Theorem ntrl2v2e 29679

Description: A walk which is not a trail: In a graph with two vertices and one edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other and back to the first vertex via the same/only edge is a walk, see wlk2v2e 29678, but not a trail. Notice that 𝐺 is a simple graph (without loops) only if 𝑋 ≠ 𝑌. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 8-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlk2v2e.i	⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f	⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x	⊢ 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y	⊢ 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
wlk2v2e.g	⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩

Assertion

Ref	Expression
ntrl2v2e	⊢ ¬ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃

Proof of Theorem ntrl2v2e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12574	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 12597	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3	1, 2, 1	3pm3.2i 1338	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)
4		0ne1 12288	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
5		wlk2v2e.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
6		s2prop 14863	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ⟨“00”⟩ = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩})
7	1, 1, 6	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“00”⟩ = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
8	5, 7	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
9	8	fpropnf1 7269	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ 0 ≠ 1) → (Fun 𝐹 ∧ ¬ Fun ◡𝐹))
10	3, 4, 9	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ∧ ¬ Fun ◡𝐹)
11	10	simpri 485	. . 3 ⊢ ¬ Fun ◡𝐹
12	11	intnan 486	. 2 ⊢ ¬ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹)
13		istrl 29221	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
14	12, 13	mtbir 323	1 ⊢ ¬ 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  Vcvv 3473  {cpr 4630  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5675  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  0cc0 11113  1c1 11114  ℤcz 12563  ⟨“cs1 14550  ⟨“cs2 14797  ⟨“cs3 14798  Walkscwlks 29121  Trailsctrls 29215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-wlks 29124  df-trls 29217

This theorem is referenced by: (None)