MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegxrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegxrcl 24117
Description: Closure of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegxrcl.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegxrcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegxrcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
mdegxrcl (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem mdegxrcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegxrcl.d . . 3 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegxrcl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegxrcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 eqid 2764 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2764 . . 3 {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
6 eqid 2764 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 24113 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
8 imassrn 5658 . . . 4 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
92, 3mplrcl 19762 . . . . . 6 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
105, 6tdeglem1 24108 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)):{𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
11 frn 6228 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)):{𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℕ0)
129, 10, 113syl 18 . . . . 5 (𝐹𝐵 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℕ0)
13 nn0ssre 11541 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
14 ressxr 10336 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℝ*
1513, 14sstri 3769 . . . . 5 0 ⊆ ℝ*
1612, 15syl6ss 3772 . . . 4 (𝐹𝐵 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℝ*)
178, 16syl5ss 3771 . . 3 (𝐹𝐵 → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℝ*)
18 supxrcl 12346 . . 3 (((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℝ* → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1917, 18syl 17 . 2 (𝐹𝐵 → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
207, 19eqeltrd 2843 1 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  {crab 3058  Vcvv 3349  wss 3731  cmpt 4887  ccnv 5275  ran crn 5277  cima 5279  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841   supp csupp 7496  𝑚 cmap 8059  Fincfn 8159  supcsup 8552  cr 10187  *cxr 10326   < clt 10327  cn 11273  0cn0 11537  Basecbs 16131  0gc0g 16367   Σg cgsu 16368   mPoly cmpl 19626  fldccnfld 20018   mDeg cmdg 24103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266  ax-addf 10267  ax-mulf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-sup 8554  df-oi 8621  df-card 9015  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-0g 16369  df-gsum 16370  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-submnd 17603  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-cntz 18014  df-cmn 18460  df-abl 18461  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-ring 18815  df-cring 18816  df-psr 19629  df-mpl 19631  df-cnfld 20019  df-mdeg 24105
This theorem is referenced by:  mdegxrf  24118  mdegaddle  24124  mdegvscale  24125  mdegmullem  24128
  Copyright terms: Public domain W3C validator