Theorem nn0omnd 33603

Description: The nonnegative integers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0omnd	⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd

Proof of Theorem nn0omnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 21720	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2	1	oveq1i 7418	. . 3 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0)
3		reex 11187	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4		nn0ssre 12504	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
5		ressabs 17304	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℕ0 ⊆ ℝ) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0))
6	3, 4, 5	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
7	2, 6	eqtri 2792	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
8		reofld 33602	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ oField
9		isofld 20941	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
10	9	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oField → ℝfld ∈ oRing)
11		orngogrp 20940	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oRing → ℝfld ∈ oGrp)
12		isogrp 20190	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
13	12	simprbi 502	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oGrp → ℝfld ∈ oMnd)
14	10, 11, 13	3syl 19	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ oField → ℝfld ∈ oMnd)
15	8, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ oMnd
16		nn0subm 21537	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
17		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
18	17	submmnd 18868	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
19	16, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd
20	7, 19	eqeltri 2865	. . 3 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd
21		submomnd 20198	. . 3 ⊢ ((ℝfld ∈ oMnd ∧ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd) → (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd)
22	15, 20, 21	mp2an 704	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd
23	7, 22	eqeltrri 2866	1 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  ℕ₀cn0 12500   ↾_s cress 17286  Mndcmnd 18788  SubMndcsubmnd 18836  Grpcgrp 18996  oMndcomnd 20185  oGrpcogrp 20186  Fieldcfield 20810  oRingcorng 20934  oFieldcofld 20935  ℂ_fldccnfld 21487  ℝ_fldcrefld 21719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-addf 11175  ax-mulf 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17490  df-proset 18346  df-poset 18365  df-plt 18380  df-toset 18467  df-ps 18618  df-tsr 18619  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-subg 19185  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-omnd 20187  df-ogrp 20188  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-subrng 20627  df-subrg 20651  df-drng 20811  df-field 20812  df-orng 20936  df-ofld 20937  df-cnfld 21488  df-refld 21720

This theorem is referenced by: (None)