Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0omnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0omnd 33374
Description: The nonnegative integers form an ordered monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0omnd (ℂflds0) ∈ oMnd

Proof of Theorem nn0omnd
StepHypRef Expression
1 df-refld 21624 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
21oveq1i 7442 . . 3 (ℝflds0) = ((ℂflds ℝ) ↾s0)
3 reex 11247 . . . 4 ℝ ∈ V
4 nn0ssre 12532 . . . 4 0 ⊆ ℝ
5 ressabs 17295 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ ℕ0 ⊆ ℝ) → ((ℂflds ℝ) ↾s0) = (ℂflds0))
63, 4, 5mp2an 692 . . 3 ((ℂflds ℝ) ↾s0) = (ℂflds0)
72, 6eqtri 2764 . 2 (ℝflds0) = (ℂflds0)
8 reofld 33373 . . . 4 fld ∈ oField
9 isofld 33333 . . . . . 6 (ℝfld ∈ oField ↔ (ℝfld ∈ Field ∧ ℝfld ∈ oRing))
109simprbi 496 . . . . 5 (ℝfld ∈ oField → ℝfld ∈ oRing)
11 orngogrp 33332 . . . . 5 (ℝfld ∈ oRing → ℝfld ∈ oGrp)
12 isogrp 33080 . . . . . 6 (ℝfld ∈ oGrp ↔ (ℝfld ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ oMnd))
1312simprbi 496 . . . . 5 (ℝfld ∈ oGrp → ℝfld ∈ oMnd)
1410, 11, 133syl 18 . . . 4 (ℝfld ∈ oField → ℝfld ∈ oMnd)
158, 14ax-mp 5 . . 3 fld ∈ oMnd
16 nn0subm 21441 . . . . 5 0 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
17 eqid 2736 . . . . . 6 (ℂflds0) = (ℂflds0)
1817submmnd 18827 . . . . 5 (ℕ0 ∈ (SubMnd‘ℂfld) → (ℂflds0) ∈ Mnd)
1916, 18ax-mp 5 . . . 4 (ℂflds0) ∈ Mnd
207, 19eqeltri 2836 . . 3 (ℝflds0) ∈ Mnd
21 submomnd 33088 . . 3 ((ℝfld ∈ oMnd ∧ (ℝflds0) ∈ Mnd) → (ℝflds0) ∈ oMnd)
2215, 20, 21mp2an 692 . 2 (ℝflds0) ∈ oMnd
237, 22eqeltrri 2837 1 (ℂflds0) ∈ oMnd
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  wss 3950  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  0cn0 12528  s cress 17275  Mndcmnd 18748  SubMndcsubmnd 18796  Grpcgrp 18952  Fieldcfield 20731  fldccnfld 21365  fldcrefld 21623  oMndcomnd 33075  oGrpcogrp 33076  oRingcorng 33326  oFieldcofld 33327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17487  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-toset 18463  df-ps 18612  df-tsr 18613  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-field 20733  df-cnfld 21366  df-refld 21624  df-omnd 33077  df-ogrp 33078  df-orng 33328  df-ofld 33329
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator