MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeglt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdeglt 25923
Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mdegval.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mdegval.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
mdeglt.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
medglt.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
mdeglt.lt (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹))
Assertion
Ref Expression
mdeglt (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   π‘š,𝐼   0 ,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž,π‘š)   𝐴(π‘š)   𝐡(β„Ž,π‘š)   𝐷(β„Ž,π‘š)   𝑃(β„Ž,π‘š)   𝑅(β„Ž,π‘š)   𝐹(β„Ž,π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝑋(β„Ž,π‘š)   0 (π‘š)
Proof of Theorem mdeglt
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdeglt.lt . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹))
2 fveq2 6881 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘‹))
32breq2d 5150 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) ↔ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹)))
4 fveqeq2 6890 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 ))
53, 4imbi12d 344 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ) ↔ ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 )))
6 mdeglt.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
7 mdegval.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
8 mdegval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9 mdegval.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
10 mdegval.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘…)
11 mdegval.a . . . . . . . 8 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
12 mdegval.h . . . . . . . 8 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
137, 8, 9, 10, 11, 12mdegval 25921 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
146, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
15 imassrn 6060 . . . . . . . 8 (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ran 𝐻
1611, 12tdeglem1 25913 . . . . . . . . . 10 𝐻:π΄βŸΆβ„•0
17 frn 6714 . . . . . . . . . 10 (𝐻:π΄βŸΆβ„•0 β†’ ran 𝐻 βŠ† β„•0)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† β„•0)
19 nn0ssre 12473 . . . . . . . . . 10 β„•0 βŠ† ℝ
20 ressxr 11255 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† ℝ*
2119, 20sstri 3983 . . . . . . . . 9 β„•0 βŠ† ℝ*
2218, 21sstrdi 3986 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† ℝ*)
2315, 22sstrid 3985 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ*)
24 supxrcl 13291 . . . . . . 7 ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ* β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2614, 25eqeltrd 2825 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
2726xrleidd 13128 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ))
287, 8, 9, 10, 11, 12mdegleb 25922 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )))
296, 26, 28syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )))
3027, 29mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ))
31 medglt.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
325, 30, 31rspcdva 3605 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 ))
331, 32mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {crab 3424   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  β—‘ccnv 5665  ran crn 5667   β€œ cima 5669  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   supp csupp 8140   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  supcsup 9431  β„cr 11105  β„*cxr 11244   < clt 11245   ≀ cle 11246  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  Basecbs 17143  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385  β„‚fldccnfld 21228   mPoly cmpl 21768   mDeg cmdg 25908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-cnfld 21229  df-psr 21771  df-mpl 21773  df-mdeg 25910
This theorem is referenced by:  mdegaddle  25932  mdegvscale  25933  mdegmullem  25936
  Copyright terms: Public domain W3C validator