Theorem wlk2v2e 30186

Description: In a graph with two vertices and one edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other and back to the first vertex via the same/only edge is a walk. Notice that 𝐺 is a simple graph (without loops) only if 𝑋 ≠ 𝑌. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 8-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlk2v2e.i	⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f	⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x	⊢ 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y	⊢ 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
wlk2v2e.g	⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩

Assertion

Ref	Expression
wlk2v2e	⊢ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃

Proof of Theorem wlk2v2e

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlk2v2e.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩
2		wlk2v2e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
3	2	opeq2i 4882	. . . . 5 ⊢ ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩ = ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩
4	1, 3	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩
5		wlk2v2e.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
6		wlk2v2e.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ V
7		uspgr2v1e2w 29283	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩ ∈ USPGraph)
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩ ∈ USPGraph
9	4, 8	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ USPGraph
10		uspgrupgr 29210	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ UPGraph
12		wlk2v2e.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
13	2, 12	wlk2v2elem1 30184	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼
14		wlk2v2e.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
15	5	prid1 4767	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}
16	6	prid2 4768	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌}
17		s3cl 14915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}) → ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ Word {𝑋, 𝑌})
18	15, 16, 15, 17	mp3an 1460	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ Word {𝑋, 𝑌}
19	14, 18	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ Word {𝑋, 𝑌}
20		wrdf 14554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word {𝑋, 𝑌} → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌}
22	14	fveq2i 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)
23		s3len 14930	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) = 3
24	22, 23	eqtr2i 2764	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (♯‘𝑃)
25	24	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = (0..^(♯‘𝑃))
26	25	feq2i 6729	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌})
27	21, 26	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌}
28	12	fveq2i 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“00”⟩)
29		s2len 14925	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“00”⟩) = 2
30	28, 29	eqtri 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
31	30	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...2)
32		3z 12648	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
33		fzoval 13697	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
35		3m1e2 12392	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
36	35	oveq2i 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...2)
37	34, 36	eqtr2i 2764	. . . . . . 7 ⊢ (0...2) = (0..^3)
38	31, 37	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0..^3)
39	38	feq2i 6729	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌})
40	27, 39	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌}
41	2, 12, 5, 6, 14	wlk2v2elem2 30185	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
42	13, 40, 41	3pm3.2i 1338	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
43	1	fveq2i 6910	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩)
44		prex 5443	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
45		s1cli 14640	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩ ∈ Word V
46	2, 45	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
47		opvtxfv 29036	. . . . . 6 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word V) → (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = {𝑋, 𝑌})
48	44, 46, 47	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = {𝑋, 𝑌}
49	43, 48	eqtr2i 2764	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = (Vtx‘𝐺)
50	1	fveq2i 6910	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩)
51		opiedgfv 29039	. . . . . 6 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word V) → (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = 𝐼)
52	44, 46, 51	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = 𝐼
53	50, 52	eqtr2i 2764	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
54	49, 53	upgriswlk 29674	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
55	42, 54	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
56	11, 55	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  Vcvv 3478  {cpr 4633  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   − cmin 11490  2c2 12319  3c3 12320  ℤcz 12611  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549  ⟨“cs1 14630  ⟨“cs2 14877  ⟨“cs3 14878  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  UPGraphcupgr 29112  USPGraphcuspgr 29180  Walkscwlks 29629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-vtx 29030  df-iedg 29031  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-upgr 29114  df-uspgr 29182  df-wlks 29632

This theorem is referenced by: (None)