π βπ β (β€β₯βπ)(absβ((seqπ( + , π)βπ) β (seqπ( + , π)βπ))) < π β βπ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)βπ§ β π (absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) < π)) |
202 | 5, 201 | mpd 15 |
. 2
β’ (π β βπ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)βπ§ β π (absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) < π) |
203 | 3, 1, 10, 53 | ulmcau 25770 |
. 2
β’ (π β (seqπ( βf + , πΉ) β dom
(βπ’βπ) β βπ β β+ βπ β π βπ β (β€β₯βπ)βπ§ β π (absβ(((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§) β ((seqπ( βf + , πΉ)βπ)βπ§))) < π)) |
204 | 202, 203 | mpbird 257 |
1
β’ (π β seqπ( βf + , πΉ) β dom
(βπ’βπ)) |