Theorem wlk2v2e 30093

Description: In a graph with two vertices and one edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other and back to the first vertex via the same/only edge is a walk. Notice that 𝐺 is a simple graph (without loops) only if 𝑋 ≠ 𝑌. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 8-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlk2v2e.i	⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f	⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x	⊢ 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y	⊢ 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
wlk2v2e.g	⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩

Assertion

Ref	Expression
wlk2v2e	⊢ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃

Proof of Theorem wlk2v2e

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlk2v2e.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩
2		wlk2v2e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
3	2	opeq2i 4844	. . . . 5 ⊢ ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩ = ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩
4	1, 3	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩
5		wlk2v2e.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
6		wlk2v2e.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ V
7		uspgr2v1e2w 29185	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩ ∈ USPGraph)
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩ ∈ USPGraph
9	4, 8	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ USPGraph
10		uspgrupgr 29112	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ UPGraph
12		wlk2v2e.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
13	2, 12	wlk2v2elem1 30091	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼
14		wlk2v2e.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
15	5	prid1 4729	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}
16	6	prid2 4730	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌}
17		s3cl 14852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}) → ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ Word {𝑋, 𝑌})
18	15, 16, 15, 17	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ Word {𝑋, 𝑌}
19	14, 18	eqeltri 2825	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ Word {𝑋, 𝑌}
20		wrdf 14490	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word {𝑋, 𝑌} → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌}
22	14	fveq2i 6864	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)
23		s3len 14867	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) = 3
24	22, 23	eqtr2i 2754	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (♯‘𝑃)
25	24	oveq2i 7401	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = (0..^(♯‘𝑃))
26	25	feq2i 6683	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌})
27	21, 26	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌}
28	12	fveq2i 6864	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“00”⟩)
29		s2len 14862	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“00”⟩) = 2
30	28, 29	eqtri 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
31	30	oveq2i 7401	. . . . . . 7 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...2)
32		3z 12573	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
33		fzoval 13628	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
35		3m1e2 12316	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
36	35	oveq2i 7401	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...2)
37	34, 36	eqtr2i 2754	. . . . . . 7 ⊢ (0...2) = (0..^3)
38	31, 37	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0..^3)
39	38	feq2i 6683	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌})
40	27, 39	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌}
41	2, 12, 5, 6, 14	wlk2v2elem2 30092	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
42	13, 40, 41	3pm3.2i 1340	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
43	1	fveq2i 6864	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩)
44		prex 5395	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
45		s1cli 14577	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩ ∈ Word V
46	2, 45	eqeltri 2825	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
47		opvtxfv 28938	. . . . . 6 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word V) → (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = {𝑋, 𝑌})
48	44, 46, 47	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = {𝑋, 𝑌}
49	43, 48	eqtr2i 2754	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = (Vtx‘𝐺)
50	1	fveq2i 6864	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩)
51		opiedgfv 28941	. . . . . 6 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word V) → (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = 𝐼)
52	44, 46, 51	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = 𝐼
53	50, 52	eqtr2i 2754	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
54	49, 53	upgriswlk 29576	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
55	42, 54	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
56	11, 55	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450  {cpr 4594  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110  dom cdm 5641  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11412  2c2 12248  3c3 12249  ℤcz 12536  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485  ⟨“cs1 14567  ⟨“cs2 14814  ⟨“cs3 14815  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  UPGraphcupgr 29014  USPGraphcuspgr 29082  Walkscwlks 29531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-vtx 28932  df-iedg 28933  df-edg 28982  df-uhgr 28992  df-upgr 29016  df-uspgr 29084  df-wlks 29534

This theorem is referenced by: (None)