MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeglt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdeglt 24225
Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z 0 = (0g𝑅)
mdegval.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
mdeglt.f (𝜑𝐹𝐵)
medglt.x (𝜑𝑋𝐴)
mdeglt.lt (𝜑 → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋))
Assertion
Ref Expression
mdeglt (𝜑 → (𝐹𝑋) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑚,𝐼   0 ,   ,𝐼,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑚)   𝐴(𝑚)   𝐵(,𝑚)   𝐷(,𝑚)   𝑃(,𝑚)   𝑅(,𝑚)   𝐹(,𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝑋(,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdeglt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdeglt.lt . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋))
2 fveq2 6434 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑋))
32breq2d 4886 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) ↔ (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋)))
4 fveqeq2 6443 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) = 0 ↔ (𝐹𝑋) = 0 ))
53, 4imbi12d 336 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑋) → (𝐹𝑋) = 0 )))
6 mdeglt.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
7 mdegval.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
8 mdegval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9 mdegval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑃)
10 mdegval.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
11 mdegval.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
12 mdegval.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
137, 8, 9, 10, 11, 12mdegval 24223 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
146, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
15 imassrn 5719 . . . . . . . 8 (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
168, 9mplrcl 19851 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
1711, 12tdeglem1 24218 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ V → 𝐻:𝐴⟶ℕ0)
18 frn 6285 . . . . . . . . . 10 (𝐻:𝐴⟶ℕ0 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
196, 16, 17, 184syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
20 nn0ssre 11623 . . . . . . . . . 10 0 ⊆ ℝ
21 ressxr 10401 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
2220, 21sstri 3837 . . . . . . . . 9 0 ⊆ ℝ*
2319, 22syl6ss 3840 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
2415, 23syl5ss 3839 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
25 supxrcl 12434 . . . . . . 7 ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2714, 26eqeltrd 2907 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
2827xrleidd 12272 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
297, 8, 9, 10, 11, 12mdegleb 24224 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
306, 27, 29syl2anc 581 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
3128, 30mpbid 224 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))
32 medglt.x . . 3 (𝜑𝑋𝐴)
335, 31, 32rspcdva 3533 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑋) → (𝐹𝑋) = 0 ))
341, 33mpd 15 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3118  {crab 3122  Vcvv 3415  wss 3799   class class class wbr 4874  cmpt 4953  ccnv 5342  ran crn 5344  cima 5346  wf 6120  cfv 6124  (class class class)co 6906   supp csupp 7560  𝑚 cmap 8123  Fincfn 8223  supcsup 8616  cr 10252  *cxr 10391   < clt 10392  cle 10393  cn 11351  0cn0 11619  Basecbs 16223  0gc0g 16454   Σg cgsu 16455   mPoly cmpl 19715  fldccnfld 20107   mDeg cmdg 24213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-sup 8618  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-hash 13412  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-cring 18905  df-psr 19718  df-mpl 19720  df-cnfld 20108  df-mdeg 24215
This theorem is referenced by:  mdegaddle  24234  mdegvscale  24235  mdegmullem  24238
  Copyright terms: Public domain W3C validator