Theorem nn0omnd 33081

Description: The nonnegative integers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0omnd	⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd

Proof of Theorem nn0omnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-refld 21544	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
2	1	oveq1i 7436	. . 3 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0)
3		reex 11237	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
4		nn0ssre 12514	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
5		ressabs 17237	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ ℕ0 ⊆ ℝ) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0))
6	3, 4, 5	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
7	2, 6	eqtri 2756	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
8		reofld 33080	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ oField
9		isofld 33041	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
10	9	simprbi 495	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oField → ℝfld ∈ oRing)
11		orngogrp 33040	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oRing → ℝfld ∈ oGrp)
12		isogrp 32803	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
13	12	simprbi 495	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ oGrp → ℝfld ∈ oMnd)
14	10, 11, 13	3syl 18	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ oField → ℝfld ∈ oMnd)
15	8, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ oMnd
16		nn0subm 21362	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
17		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) = (ℂfld ↾s ℕ0)
18	17	submmnd 18772	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd)
19	16, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd
20	7, 19	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd
21		submomnd 32811	. . 3 ⊢ ((ℝfld ∈ oMnd ∧ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ Mnd) → (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd)
22	15, 20, 21	mp2an 690	. 2 ⊢ (ℝfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd
23	7, 22	eqeltrri 2826	1 ⊢ (ℂfld ↾s ℕ0) ∈ oMnd

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  ℕ₀cn0 12510   ↾_s cress 17216  Mndcmnd 18701  SubMndcsubmnd 18746  Grpcgrp 18897  Fieldcfield 20632  ℂ_fldccnfld 21286  ℝ_fldcrefld 21543  oMndcomnd 32798  oGrpcogrp 32799  oRingcorng 33034  oFieldcofld 33035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225  ax-mulf 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-toset 18416  df-ps 18565  df-tsr 18566  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-field 20634  df-cnfld 21287  df-refld 21544  df-omnd 32800  df-ogrp 32801  df-orng 33036  df-ofld 33037

This theorem is referenced by: (None)