Theorem mdegxrcl 26019

Description: Closure of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegxrcl.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegxrcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegxrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegxrcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem mdegxrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegxrcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegxrcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegxrcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2733	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) = (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 26015	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
8		imassrn 6027	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦))
9	5, 6	tdeglem1 26010	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)):{𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
10		frn 6666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)):{𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℕ0)
11	9, 10	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℕ0)
12		nn0ssre 12396	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
13		ressxr 11167	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
14	12, 13	sstri 3940	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
15	11, 14	sstrdi 3943	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ran (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) ⊆ ℝ*)
16	8, 15	sstrid 3942	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*)
17		supxrcl 13221	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ* → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑥 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑦)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19	7, 18	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396   ⊆ wss 3898   ↦ cmpt 5176  ^◡ccnv 5620  ran crn 5622   “ cima 5624  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   supp csupp 8099   ↑_m cmap 8759  Fincfn 8879  supcsup 9335  ℝcr 11016  ℝ^*cxr 11156   < clt 11157  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392  Basecbs 17127  0_gc0g 17350   Σ_g cgsu 17351  ℂ_fldccnfld 21300   mPoly cmpl 21853   mDeg cmdg 26005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-cnfld 21301  df-psr 21856  df-mpl 21858  df-mdeg 26007

This theorem is referenced by:  mdegxrf  26020  mdegaddle  26026  mdegvscale  26027  mdegmullem  26030