MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegxrcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdegxrcl 25947
Description: Closure of polynomial degree in the extended reals. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegxrcl.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegxrcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegxrcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
mdegxrcl (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
Proof of Theorem mdegxrcl
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegxrcl.d . . 3 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegxrcl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegxrcl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 eqid 2724 . . 3 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
5 eqid 2724 . . 3 {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}
6 eqid 2724 . . 3 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) = (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 25943 . 2 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) = sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
8 imassrn 6061 . . . 4 ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† ran (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦))
95, 6tdeglem1 25935 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)):{π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0
10 frn 6715 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)):{π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0 β†’ ran (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) βŠ† β„•0)
119, 10mp1i 13 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ ran (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) βŠ† β„•0)
12 nn0ssre 12475 . . . . . 6 β„•0 βŠ† ℝ
13 ressxr 11257 . . . . . 6 ℝ βŠ† ℝ*
1412, 13sstri 3984 . . . . 5 β„•0 βŠ† ℝ*
1511, 14sstrdi 3987 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ ran (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) βŠ† ℝ*)
168, 15sstrid 3986 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ ((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† ℝ*)
17 supxrcl 13295 . . 3 (((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† ℝ* β†’ sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1816, 17syl 17 . 2 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ sup(((𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘₯ β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑦)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
197, 18eqeltrd 2825 1 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424   βŠ† wss 3941   ↦ cmpt 5222  β—‘ccnv 5666  ran crn 5668   β€œ cima 5670  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   supp csupp 8141   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936  supcsup 9432  β„cr 11106  β„*cxr 11246   < clt 11247  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  Basecbs 17149  0gc0g 17390   Ξ£g cgsu 17391  β„‚fldccnfld 21234   mPoly cmpl 21789   mDeg cmdg 25930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-hash 14292  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-cnfld 21235  df-psr 21792  df-mpl 21794  df-mdeg 25932
This theorem is referenced by:  mdegxrf  25948  mdegaddle  25954  mdegvscale  25955  mdegmullem  25958
  Copyright terms: Public domain W3C validator