Theorem ntrl2v2e 30306

Description: A walk which is not a trail: In a graph with two vertices and one edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other and back to the first vertex via the same/only edge is a walk, see wlk2v2e 30305, but not a trail. Notice that 𝐺 is a simple graph (without loops) only if 𝑋 ≠ 𝑌. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 8-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlk2v2e.i	⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f	⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x	⊢ 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y	⊢ 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
wlk2v2e.g	⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩

Assertion

Ref	Expression
ntrl2v2e	⊢ ¬ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃

Proof of Theorem ntrl2v2e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12576	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 12598	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2, 1	3pm3.2i 1352	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
4		0ne1 12286	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
5		wlk2v2e.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
6		s2prop 14917	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ⟨“00”⟩ = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩})
7	1, 1, 6	mp2an 702	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“00”⟩ = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
8	5, 7	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
9	8	fpropnf1 7247	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → (Fun 𝐹 ∧ ¬ Fun ◡𝐹))
10	3, 4, 9	mp2an 702	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ∧ ¬ Fun ◡𝐹)
11	10	simpri 489	. . 3 ⊢ ¬ Fun ◡𝐹
12	11	intnan 490	. 2 ⊢ ¬ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹)
13		istrl 29841	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
14	12, 13	mtbir 325	1 ⊢ ¬ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453  {cpr 4583  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099  ^◡ccnv 5644  Fun wfun 6511  ‘cfv 6517  0cc0 11070  1c1 11071  ℤcz 12565  ⟨“cs1 14606  ⟨“cs2 14851  ⟨“cs3 14852  Walkscwlks 29743  Trailsctrls 29835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-s2 14858  df-wlks 29746  df-trls 29837

This theorem is referenced by: (None)