MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeglt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdeglt 25582
Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mdegval.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mdegval.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
mdeglt.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
medglt.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
mdeglt.lt (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹))
Assertion
Ref Expression
mdeglt (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   π‘š,𝐼   0 ,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž,π‘š)   𝐴(π‘š)   𝐡(β„Ž,π‘š)   𝐷(β„Ž,π‘š)   𝑃(β„Ž,π‘š)   𝑅(β„Ž,π‘š)   𝐹(β„Ž,π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝑋(β„Ž,π‘š)   0 (π‘š)
Proof of Theorem mdeglt
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdeglt.lt . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹))
2 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘‹))
32breq2d 5160 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) ↔ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹)))
4 fveqeq2 6900 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 ))
53, 4imbi12d 344 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ) ↔ ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 )))
6 mdeglt.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
7 mdegval.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
8 mdegval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9 mdegval.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
10 mdegval.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘…)
11 mdegval.a . . . . . . . 8 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
12 mdegval.h . . . . . . . 8 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
137, 8, 9, 10, 11, 12mdegval 25580 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
146, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
15 imassrn 6070 . . . . . . . 8 (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ran 𝐻
1611, 12tdeglem1 25572 . . . . . . . . . 10 𝐻:π΄βŸΆβ„•0
17 frn 6724 . . . . . . . . . 10 (𝐻:π΄βŸΆβ„•0 β†’ ran 𝐻 βŠ† β„•0)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† β„•0)
19 nn0ssre 12475 . . . . . . . . . 10 β„•0 βŠ† ℝ
20 ressxr 11257 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† ℝ*
2119, 20sstri 3991 . . . . . . . . 9 β„•0 βŠ† ℝ*
2218, 21sstrdi 3994 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† ℝ*)
2315, 22sstrid 3993 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ*)
24 supxrcl 13293 . . . . . . 7 ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ* β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2614, 25eqeltrd 2833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
2726xrleidd 13130 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ))
287, 8, 9, 10, 11, 12mdegleb 25581 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )))
296, 26, 28syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )))
3027, 29mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ))
31 medglt.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
325, 30, 31rspcdva 3613 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 ))
331, 32mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   supp csupp 8145   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  supcsup 9434  β„cr 11108  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  Basecbs 17143  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385  β„‚fldccnfld 20943   mPoly cmpl 21458   mDeg cmdg 25567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-cnfld 20944  df-psr 21461  df-mpl 21463  df-mdeg 25569
This theorem is referenced by:  mdegaddle  25591  mdegvscale  25592  mdegmullem  25595
  Copyright terms: Public domain W3C validator