MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeglt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdeglt 26104
Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z 0 = (0g𝑅)
mdegval.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
mdeglt.f (𝜑𝐹𝐵)
medglt.x (𝜑𝑋𝐴)
mdeglt.lt (𝜑 → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋))
Assertion
Ref Expression
mdeglt (𝜑 → (𝐹𝑋) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑚,𝐼   0 ,   ,𝐼,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑚)   𝐴(𝑚)   𝐵(,𝑚)   𝐷(,𝑚)   𝑃(,𝑚)   𝑅(,𝑚)   𝐹(,𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝑋(,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdeglt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdeglt.lt . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋))
2 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑋))
32breq2d 5155 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) ↔ (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋)))
4 fveqeq2 6915 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) = 0 ↔ (𝐹𝑋) = 0 ))
53, 4imbi12d 344 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑋) → (𝐹𝑋) = 0 )))
6 mdeglt.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
7 mdegval.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
8 mdegval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9 mdegval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑃)
10 mdegval.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
11 mdegval.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
12 mdegval.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
137, 8, 9, 10, 11, 12mdegval 26102 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
146, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
15 imassrn 6089 . . . . . . . 8 (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
1611, 12tdeglem1 26097 . . . . . . . . . 10 𝐻:𝐴⟶ℕ0
17 frn 6743 . . . . . . . . . 10 (𝐻:𝐴⟶ℕ0 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
19 nn0ssre 12530 . . . . . . . . . 10 0 ⊆ ℝ
20 ressxr 11305 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
2119, 20sstri 3993 . . . . . . . . 9 0 ⊆ ℝ*
2218, 21sstrdi 3996 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
2315, 22sstrid 3995 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
24 supxrcl 13357 . . . . . . 7 ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2614, 25eqeltrd 2841 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
2726xrleidd 13194 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
287, 8, 9, 10, 11, 12mdegleb 26103 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
296, 26, 28syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
3027, 29mpbid 232 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))
31 medglt.x . . 3 (𝜑𝑋𝐴)
325, 30, 31rspcdva 3623 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑋) → (𝐹𝑋) = 0 ))
331, 32mpd 15 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccnv 5684  ran crn 5686  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985  supcsup 9480  cr 11154  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  fldccnfld 21364   mPoly cmpl 21926   mDeg cmdg 26092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-mdeg 26094
This theorem is referenced by:  mdegaddle  26113  mdegvscale  26114  mdegmullem  26117
  Copyright terms: Public domain W3C validator