Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeglt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdeglt 24670
 Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z 0 = (0g𝑅)
mdegval.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
mdeglt.f (𝜑𝐹𝐵)
medglt.x (𝜑𝑋𝐴)
mdeglt.lt (𝜑 → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋))
Assertion
Ref Expression
mdeglt (𝜑 → (𝐹𝑋) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑚,𝐼   0 ,   ,𝐼,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑚)   𝐴(𝑚)   𝐵(,𝑚)   𝐷(,𝑚)   𝑃(,𝑚)   𝑅(,𝑚)   𝐹(,𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝑋(,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdeglt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdeglt.lt . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋))
2 fveq2 6649 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑋))
32breq2d 5045 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) ↔ (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋)))
4 fveqeq2 6658 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) = 0 ↔ (𝐹𝑋) = 0 ))
53, 4imbi12d 348 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑋) → (𝐹𝑋) = 0 )))
6 mdeglt.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
7 mdegval.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
8 mdegval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9 mdegval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑃)
10 mdegval.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
11 mdegval.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
12 mdegval.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
137, 8, 9, 10, 11, 12mdegval 24668 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
146, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
15 imassrn 5911 . . . . . . . 8 (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
168, 9mplrcl 20733 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
1711, 12tdeglem1 24663 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ V → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
18 frn 6497 . . . . . . . . . 10 (𝐻:𝐴⟶ℕ0 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
196, 16, 17, 184syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
20 nn0ssre 11893 . . . . . . . . . 10 0 ⊆ ℝ
21 ressxr 10678 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
2220, 21sstri 3927 . . . . . . . . 9 0 ⊆ ℝ*
2319, 22sstrdi 3930 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
2415, 23sstrid 3929 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
25 supxrcl 12700 . . . . . . 7 ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2714, 26eqeltrd 2893 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
2827xrleidd 12537 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
297, 8, 9, 10, 11, 12mdegleb 24669 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
306, 27, 29syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
3128, 30mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))
32 medglt.x . . 3 (𝜑𝑋𝐴)
335, 31, 32rspcdva 3576 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑋) → (𝐹𝑋) = 0 ))
341, 33mpd 15 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  {crab 3113  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ◡ccnv 5522  ran crn 5524   “ cima 5526  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   supp csupp 7817   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  supcsup 8892  ℝcr 10529  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16479  0gc0g 16709   Σg cgsu 16710  ℂfldccnfld 20095   mPoly cmpl 20595   mDeg cmdg 24658 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-cnfld 20096  df-psr 20598  df-mpl 20600  df-mdeg 24660 This theorem is referenced by:  mdegaddle  24679  mdegvscale  24680  mdegmullem  24683
 Copyright terms: Public domain W3C validator