HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopsetn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopsetn0 29423
Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmop 29397 is nonempty. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopsetn0 (norm‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmopsetn0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 28559 . . 3 0 ∈ ℋ
2 norm0 28684 . . . . 5 (norm‘0) = 0
3 0le1 10964 . . . . 5 0 ≤ 1
42, 3eqbrtri 4950 . . . 4 (norm‘0) ≤ 1
5 eqid 2778 . . . 4 (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0))
64, 5pm3.2i 463 . . 3 ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0)))
7 fveq2 6499 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = (norm‘0))
87breq1d 4939 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ (norm‘0) ≤ 1))
9 2fveq3 6504 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm‘(𝑇‘0)))
109eqeq2d 2788 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)) ↔ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0))))
118, 10anbi12d 621 . . . 4 (𝑦 = 0 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0)))))
1211rspcev 3535 . . 3 ((0 ∈ ℋ ∧ ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0)))) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
131, 6, 12mp2an 679 . 2 𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)))
14 fvex 6512 . . 3 (norm‘(𝑇‘0)) ∈ V
15 eqeq1 2782 . . . . 5 (𝑥 = (norm‘(𝑇‘0)) → (𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)) ↔ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
1615anbi2d 619 . . . 4 (𝑥 = (norm‘(𝑇‘0)) → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)))))
1716rexbidv 3242 . . 3 (𝑥 = (norm‘(𝑇‘0)) → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)))))
1814, 17elab 3582 . 2 ((norm‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
1913, 18mpbir 223 1 (norm‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  {cab 2758  wrex 3089   class class class wbr 4929  cfv 6188  0cc0 10335  1c1 10336  cle 10475  chba 28475  normcno 28479  0c0v 28480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-hv0cl 28559  ax-hvmul0 28566  ax-hfi 28635  ax-his3 28640
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-hnorm 28524
This theorem is referenced by:  nmoprepnf  29425
  Copyright terms: Public domain W3C validator