MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdeglt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdeglt 25994
Description: If there is an upper limit on the degree of a polynomial that is lower than the degree of some exponent bag, then that exponent bag is unrepresented in the polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegval.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mdegval.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mdegval.a 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
mdegval.h 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
mdeglt.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
medglt.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
mdeglt.lt (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹))
Assertion
Ref Expression
mdeglt (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐴,β„Ž   π‘š,𝐼   0 ,β„Ž   β„Ž,𝐼,π‘š
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž,π‘š)   𝐴(π‘š)   𝐡(β„Ž,π‘š)   𝐷(β„Ž,π‘š)   𝑃(β„Ž,π‘š)   𝑅(β„Ž,π‘š)   𝐹(β„Ž,π‘š)   𝐻(β„Ž,π‘š)   𝑋(β„Ž,π‘š)   0 (π‘š)
Proof of Theorem mdeglt
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdeglt.lt . 2 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹))
2 fveq2 6891 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘‹))
32breq2d 5154 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) ↔ (π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹)))
4 fveqeq2 6900 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 ))
53, 4imbi12d 344 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ) ↔ ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 )))
6 mdeglt.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
7 mdegval.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
8 mdegval.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9 mdegval.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
10 mdegval.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘…)
11 mdegval.a . . . . . . . 8 𝐴 = {π‘š ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘š β€œ β„•) ∈ Fin}
12 mdegval.h . . . . . . . 8 𝐻 = (β„Ž ∈ 𝐴 ↦ (β„‚fld Ξ£g β„Ž))
137, 8, 9, 10, 11, 12mdegval 25992 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
146, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) = sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ))
15 imassrn 6068 . . . . . . . 8 (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ran 𝐻
1611, 12tdeglem1 25984 . . . . . . . . . 10 𝐻:π΄βŸΆβ„•0
17 frn 6723 . . . . . . . . . 10 (𝐻:π΄βŸΆβ„•0 β†’ ran 𝐻 βŠ† β„•0)
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† β„•0)
19 nn0ssre 12500 . . . . . . . . . 10 β„•0 βŠ† ℝ
20 ressxr 11282 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† ℝ*
2119, 20sstri 3987 . . . . . . . . 9 β„•0 βŠ† ℝ*
2218, 21sstrdi 3990 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† ℝ*)
2315, 22sstrid 3989 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ*)
24 supxrcl 13320 . . . . . . 7 ((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )) βŠ† ℝ* β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ sup((𝐻 β€œ (𝐹 supp 0 )), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
2614, 25eqeltrd 2828 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
2726xrleidd 13157 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ))
287, 8, 9, 10, 11, 12mdegleb 25993 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )))
296, 26, 28syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) ≀ (π·β€˜πΉ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )))
3027, 29mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ))
31 medglt.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
325, 30, 31rspcdva 3608 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΉ) < (π»β€˜π‘‹) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 ))
331, 32mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  {crab 3427   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671  ran crn 5673   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   supp csupp 8159   ↑m cmap 8838  Fincfn 8957  supcsup 9457  β„cr 11131  β„*cxr 11271   < clt 11272   ≀ cle 11273  β„•cn 12236  β„•0cn0 12496  Basecbs 17173  0gc0g 17414   Ξ£g cgsu 17415  β„‚fldccnfld 21272   mPoly cmpl 21832   mDeg cmdg 25979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-cnfld 21273  df-psr 21835  df-mpl 21837  df-mdeg 25981
This theorem is referenced by:  mdegaddle  26003  mdegvscale  26004  mdegmullem  26007
  Copyright terms: Public domain W3C validator