Theorem nmfnsetn0 31808

Description: The set in the supremum of the functional norm definition df-nmfn 31775 is nonempty. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmfnsetn0	⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))}

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmfnsetn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 30933	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		norm0 31058	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
3		0le1 11778	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
4	2, 3	eqbrtri 5166	. . . 4 ⊢ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1
5		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘0ℎ))
6	4, 5	pm3.2i 469	. . 3 ⊢ ((normℎ‘0ℎ) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘0ℎ)))
7		fveq2 6893	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = (normℎ‘0ℎ))
8	7	breq1d 5155	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ↔ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1))
9		2fveq3 6898	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (abs‘(𝑇‘𝑦)) = (abs‘(𝑇‘0ℎ)))
10	9	eqeq2d 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘0ℎ))))
11	8, 10	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘0ℎ) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘0ℎ)))))
12	11	rspcev 3607	. . 3 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ ((normℎ‘0ℎ) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘0ℎ)))) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦))))
13	1, 6, 12	mp2an 690	. 2 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦)))
14		fvex 6906	. . 3 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ V
15		eqeq1 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0ℎ)) → (𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦))))
16	15	anbi2d 628	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0ℎ)) → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦)))))
17	16	rexbidv 3169	. . 3 ⊢ (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0ℎ)) → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦)))))
18	14, 17	elab 3665	. 2 ⊢ ((abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦))))
19	13, 18	mpbir 230	1 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))}

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2703  ∃wrex 3060   class class class wbr 5145  ‘cfv 6546  0cc0 11149  1c1 11150   ≤ cle 11290  abscabs 15234   ℋchba 30849  norm_ℎcno 30853  0_ℎc0v 30854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-hv0cl 30933  ax-hvmul0 30940  ax-hfi 31009  ax-his3 31014

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-hnorm 30898

This theorem is referenced by:  nmfnrepnf  31810