Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegxrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegxrcl 24666
 Description: Closure of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegxrcl.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegxrcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegxrcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
mdegxrcl (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem mdegxrcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegxrcl.d . . 3 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegxrcl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegxrcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 eqid 2822 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2822 . . 3 {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
6 eqid 2822 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 24662 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
8 imassrn 5918 . . . 4 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
92, 3mplrcl 20727 . . . . . 6 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
105, 6tdeglem1 24657 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)):{𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
11 frn 6500 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)):{𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℕ0)
129, 10, 113syl 18 . . . . 5 (𝐹𝐵 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℕ0)
13 nn0ssre 11889 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
14 ressxr 10674 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
1513, 14sstri 3951 . . . . 5 0 ⊆ ℝ*
1612, 15sstrdi 3954 . . . 4 (𝐹𝐵 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℝ*)
178, 16sstrid 3953 . . 3 (𝐹𝐵 → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℝ*)
18 supxrcl 12696 . . 3 (((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℝ* → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1917, 18syl 17 . 2 (𝐹𝐵 → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
207, 19eqeltrd 2914 1 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {crab 3134  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908   ↦ cmpt 5122  ◡ccnv 5531  ran crn 5533   “ cima 5535  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   supp csupp 7817   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  supcsup 8892  ℝcr 10525  ℝ*cxr 10663   < clt 10664  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  Basecbs 16474  0gc0g 16704   Σg cgsu 16705  ℂfldccnfld 20089   mPoly cmpl 20589   mDeg cmdg 24652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-cnfld 20090  df-psr 20592  df-mpl 20594  df-mdeg 24654 This theorem is referenced by:  mdegxrf  24667  mdegaddle  24673  mdegvscale  24674  mdegmullem  24677
 Copyright terms: Public domain W3C validator