Theorem wlk2v2e 30138

Description: In a graph with two vertices and one edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other and back to the first vertex via the same/only edge is a walk. Notice that 𝐺 is a simple graph (without loops) only if 𝑋 ≠ 𝑌. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 8-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlk2v2e.i	⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f	⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x	⊢ 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y	⊢ 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
wlk2v2e.g	⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩

Assertion

Ref	Expression
wlk2v2e	⊢ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃

Proof of Theorem wlk2v2e

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlk2v2e.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩
2		wlk2v2e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
3	2	opeq2i 4853	. . . . 5 ⊢ ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩ = ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩
4	1, 3	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩
5		wlk2v2e.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
6		wlk2v2e.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ V
7		uspgr2v1e2w 29230	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩ ∈ USPGraph)
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩ ∈ USPGraph
9	4, 8	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ USPGraph
10		uspgrupgr 29157	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ UPGraph
12		wlk2v2e.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
13	2, 12	wlk2v2elem1 30136	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼
14		wlk2v2e.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
15	5	prid1 4738	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}
16	6	prid2 4739	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌}
17		s3cl 14898	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}) → ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ Word {𝑋, 𝑌})
18	15, 16, 15, 17	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ Word {𝑋, 𝑌}
19	14, 18	eqeltri 2830	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ Word {𝑋, 𝑌}
20		wrdf 14536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word {𝑋, 𝑌} → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌}
22	14	fveq2i 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)
23		s3len 14913	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) = 3
24	22, 23	eqtr2i 2759	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (♯‘𝑃)
25	24	oveq2i 7416	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = (0..^(♯‘𝑃))
26	25	feq2i 6698	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌})
27	21, 26	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌}
28	12	fveq2i 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“00”⟩)
29		s2len 14908	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“00”⟩) = 2
30	28, 29	eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
31	30	oveq2i 7416	. . . . . . 7 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...2)
32		3z 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
33		fzoval 13677	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
35		3m1e2 12368	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
36	35	oveq2i 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...2)
37	34, 36	eqtr2i 2759	. . . . . . 7 ⊢ (0...2) = (0..^3)
38	31, 37	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0..^3)
39	38	feq2i 6698	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌})
40	27, 39	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌}
41	2, 12, 5, 6, 14	wlk2v2elem2 30137	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
42	13, 40, 41	3pm3.2i 1340	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
43	1	fveq2i 6879	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩)
44		prex 5407	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
45		s1cli 14623	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩ ∈ Word V
46	2, 45	eqeltri 2830	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
47		opvtxfv 28983	. . . . . 6 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word V) → (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = {𝑋, 𝑌})
48	44, 46, 47	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = {𝑋, 𝑌}
49	43, 48	eqtr2i 2759	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = (Vtx‘𝐺)
50	1	fveq2i 6879	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩)
51		opiedgfv 28986	. . . . . 6 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word V) → (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = 𝐼)
52	44, 46, 51	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = 𝐼
53	50, 52	eqtr2i 2759	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
54	49, 53	upgriswlk 29621	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
55	42, 54	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
56	11, 55	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459  {cpr 4603  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   − cmin 11466  2c2 12295  3c3 12296  ℤcz 12588  ...cfz 13524  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Word cword 14531  ⟨“cs1 14613  ⟨“cs2 14860  ⟨“cs3 14861  Vtxcvtx 28975  iEdgciedg 28976  UPGraphcupgr 29059  USPGraphcuspgr 29127  Walkscwlks 29576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-concat 14589  df-s1 14614  df-s2 14867  df-s3 14868  df-vtx 28977  df-iedg 28978  df-edg 29027  df-uhgr 29037  df-upgr 29061  df-uspgr 29129  df-wlks 29579

This theorem is referenced by: (None)