Theorem mdegxrcl 24264

Description: Closure of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegxrcl.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegxrcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegxrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegxrcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem mdegxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegxrcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegxrcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegxrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2778	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2778	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2778	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 24260	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
8		imassrn 5731	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
9	2, 3	mplrcl 19886	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐼 ∈ V)
10	5, 6	tdeglem1 24255	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)):{𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
11		frn 6297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)):{𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℕ0)
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℕ0)
13		nn0ssre 11646	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
14		ressxr 10420	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
15	13, 14	sstri 3830	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
16	12, 15	syl6ss 3833	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℝ*)
17	8, 16	syl5ss 3832	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*)
18		supxrcl 12457	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ* → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19	17, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
20	7, 19	eqeltrd 2859	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {crab 3094  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792   ↦ cmpt 4965  ^◡ccnv 5354  ran crn 5356   “ cima 5358  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   supp csupp 7576   ↑_𝑚 cmap 8140  Fincfn 8241  supcsup 8634  ℝcr 10271  ℝ^*cxr 10410   < clt 10411  ℕcn 11374  ℕ₀cn0 11642  Basecbs 16255  0_gc0g 16486   Σ_g cgsu 16487   mPoly cmpl 19750  ℂ_fldccnfld 20142   mDeg cmdg 24250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-psr 19753  df-mpl 19755  df-cnfld 20143  df-mdeg 24252

This theorem is referenced by:  mdegxrf  24265  mdegaddle  24271  mdegvscale  24272  mdegmullem  24275