Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrl2v2e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrl2v2e 27918
 Description: A walk which is not a trail: In a graph with two vertices and one edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other and back to the first vertex via the same/only edge is a walk, see wlk2v2e 27917, but not a trail. Notice that 𝐺 is a simple graph (without loops) only if 𝑋 ≠ 𝑌. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 8-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlk2v2e.i 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
wlk2v2e.g 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼
Assertion
Ref Expression
ntrl2v2e ¬ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃

Proof of Theorem ntrl2v2e
StepHypRef Expression
1 0z 11967 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
2 1z 11987 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
31, 2, 13pm3.2i 1335 . . . . 5 (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
4 0ne1 11683 . . . . 5 0 ≠ 1
5 wlk2v2e.f . . . . . . 7 𝐹 = ⟨“00”⟩
6 s2prop 14245 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ⟨“00”⟩ = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩})
71, 1, 6mp2an 690 . . . . . . 7 ⟨“00”⟩ = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
85, 7eqtri 2843 . . . . . 6 𝐹 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
98fpropnf1 6998 . . . . 5 (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → (Fun 𝐹 ∧ ¬ Fun 𝐹))
103, 4, 9mp2an 690 . . . 4 (Fun 𝐹 ∧ ¬ Fun 𝐹)
1110simpri 488 . . 3 ¬ Fun 𝐹
1211intnan 489 . 2 ¬ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝐹)
13 istrl 27461 . 2 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝐹))
1412, 13mtbir 325 1 ¬ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  Vcvv 3470  {cpr 4541  ⟨cop 4545   class class class wbr 5038  ◡ccnv 5526  Fun wfun 6321  ‘cfv 6327  0cc0 10511  1c1 10512  ℤcz 11956  ⟨“cs1 13925  ⟨“cs2 14179  ⟨“cs3 14180  Walkscwlks 27361  Trailsctrls 27455 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-oadd 8080  df-er 8263  df-map 8382  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-hash 13672  df-word 13843  df-concat 13899  df-s1 13926  df-s2 14186  df-wlks 27364  df-trls 27457 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator