Theorem nmfnrepnf 30242

Description: The norm of a Hilbert space functional is either real or plus infinity. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmfnrepnf	⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normfn‘𝑇) ≠ +∞))

Proof of Theorem nmfnrepnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmfnsetre 30239	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ)
2		nmfnsetn0 30240	. . . 4 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))}
3	2	ne0ii 4271	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))} ≠ ∅
4		supxrre2 13065	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))} ≠ ∅) → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ) ≠ +∞))
5	1, 3, 4	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ) ≠ +∞))
6		nmfnval 30238	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn‘𝑇) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
7	6	eleq1d 2823	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ) ∈ ℝ))
8	6	neeq1d 3003	. 2 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((normfn‘𝑇) ≠ +∞ ↔ sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (abs‘(𝑇‘𝑦)))}, ℝ*, < ) ≠ +∞))
9	5, 7, 8	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((normfn‘𝑇) ∈ ℝ ↔ (normfn‘𝑇) ≠ +∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  supcsup 9199  ℂcc 10869  ℝcr 10870  1c1 10872  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  abscabs 14945   ℋchba 29281  norm_ℎcno 29285  0_ℎc0v 29286  norm_fncnmf 29313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-hilex 29361  ax-hv0cl 29365  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his3 29446

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-hnorm 29330  df-nmfn 30207

This theorem is referenced by: (None)