Theorem nmopsetn0 31894

Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmop 31868 is nonempty. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopsetn0	⊢ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmopsetn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31032	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		norm0 31157	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
3		0le1 11784	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
4	2, 3	eqbrtri 5169	. . . 4 ⊢ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ))
6	4, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((normℎ‘0ℎ) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)))
7		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = (normℎ‘0ℎ))
8	7	breq1d 5158	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ↔ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1))
9		2fveq3 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)))
10	9	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ))))
11	8, 10	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘0ℎ) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)))))
12	11	rspcev 3622	. . 3 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ ((normℎ‘0ℎ) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)))) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))))
13	1, 6, 12	mp2an 692	. 2 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))
14		fvex 6920	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ V
15		eqeq1 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) → (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))))
16	15	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))))
17	16	rexbidv 3177	. . 3 ⊢ (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))))
18	14, 17	elab 3681	. 2 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))))
19	13, 18	mpbir 231	1 ⊢ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {cab 2712  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  0cc0 11153  1c1 11154   ≤ cle 11294   ℋchba 30948  norm_ℎcno 30952  0_ℎc0v 30953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-hv0cl 31032  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his3 31113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-hnorm 30997

This theorem is referenced by:  nmoprepnf  31896