HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnsetn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfnsetn0 31732
Description: The set in the supremum of the functional norm definition df-nmfn 31699 is nonempty. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnsetn0 (abs‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmfnsetn0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 30857 . . 3 0 ∈ ℋ
2 norm0 30982 . . . . 5 (norm‘0) = 0
3 0le1 11767 . . . . 5 0 ≤ 1
42, 3eqbrtri 5164 . . . 4 (norm‘0) ≤ 1
5 eqid 2725 . . . 4 (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0))
64, 5pm3.2i 469 . . 3 ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0)))
7 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = (norm‘0))
87breq1d 5153 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ (norm‘0) ≤ 1))
9 2fveq3 6897 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (abs‘(𝑇𝑦)) = (abs‘(𝑇‘0)))
109eqeq2d 2736 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0))))
118, 10anbi12d 630 . . . 4 (𝑦 = 0 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0)))))
1211rspcev 3601 . . 3 ((0 ∈ ℋ ∧ ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0)))) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
131, 6, 12mp2an 690 . 2 𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦)))
14 fvex 6905 . . 3 (abs‘(𝑇‘0)) ∈ V
15 eqeq1 2729 . . . . 5 (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0)) → (𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
1615anbi2d 628 . . . 4 (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0)) → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦)))))
1716rexbidv 3169 . . 3 (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0)) → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦)))))
1814, 17elab 3659 . 2 ((abs‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
1913, 18mpbir 230 1 (abs‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  wrex 3060   class class class wbr 5143  cfv 6543  0cc0 11138  1c1 11139  cle 11279  abscabs 15213  chba 30773  normcno 30777  0c0v 30778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-hv0cl 30857  ax-hvmul0 30864  ax-hfi 30933  ax-his3 30938
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-hnorm 30822
This theorem is referenced by:  nmfnrepnf  31734
  Copyright terms: Public domain W3C validator