MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeglt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdeglt 26118
Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z 0 = (0g𝑅)
mdegval.a 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
mdeglt.f (𝜑𝐹𝐵)
medglt.x (𝜑𝑋𝐴)
mdeglt.lt (𝜑 → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋))
Assertion
Ref Expression
mdeglt (𝜑 → (𝐹𝑋) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑚,𝐼   0 ,   ,𝐼,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑚)   𝐴(𝑚)   𝐵(,𝑚)   𝐷(,𝑚)   𝑃(,𝑚)   𝑅(,𝑚)   𝐹(,𝑚)   𝐻(,𝑚)   𝑋(,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdeglt
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdeglt.lt . 2 (𝜑 → (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋))
2 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑋))
32breq2d 5159 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) ↔ (𝐷𝐹) < (𝐻𝑋)))
4 fveqeq2 6915 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹𝑥) = 0 ↔ (𝐹𝑋) = 0 ))
53, 4imbi12d 344 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑋) → (𝐹𝑋) = 0 )))
6 mdeglt.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
7 mdegval.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
8 mdegval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9 mdegval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑃)
10 mdegval.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
11 mdegval.a . . . . . . . 8 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
12 mdegval.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝐴 ↦ (ℂfld Σg ))
137, 8, 9, 10, 11, 12mdegval 26116 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
146, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
15 imassrn 6090 . . . . . . . 8 (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
1611, 12tdeglem1 26111 . . . . . . . . . 10 𝐻:𝐴⟶ℕ0
17 frn 6743 . . . . . . . . . 10 (𝐻:𝐴⟶ℕ0 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
19 nn0ssre 12527 . . . . . . . . . 10 0 ⊆ ℝ
20 ressxr 11302 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
2119, 20sstri 4004 . . . . . . . . 9 0 ⊆ ℝ*
2218, 21sstrdi 4007 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
2315, 22sstrid 4006 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
24 supxrcl 13353 . . . . . . 7 ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2614, 25eqeltrd 2838 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
2726xrleidd 13190 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹))
287, 8, 9, 10, 11, 12mdegleb 26117 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ (𝐷𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
296, 26, 28syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐹) ≤ (𝐷𝐹) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 )))
3027, 29mpbid 232 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑥) → (𝐹𝑥) = 0 ))
31 medglt.x . . 3 (𝜑𝑋𝐴)
325, 30, 31rspcdva 3622 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝐹) < (𝐻𝑋) → (𝐹𝑋) = 0 ))
331, 32mpd 15 1 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  {crab 3432  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5687  ran crn 5689  cima 5691  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430   supp csupp 8183  m cmap 8864  Fincfn 8983  supcsup 9477  cr 11151  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cn 12263  0cn0 12523  Basecbs 17244  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  fldccnfld 21381   mPoly cmpl 21943   mDeg cmdg 26106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-cnfld 21382  df-psr 21946  df-mpl 21948  df-mdeg 26108
This theorem is referenced by:  mdegaddle  26127  mdegvscale  26128  mdegmullem  26131
  Copyright terms: Public domain W3C validator