Theorem mdeglt 26376

Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
mdeglt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
medglt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
mdeglt.lt	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
mdeglt	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑚,𝐼   0 ,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ, 𝑚)   𝐴(𝑚)   𝐵(ℎ, 𝑚)   𝐷(ℎ, 𝑚)   𝑃(ℎ, 𝑚)   𝑅(ℎ, 𝑚)   𝐹(ℎ, 𝑚)   𝐻(ℎ, 𝑚)   𝑋(ℎ, 𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdeglt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdeglt.lt	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋))
2		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑋))
3	2	breq2d 5115	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) ↔ (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋)))
4		fveqeq2 6892	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘𝑋) = 0 ))
5	3, 4	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋) → (𝐹‘𝑋) = 0 )))
6		mdeglt.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		mdegval.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
8		mdegval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		mdegval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		mdegval.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		mdegval.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
12		mdegval.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	mdegval 26374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
14	6, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
15		imassrn 6196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
16	11, 12	tdeglem1 26369	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
17		frn 6715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻:𝐴⟶ℕ0 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
18	16, 17	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
19		nn0ssre 12603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
20		ressxr 11346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
21	19, 20	sstri 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
22	18, 21	sstrdi 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
23	15, 22	sstrid 3942	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
24		supxrcl 13438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
25	23, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
26	14, 25	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
27	26	xrleidd 13274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
28	7, 8, 9, 10, 11, 12	mdegleb 26375	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
29	6, 26, 28	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
30	27, 29	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))
31		medglt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
32	5, 30, 31	rspcdva 3578	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋) → (𝐹‘𝑋) = 0 ))
33	1, 32	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652   “ cima 5654  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   supp csupp 8170   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8966  supcsup 9425  ℝcr 11192  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  Basecbs 17380  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  ℂ_fldccnfld 21671   mPoly cmpl 22207   mDeg cmdg 26364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-cnfld 21672  df-psr 22210  df-mpl 22212  df-mdeg 26366

This theorem is used by:  mdegaddle  26385  mdegvscale  26386  mdegmullem  26389