Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0omnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0omnd 33081
Description: The nonnegative integers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0omnd (ℂflds0) ∈ oMnd

Proof of Theorem nn0omnd
StepHypRef Expression
1 df-refld 21544 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
21oveq1i 7436 . . 3 (ℝflds0) = ((ℂflds ℝ) ↾s0)
3 reex 11237 . . . 4 ℝ ∈ V
4 nn0ssre 12514 . . . 4 0 ⊆ ℝ
5 ressabs 17237 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ ℕ0 ⊆ ℝ) → ((ℂflds ℝ) ↾s0) = (ℂflds0))
63, 4, 5mp2an 690 . . 3 ((ℂflds ℝ) ↾s0) = (ℂflds0)
72, 6eqtri 2756 . 2 (ℝflds0) = (ℂflds0)
8 reofld 33080 . . . 4 fld ∈ oField
9 isofld 33041 . . . . . 6 (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
109simprbi 495 . . . . 5 (ℝfld ∈ oField → ℝfld ∈ oRing)
11 orngogrp 33040 . . . . 5 (ℝfld ∈ oRing → ℝfld ∈ oGrp)
12 isogrp 32803 . . . . . 6 (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
1312simprbi 495 . . . . 5 (ℝfld ∈ oGrp → ℝfld ∈ oMnd)
1410, 11, 133syl 18 . . . 4 (ℝfld ∈ oField → ℝfld ∈ oMnd)
158, 14ax-mp 5 . . 3 fld ∈ oMnd
16 nn0subm 21362 . . . . 5 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
17 eqid 2728 . . . . . 6 (ℂflds0) = (ℂflds0)
1817submmnd 18772 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂflds0) ∈ Mnd)
1916, 18ax-mp 5 . . . 4 (ℂflds0) ∈ Mnd
207, 19eqeltri 2825 . . 3 (ℝflds0) ∈ Mnd
21 submomnd 32811 . . 3 ((ℝfld ∈ oMnd ∧ (ℝflds0) ∈ Mnd) → (ℝflds0) ∈ oMnd)
2215, 20, 21mp2an 690 . 2 (ℝflds0) ∈ oMnd
237, 22eqeltrri 2826 1 (ℂflds0) ∈ oMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  wss 3949  cfv 6553  (class class class)co 7426  cr 11145  0cn0 12510  s cress 17216  Mndcmnd 18701  SubMndcsubmnd 18746  Grpcgrp 18897  Fieldcfield 20632  fldccnfld 21286  fldcrefld 21543  oMndcomnd 32798  oGrpcogrp 32799  oRingcorng 33034  oFieldcofld 33035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-toset 18416  df-ps 18565  df-tsr 18566  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-field 20634  df-cnfld 21287  df-refld 21544  df-omnd 32800  df-ogrp 32801  df-orng 33036  df-ofld 33037
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator