Theorem nmopsetn0 32460

Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmop 32434 is nonempty. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopsetn0	⊢ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmopsetn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31598	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		norm0 31723	. . . . 5 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
3		0le1 11832	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 1
4	2, 3	eqbrtri 5126	. . . 4 ⊢ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ))
6	4, 5	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ((normℎ‘0ℎ) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)))
7		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘𝑦) = (normℎ‘0ℎ))
8	7	breq1d 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ↔ (normℎ‘0ℎ) ≤ 1))
9		2fveq3 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)))
10	9	eqeq2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → ((normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ))))
11	8, 10	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘0ℎ) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)))))
12	11	rspcev 3577	. . 3 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ ((normℎ‘0ℎ) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)))) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))))
13	1, 6, 12	mp2an 705	. 2 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))
14		fvex 6896	. . 3 ⊢ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ V
15		eqeq1 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) → (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)) ↔ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))))
16	15	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))))
17	16	rexbidv 3187	. . 3 ⊢ (𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))))
18	14, 17	elab 3633	. 2 ⊢ ((normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) = (normℎ‘(𝑇‘𝑦))))
19	13, 18	mpbir 234	1 ⊢ (normℎ‘(𝑇‘0ℎ)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘(𝑇‘𝑦)))}

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  0cc0 11193  1c1 11194   ≤ cle 11337   ℋchba 31514  norm_ℎcno 31518  0_ℎc0v 31519

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-hv0cl 31598  ax-hvmul0 31605  ax-hfi 31674  ax-his3 31679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-hnorm 31563

This theorem is used by:  nmoprepnf  32462