Theorem ntrl2v2e 30764

Description: A walk which is not a trail: In a graph with two vertices and one edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other and back to the first vertex via the same/only edge is a walk, see wlk2v2e 30763, but not a trail. Notice that 𝐺 is a simple graph (without loops) only if 𝑋 ≠ 𝑌. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 8-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlk2v2e.i	⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f	⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x	⊢ 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y	⊢ 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
wlk2v2e.g	⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩

Assertion

Ref	Expression
ntrl2v2e	⊢ ¬ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃

Proof of Theorem ntrl2v2e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12707	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 12729	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2, 1	3pm3.2i 1358	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
4		0ne1 12417	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
5		wlk2v2e.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
6		s2prop 15063	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ⟨“00”⟩ = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩})
7	1, 1, 6	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“00”⟩ = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
8	5, 7	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
9	8	fpropnf1 7271	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → (Fun 𝐹 ∧ ¬ Fun ◡𝐹))
10	3, 4, 9	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ∧ ¬ Fun ◡𝐹)
11	10	simpri 491	. . 3 ⊢ ¬ Fun ◡𝐹
12	11	intnan 492	. 2 ⊢ ¬ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹)
13		istrl 30284	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
14	12, 13	mtbir 326	1 ⊢ ¬ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  {cpr 4586  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ^◡ccnv 5649  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  0cc0 11203  1c1 11204  ℤcz 12696  ⟨“cs1 14745  ⟨“cs2 14996  ⟨“cs3 14997  Walkscwlks 30182  Trailsctrls 30278

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003  df-wlks 30185  df-trls 30280

This theorem is used by: (None)