Theorem ntrl2v2e 28423

Description: A walk which is not a trail: In a graph with two vertices and one edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other and back to the first vertex via the same/only edge is a walk, see wlk2v2e 28422, but not a trail. Notice that 𝐺 is a simple graph (without loops) only if 𝑋 ≠ 𝑌. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 8-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlk2v2e.i	⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f	⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x	⊢ 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y	⊢ 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
wlk2v2e.g	⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩

Assertion

Ref	Expression
ntrl2v2e	⊢ ¬ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃

Proof of Theorem ntrl2v2e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12260	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 12280	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2, 1	3pm3.2i 1337	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
4		0ne1 11974	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
5		wlk2v2e.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
6		s2prop 14548	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ⟨“00”⟩ = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩})
7	1, 1, 6	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“00”⟩ = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
8	5, 7	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
9	8	fpropnf1 7121	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → (Fun 𝐹 ∧ ¬ Fun ◡𝐹))
10	3, 4, 9	mp2an 688	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ∧ ¬ Fun ◡𝐹)
11	10	simpri 485	. . 3 ⊢ ¬ Fun ◡𝐹
12	11	intnan 486	. 2 ⊢ ¬ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹)
13		istrl 27966	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
14	12, 13	mtbir 322	1 ⊢ ¬ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422  {cpr 4560  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  Fun wfun 6412  ‘cfv 6418  0cc0 10802  1c1 10803  ℤcz 12249  ⟨“cs1 14228  ⟨“cs2 14482  ⟨“cs3 14483  Walkscwlks 27866  Trailsctrls 27960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-wlks 27869  df-trls 27962

This theorem is referenced by: (None)