Theorem nmfnsetre 31810

Description: The set in the supremum of the functional norm definition df-nmfn 31778 is a set of reals. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmfnsetre	⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmfnsetre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑦) ∈ ℂ)
2	1	abscld 15441	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ)
3		eleq1 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (abs‘(𝑇‘𝑦)) ∈ ℝ))
4	2, 3	imbitrrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)) → ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℝ))
5	4	impcom 406	. . . 4 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	adantrl 714	. . 3 ⊢ (((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	rexlimdva2 3147	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ))
8	7	abssdv 4064	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2703  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5153  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  ℂcc 11156  ℝcr 11157  1c1 11159   ≤ cle 11299  abscabs 15239   ℋchba 30852  norm_ℎcno 30856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241

This theorem is referenced by:  nmfnxr  31812  nmfnrepnf  31813  nmfnlb  31857  nmfnleub  31858  branmfn  32038