Theorem mdeglt 26026

Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
mdeglt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
medglt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
mdeglt.lt	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
mdeglt	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑚,𝐼   0 ,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑚)   𝐴(𝑚)   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(ℎ,𝑚)   𝑃(ℎ,𝑚)   𝑅(ℎ,𝑚)   𝐹(ℎ,𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝑋(ℎ,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdeglt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdeglt.lt	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋))
2		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑋))
3	2	breq2d 5110	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) ↔ (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋)))
4		fveqeq2 6843	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘𝑋) = 0 ))
5	3, 4	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋) → (𝐹‘𝑋) = 0 )))
6		mdeglt.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		mdegval.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
8		mdegval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		mdegval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		mdegval.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		mdegval.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
12		mdegval.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	mdegval 26024	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
14	6, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
15		imassrn 6030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
16	11, 12	tdeglem1 26019	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
17		frn 6669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻:𝐴⟶ℕ0 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
19		nn0ssre 12405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
20		ressxr 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
21	19, 20	sstri 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
22	18, 21	sstrdi 3946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
23	15, 22	sstrid 3945	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
24		supxrcl 13230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
26	14, 25	eqeltrd 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
27	26	xrleidd 13066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
28	7, 8, 9, 10, 11, 12	mdegleb 26025	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
29	6, 26, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
30	27, 29	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))
31		medglt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
32	5, 30, 31	rspcdva 3577	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋) → (𝐹‘𝑋) = 0 ))
33	1, 32	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  {crab 3399   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623  ran crn 5625   “ cima 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  supcsup 9343  ℝcr 11025  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  ℂ_fldccnfld 21309   mPoly cmpl 21862   mDeg cmdg 26014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-cnfld 21310  df-psr 21865  df-mpl 21867  df-mdeg 26016

This theorem is referenced by:  mdegaddle  26035  mdegvscale  26036  mdegmullem  26039