Theorem nn0omnd 32962

Description: The nonnegative integers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0omnd	⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd

Proof of Theorem nn0omnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 21493	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2	1	oveq1i 7414	. . 3 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0)
3		reex 11200	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4		nn0ssre 12477	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
5		ressabs 17200	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℕ0 ⊆ ℝ) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0))
6	3, 4, 5	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
7	2, 6	eqtri 2754	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
8		reofld 32961	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ oField
9		isofld 32922	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
10	9	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oField → ℝfld ∈ oRing)
11		orngogrp 32921	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oRing → ℝfld ∈ oGrp)
12		isogrp 32723	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
13	12	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oGrp → ℝfld ∈ oMnd)
14	10, 11, 13	3syl 18	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ oField → ℝfld ∈ oMnd)
15	8, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ oMnd
16		nn0subm 21311	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
17		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
18	17	submmnd 18735	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
19	16, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd
20	7, 19	eqeltri 2823	. . 3 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd
21		submomnd 32731	. . 3 ⊢ ((ℝfld ∈ oMnd ∧ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd) → (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd)
22	15, 20, 21	mp2an 689	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd
23	7, 22	eqeltrri 2824	1 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℝcr 11108  ℕ₀cn0 12473   ↾_s cress 17179  Mndcmnd 18664  SubMndcsubmnd 18709  Grpcgrp 18860  Fieldcfield 20585  ℂ_fldccnfld 21235  ℝ_fldcrefld 21492  oMndcomnd 32718  oGrpcogrp 32719  oRingcorng 32915  oFieldcofld 32916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-toset 18379  df-ps 18528  df-tsr 18529  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-subg 19047  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-drng 20586  df-field 20587  df-cnfld 21236  df-refld 21493  df-omnd 32720  df-ogrp 32721  df-orng 32917  df-ofld 32918

This theorem is referenced by: (None)