Theorem mdeglt 25946

Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
mdeglt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
medglt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
mdeglt.lt	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
mdeglt	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑚,𝐼   0 ,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑚)   𝐴(𝑚)   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(ℎ,𝑚)   𝑃(ℎ,𝑚)   𝑅(ℎ,𝑚)   𝐹(ℎ,𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝑋(ℎ,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdeglt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdeglt.lt	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋))
2		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑋))
3	2	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) ↔ (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋)))
4		fveqeq2 6849	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘𝑋) = 0 ))
5	3, 4	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋) → (𝐹‘𝑋) = 0 )))
6		mdeglt.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		mdegval.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
8		mdegval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		mdegval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		mdegval.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		mdegval.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
12		mdegval.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	mdegval 25944	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
14	6, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
15		imassrn 6031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
16	11, 12	tdeglem1 25939	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
17		frn 6677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻:𝐴⟶ℕ0 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
19		nn0ssre 12422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
20		ressxr 11194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
21	19, 20	sstri 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
22	18, 21	sstrdi 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
23	15, 22	sstrid 3955	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
24		supxrcl 13251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
26	14, 25	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
27	26	xrleidd 13088	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
28	7, 8, 9, 10, 11, 12	mdegleb 25945	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
29	6, 26, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
30	27, 29	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))
31		medglt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
32	5, 30, 31	rspcdva 3586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋) → (𝐹‘𝑋) = 0 ))
33	1, 32	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3402   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632   “ cima 5634  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   supp csupp 8116   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895  supcsup 9367  ℝcr 11043  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155  0_gc0g 17378   Σ_g cgsu 17379  ℂ_fldccnfld 21240   mPoly cmpl 21791   mDeg cmdg 25934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-cring 20121  df-cnfld 21241  df-psr 21794  df-mpl 21796  df-mdeg 25936

This theorem is referenced by:  mdegaddle  25955  mdegvscale  25956  mdegmullem  25959