Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlk2v2e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlk2v2e 28046
 Description: In a graph with two vertices and one edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other and back to the first vertex via the same/only edge is a walk. Notice that 𝐺 is a simple graph (without loops) only if 𝑋 ≠ 𝑌. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 8-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlk2v2e.i 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
wlk2v2e.g 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼
Assertion
Ref Expression
wlk2v2e 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃

Proof of Theorem wlk2v2e
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlk2v2e.g . . . . 5 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼
2 wlk2v2e.i . . . . . 6 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
32opeq2i 4770 . . . . 5 ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩ = ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩
41, 3eqtri 2781 . . . 4 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩
5 wlk2v2e.x . . . . 5 𝑋 ∈ V
6 wlk2v2e.y . . . . 5 𝑌 ∈ V
7 uspgr2v1e2w 27145 . . . . 5 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩ ∈ USPGraph)
85, 6, 7mp2an 691 . . . 4 ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩ ∈ USPGraph
94, 8eqeltri 2848 . . 3 𝐺 ∈ USPGraph
10 uspgrupgr 27073 . . 3 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
119, 10ax-mp 5 . 2 𝐺 ∈ UPGraph
12 wlk2v2e.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“00”⟩
132, 12wlk2v2elem1 28044 . . . 4 𝐹 ∈ Word dom 𝐼
14 wlk2v2e.p . . . . . . . 8 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
155prid1 4658 . . . . . . . . 9 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}
166prid2 4659 . . . . . . . . 9 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌}
17 s3cl 14293 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}) → ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ Word {𝑋, 𝑌})
1815, 16, 15, 17mp3an 1458 . . . . . . . 8 ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ Word {𝑋, 𝑌}
1914, 18eqeltri 2848 . . . . . . 7 𝑃 ∈ Word {𝑋, 𝑌}
20 wrdf 13923 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word {𝑋, 𝑌} → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌})
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌}
2214fveq2i 6665 . . . . . . . . 9 (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)
23 s3len 14308 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) = 3
2422, 23eqtr2i 2782 . . . . . . . 8 3 = (♯‘𝑃)
2524oveq2i 7166 . . . . . . 7 (0..^3) = (0..^(♯‘𝑃))
2625feq2i 6494 . . . . . 6 (𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌})
2721, 26mpbir 234 . . . . 5 𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌}
2812fveq2i 6665 . . . . . . . . 9 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“00”⟩)
29 s2len 14303 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“00”⟩) = 2
3028, 29eqtri 2781 . . . . . . . 8 (♯‘𝐹) = 2
3130oveq2i 7166 . . . . . . 7 (0...(♯‘𝐹)) = (0...2)
32 3z 12059 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
33 fzoval 13093 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0..^3) = (0...(3 − 1))
35 3m1e2 11807 . . . . . . . . 9 (3 − 1) = 2
3635oveq2i 7166 . . . . . . . 8 (0...(3 − 1)) = (0...2)
3734, 36eqtr2i 2782 . . . . . . 7 (0...2) = (0..^3)
3831, 37eqtri 2781 . . . . . 6 (0...(♯‘𝐹)) = (0..^3)
3938feq2i 6494 . . . . 5 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌})
4027, 39mpbir 234 . . . 4 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌}
412, 12, 5, 6, 14wlk2v2elem2 28045 . . . 4 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
4213, 40, 413pm3.2i 1336 . . 3 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
431fveq2i 6665 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩)
44 prex 5304 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} ∈ V
45 s1cli 14011 . . . . . . 7 ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩ ∈ Word V
462, 45eqeltri 2848 . . . . . 6 𝐼 ∈ Word V
47 opvtxfv 26901 . . . . . 6 (({𝑋, 𝑌} ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word V) → (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = {𝑋, 𝑌})
4844, 46, 47mp2an 691 . . . . 5 (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = {𝑋, 𝑌}
4943, 48eqtr2i 2782 . . . 4 {𝑋, 𝑌} = (Vtx‘𝐺)
501fveq2i 6665 . . . . 5 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩)
51 opiedgfv 26904 . . . . . 6 (({𝑋, 𝑌} ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word V) → (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = 𝐼)
5244, 46, 51mp2an 691 . . . . 5 (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = 𝐼
5350, 52eqtr2i 2782 . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5449, 53upgriswlk 27534 . . 3 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
5542, 54mpbiri 261 . 2 (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5611, 55ax-mp 5 1 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409  {cpr 4527  ⟨cop 4531   class class class wbr 5035  dom cdm 5527  ⟶wf 6335  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   − cmin 10913  2c2 11734  3c3 11735  ℤcz 12025  ...cfz 12944  ..^cfzo 13087  ♯chash 13745  Word cword 13918  ⟨“cs1 14001  ⟨“cs2 14255  ⟨“cs3 14256  Vtxcvtx 26893  iEdgciedg 26894  UPGraphcupgr 26977  USPGraphcuspgr 27045  Walkscwlks 27490 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-oadd 8121  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-dju 9368  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-xnn0 12012  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-hash 13746  df-word 13919  df-concat 13975  df-s1 14002  df-s2 14262  df-s3 14263  df-vtx 26895  df-iedg 26896  df-edg 26945  df-uhgr 26955  df-upgr 26979  df-uspgr 27047  df-wlks 27493 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator