MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeglt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdeglt 25453
Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mdegval.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mdegval.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
mdeglt.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
medglt.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
mdeglt.lt (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹))
Assertion
Ref Expression
mdeglt (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   π‘š,𝐼   0 ,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž,π‘š)   𝐴(π‘š)   𝐡(β„Ž,π‘š)   𝐷(β„Ž,π‘š)   𝑃(β„Ž,π‘š)   𝑅(β„Ž,π‘š)   𝐹(β„Ž,π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝑋(β„Ž,π‘š)   0 (π‘š)

Proof of Theorem mdeglt
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdeglt.lt . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹))
2 fveq2 6846 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘‹))
32breq2d 5121 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) ↔ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹)))
4 fveqeq2 6855 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 ))
53, 4imbi12d 345 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ) ↔ ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 )))
6 mdeglt.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
7 mdegval.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
8 mdegval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9 mdegval.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
10 mdegval.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘…)
11 mdegval.a . . . . . . . 8 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
12 mdegval.h . . . . . . . 8 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
137, 8, 9, 10, 11, 12mdegval 25451 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
146, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
15 imassrn 6028 . . . . . . . 8 (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ran 𝐻
1611, 12tdeglem1 25443 . . . . . . . . . 10 𝐻:π΄βŸΆβ„•0
17 frn 6679 . . . . . . . . . 10 (𝐻:π΄βŸΆβ„•0 β†’ ran 𝐻 βŠ† β„•0)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† β„•0)
19 nn0ssre 12425 . . . . . . . . . 10 β„•0 βŠ† ℝ
20 ressxr 11207 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† ℝ*
2119, 20sstri 3957 . . . . . . . . 9 β„•0 βŠ† ℝ*
2218, 21sstrdi 3960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† ℝ*)
2315, 22sstrid 3959 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ*)
24 supxrcl 13243 . . . . . . 7 ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ* β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2614, 25eqeltrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
2726xrleidd 13080 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ))
287, 8, 9, 10, 11, 12mdegleb 25452 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )))
296, 26, 28syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )))
3027, 29mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ))
31 medglt.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
325, 30, 31rspcdva 3584 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 ))
331, 32mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638   β€œ cima 5640  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889  supcsup 9384  β„cr 11058  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  β„‚fldccnfld 20819   mPoly cmpl 21331   mDeg cmdg 25438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-cnfld 20820  df-psr 21334  df-mpl 21336  df-mdeg 25440
This theorem is referenced by:  mdegaddle  25462  mdegvscale  25463  mdegmullem  25466
  Copyright terms: Public domain W3C validator