HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopsetn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopsetn0 29569
Description: The set in the supremum of the operator norm definition df-nmop 29543 is nonempty. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nmopsetn0 (norm‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem nmopsetn0
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 28707 . . 3 0 ∈ ℋ
2 norm0 28832 . . . . 5 (norm‘0) = 0
3 0le1 11151 . . . . 5 0 ≤ 1
42, 3eqbrtri 5078 . . . 4 (norm‘0) ≤ 1
5 eqid 2818 . . . 4 (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0))
64, 5pm3.2i 471 . . 3 ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0)))
7 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (norm𝑦) = (norm‘0))
87breq1d 5067 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((norm𝑦) ≤ 1 ↔ (norm‘0) ≤ 1))
9 2fveq3 6668 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (norm‘(𝑇𝑦)) = (norm‘(𝑇‘0)))
109eqeq2d 2829 . . . . 5 (𝑦 = 0 → ((norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)) ↔ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0))))
118, 10anbi12d 630 . . . 4 (𝑦 = 0 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0)))))
1211rspcev 3620 . . 3 ((0 ∈ ℋ ∧ ((norm‘0) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇‘0)))) → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
131, 6, 12mp2an 688 . 2 𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)))
14 fvex 6676 . . 3 (norm‘(𝑇‘0)) ∈ V
15 eqeq1 2822 . . . . 5 (𝑥 = (norm‘(𝑇‘0)) → (𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)) ↔ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
1615anbi2d 628 . . . 4 (𝑥 = (norm‘(𝑇‘0)) → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)))))
1716rexbidv 3294 . . 3 (𝑥 = (norm‘(𝑇‘0)) → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦)))))
1814, 17elab 3664 . 2 ((norm‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ (norm‘(𝑇‘0)) = (norm‘(𝑇𝑦))))
1913, 18mpbir 232 1 (norm‘(𝑇‘0)) ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘(𝑇𝑦)))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  0cc0 10525  1c1 10526  cle 10664  chba 28623  normcno 28627  0c0v 28628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-hv0cl 28707  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his3 28788
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-hnorm 28672
This theorem is referenced by:  nmoprepnf  29571
  Copyright terms: Public domain W3C validator