Theorem nn0omnd 33365

Description: The nonnegative integers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0omnd	⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd

Proof of Theorem nn0omnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 21570	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2	1	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0)
3		reex 11225	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4		nn0ssre 12510	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
5		ressabs 17274	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℕ0 ⊆ ℝ) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0))
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
7	2, 6	eqtri 2759	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
8		reofld 33364	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ oField
9		isofld 33329	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
10	9	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oField → ℝfld ∈ oRing)
11		orngogrp 33328	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oRing → ℝfld ∈ oGrp)
12		isogrp 33075	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
13	12	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oGrp → ℝfld ∈ oMnd)
14	10, 11, 13	3syl 18	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ oField → ℝfld ∈ oMnd)
15	8, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ oMnd
16		nn0subm 21395	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
17		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
18	17	submmnd 18796	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
19	16, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd
20	7, 19	eqeltri 2831	. . 3 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd
21		submomnd 33083	. . 3 ⊢ ((ℝfld ∈ oMnd ∧ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd) → (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd)
22	15, 20, 21	mp2an 692	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd
23	7, 22	eqeltrri 2832	1 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  ℕ₀cn0 12506   ↾_s cress 17256  Mndcmnd 18717  SubMndcsubmnd 18765  Grpcgrp 18921  Fieldcfield 20695  ℂ_fldccnfld 21320  ℝ_fldcrefld 21569  oMndcomnd 33070  oGrpcogrp 33071  oRingcorng 33322  oFieldcofld 33323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-addf 11213  ax-mulf 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-0g 17460  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-toset 18432  df-ps 18581  df-tsr 18582  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-subg 19111  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-drng 20696  df-field 20697  df-cnfld 21321  df-refld 21570  df-omnd 33072  df-ogrp 33073  df-orng 33324  df-ofld 33325

This theorem is referenced by: (None)