HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopsetn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopsetn0 30849
Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmop 30823 is nonempty. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopsetn0 (norm‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmopsetn0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 29987 . . 3 0 ∈ ℋ
2 norm0 30112 . . . . 5 (norm‘0) = 0
3 0le1 11683 . . . . 5 0 ≤ 1
42, 3eqbrtri 5127 . . . 4 (norm‘0) ≤ 1
5 eqid 2733 . . . 4 (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0))
64, 5pm3.2i 472 . . 3 ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0)))
7 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = (norm‘0))
87breq1d 5116 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ (norm‘0) ≤ 1))
9 2fveq3 6848 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm‘(𝑇‘0)))
109eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)) ↔ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0))))
118, 10anbi12d 632 . . . 4 (𝑦 = 0 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0)))))
1211rspcev 3580 . . 3 ((0 ∈ ℋ ∧ ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0)))) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
131, 6, 12mp2an 691 . 2 𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)))
14 fvex 6856 . . 3 (norm‘(𝑇‘0)) ∈ V
15 eqeq1 2737 . . . . 5 (𝑥 = (norm‘(𝑇‘0)) → (𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)) ↔ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
1615anbi2d 630 . . . 4 (𝑥 = (norm‘(𝑇‘0)) → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)))))
1716rexbidv 3172 . . 3 (𝑥 = (norm‘(𝑇‘0)) → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)))))
1814, 17elab 3631 . 2 ((norm‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
1913, 18mpbir 230 1 (norm‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wrex 3070   class class class wbr 5106  cfv 6497  0cc0 11056  1c1 11057  cle 11195  chba 29903  normcno 29907  0c0v 29908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-hv0cl 29987  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his3 30068
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-hnorm 29952
This theorem is referenced by:  nmoprepnf  30851
  Copyright terms: Public domain W3C validator