Theorem mdegxrcl 26120

Description: Closure of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegxrcl.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegxrcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegxrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegxrcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem mdegxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegxrcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegxrcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegxrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2734	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 26116	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
8		imassrn 6090	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
9	5, 6	tdeglem1 26111	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)):{𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
10		frn 6743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)):{𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℕ0)
11	9, 10	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℕ0)
12		nn0ssre 12527	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
13		ressxr 11302	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
14	12, 13	sstri 4004	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
15	11, 14	sstrdi 4007	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℝ*)
16	8, 15	sstrid 4006	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*)
17		supxrcl 13353	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ* → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19	7, 18	eqeltrd 2838	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {crab 3432   ⊆ wss 3962   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5687  ran crn 5689   “ cima 5691  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   supp csupp 8183   ↑_m cmap 8864  Fincfn 8983  supcsup 9477  ℝcr 11151  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  Basecbs 17244  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  ℂ_fldccnfld 21381   mPoly cmpl 21943   mDeg cmdg 26106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-cnfld 21382  df-psr 21946  df-mpl 21948  df-mdeg 26108

This theorem is referenced by:  mdegxrf  26121  mdegaddle  26127  mdegvscale  26128  mdegmullem  26131