Theorem mdeglt 26104

Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mdegval.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdegval.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
mdegval.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
mdeglt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
medglt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
mdeglt.lt	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
mdeglt	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   𝑚,𝐼   0 ,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑚)   𝐴(𝑚)   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(ℎ,𝑚)   𝑃(ℎ,𝑚)   𝑅(ℎ,𝑚)   𝐹(ℎ,𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝑋(ℎ,𝑚)   0 (𝑚)

Proof of Theorem mdeglt

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdeglt.lt	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋))
2		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑋))
3	2	breq2d 5155	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) ↔ (𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋)))
4		fveqeq2 6915	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) = 0 ↔ (𝐹‘𝑋) = 0 ))
5	3, 4	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ) ↔ ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋) → (𝐹‘𝑋) = 0 )))
6		mdeglt.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		mdegval.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
8		mdegval.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		mdegval.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10		mdegval.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		mdegval.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
12		mdegval.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	mdegval 26102	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
14	6, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
15		imassrn 6089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ran 𝐻
16	11, 12	tdeglem1 26097	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻:𝐴⟶ℕ0
17		frn 6743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻:𝐴⟶ℕ0 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℕ0)
19		nn0ssre 12530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
20		ressxr 11305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
21	19, 20	sstri 3993	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
22	18, 21	sstrdi 3996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ*)
23	15, 22	sstrid 3995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ*)
24		supxrcl 13357	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )) ⊆ ℝ* → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
25	23, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup((𝐻 “ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
26	14, 25	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)
27	26	xrleidd 13194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹))
28	7, 8, 9, 10, 11, 12	mdegleb 26103	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
29	6, 26, 28	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) ≤ (𝐷‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 )))
30	27, 29	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) = 0 ))
31		medglt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
32	5, 30, 31	rspcdva 3623	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝐹) < (𝐻‘𝑋) → (𝐹‘𝑋) = 0 ))
33	1, 32	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {crab 3436   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5684  ran crn 5686   “ cima 5688  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  supcsup 9480  ℝcr 11154  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  ℂ_fldccnfld 21364   mPoly cmpl 21926   mDeg cmdg 26092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-cnfld 21365  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-mdeg 26094

This theorem is referenced by:  mdegaddle  26113  mdegvscale  26114  mdegmullem  26117