Theorem nmfnsetn0 31807

Description: The set in the supremum of the functional norm definition df-nmfn 31774 is nonempty. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmfnsetn0	⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))}

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmfnsetn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 30932	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		norm0 31057	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
3		0le1 11701	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
4	2, 3	eqbrtri 5128	. . . 4 ⊢ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘0ℎ))
6	4, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((normℎ‘0ℎ) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘0ℎ)))
7		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = (normℎ‘0ℎ))
8	7	breq1d 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ↔ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1))
9		2fveq3 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (abs‘(𝑇‘𝑦)) = (abs‘(𝑇‘0ℎ)))
10	9	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘0ℎ))))
11	8, 10	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘0ℎ) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘0ℎ)))))
12	11	rspcev 3588	. . 3 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ ((normℎ‘0ℎ) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘0ℎ)))) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦))))
13	1, 6, 12	mp2an 692	. 2 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦)))
14		fvex 6871	. . 3 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ V
15		eqeq1 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0ℎ)) → (𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦))))
16	15	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0ℎ)) → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦)))))
17	16	rexbidv 3157	. . 3 ⊢ (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0ℎ)) → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦)))))
18	14, 17	elab 3646	. 2 ⊢ ((abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘(𝑇‘𝑦))))
19	13, 18	mpbir 231	1 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))}

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  0cc0 11068  1c1 11069   ≤ cle 11209  abscabs 15200   ℋchba 30848  norm_ℎcno 30852  0_ℎc0v 30853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-hv0cl 30932  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his3 31013

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-hnorm 30897

This theorem is referenced by:  nmfnrepnf  31809