HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmfnsetn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmfnsetn0 29640
Description: The set in the supremum of the functional norm definition df-nmfn 29607 is nonempty. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmfnsetn0 (abs‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmfnsetn0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 28765 . . 3 0 ∈ ℋ
2 norm0 28890 . . . . 5 (norm‘0) = 0
3 0le1 11140 . . . . 5 0 ≤ 1
42, 3eqbrtri 5060 . . . 4 (norm‘0) ≤ 1
5 eqid 2821 . . . 4 (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0))
64, 5pm3.2i 474 . . 3 ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0)))
7 fveq2 6643 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = (norm‘0))
87breq1d 5049 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ (norm‘0) ≤ 1))
9 2fveq3 6648 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (abs‘(𝑇𝑦)) = (abs‘(𝑇‘0)))
109eqeq2d 2832 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0))))
118, 10anbi12d 633 . . . 4 (𝑦 = 0 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0)))))
1211rspcev 3600 . . 3 ((0 ∈ ℋ ∧ ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇‘0)))) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
131, 6, 12mp2an 691 . 2 𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦)))
14 fvex 6656 . . 3 (abs‘(𝑇‘0)) ∈ V
15 eqeq1 2825 . . . . 5 (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0)) → (𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)) ↔ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
1615anbi2d 631 . . . 4 (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0)) → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦)))))
1716rexbidv 3283 . . 3 (𝑥 = (abs‘(𝑇‘0)) → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦)))))
1814, 17elab 3644 . 2 ((abs‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (abs‘(𝑇‘0)) = (abs‘(𝑇𝑦))))
1913, 18mpbir 234 1 (abs‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇𝑦)))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  {cab 2799  wrex 3127   class class class wbr 5039  cfv 6328  0cc0 10514  1c1 10515  cle 10653  abscabs 14572  chba 28681  normcno 28685  0c0v 28686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-hv0cl 28765  ax-hvmul0 28772  ax-hfi 28841  ax-his3 28846
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-rp 12368  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-hnorm 28730
This theorem is referenced by:  nmfnrepnf  29642
  Copyright terms: Public domain W3C validator