Theorem wlk2v2e 30132

Description: In a graph with two vertices and one edge connecting these two vertices, to go from one vertex to the other and back to the first vertex via the same/only edge is a walk. Notice that 𝐺 is a simple graph (without loops) only if 𝑋 ≠ 𝑌. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 8-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlk2v2e.i	⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f	⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x	⊢ 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y	⊢ 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
wlk2v2e.g	⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩

Assertion

Ref	Expression
wlk2v2e	⊢ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃

Proof of Theorem wlk2v2e

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlk2v2e.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩
2		wlk2v2e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
3	2	opeq2i 4829	. . . . 5 ⊢ ⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩ = ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩
4	1, 3	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩
5		wlk2v2e.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
6		wlk2v2e.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ V
7		uspgr2v1e2w 29227	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩ ∈ USPGraph)
8	5, 6, 7	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ⟨{𝑋, 𝑌}, ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩⟩ ∈ USPGraph
9	4, 8	eqeltri 2827	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ USPGraph
10		uspgrupgr 29154	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
11	9, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ UPGraph
12		wlk2v2e.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
13	2, 12	wlk2v2elem1 30130	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼
14		wlk2v2e.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
15	5	prid1 4715	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}
16	6	prid2 4716	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌}
17		s3cl 14783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}) → ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ Word {𝑋, 𝑌})
18	15, 16, 15, 17	mp3an 1463	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩ ∈ Word {𝑋, 𝑌}
19	14, 18	eqeltri 2827	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ Word {𝑋, 𝑌}
20		wrdf 14422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word {𝑋, 𝑌} → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌})
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌}
22	14	fveq2i 6825	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)
23		s3len 14798	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩) = 3
24	22, 23	eqtr2i 2755	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (♯‘𝑃)
25	24	oveq2i 7357	. . . . . . 7 ⊢ (0..^3) = (0..^(♯‘𝑃))
26	25	feq2i 6643	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶{𝑋, 𝑌})
27	21, 26	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌}
28	12	fveq2i 6825	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“00”⟩)
29		s2len 14793	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“00”⟩) = 2
30	28, 29	eqtri 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
31	30	oveq2i 7357	. . . . . . 7 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...2)
32		3z 12502	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
33		fzoval 13557	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
35		3m1e2 12245	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 − 1) = 2
36	35	oveq2i 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...2)
37	34, 36	eqtr2i 2755	. . . . . . 7 ⊢ (0...2) = (0..^3)
38	31, 37	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0..^3)
39	38	feq2i 6643	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃:(0..^3)⟶{𝑋, 𝑌})
40	27, 39	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌}
41	2, 12, 5, 6, 14	wlk2v2elem2 30131	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
42	13, 40, 41	3pm3.2i 1340	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
43	1	fveq2i 6825	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩)
44		prex 5375	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
45		s1cli 14510	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩ ∈ Word V
46	2, 45	eqeltri 2827	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
47		opvtxfv 28980	. . . . . 6 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word V) → (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = {𝑋, 𝑌})
48	44, 46, 47	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = {𝑋, 𝑌}
49	43, 48	eqtr2i 2755	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = (Vtx‘𝐺)
50	1	fveq2i 6825	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩)
51		opiedgfv 28983	. . . . . 6 ⊢ (({𝑋, 𝑌} ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Word V) → (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = 𝐼)
52	44, 46, 51	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘⟨{𝑋, 𝑌}, 𝐼⟩) = 𝐼
53	50, 52	eqtr2i 2755	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
54	49, 53	upgriswlk 29617	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶{𝑋, 𝑌} ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
55	42, 54	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
56	11, 55	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436  {cpr 4578  ⟨cop 4582   class class class wbr 5091  dom cdm 5616  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   − cmin 11341  2c2 12177  3c3 12178  ℤcz 12465  ...cfz 13404  ..^cfzo 13551  ♯chash 14234  Word cword 14417  ⟨“cs1 14500  ⟨“cs2 14745  ⟨“cs3 14746  Vtxcvtx 28972  iEdgciedg 28973  UPGraphcupgr 29056  USPGraphcuspgr 29124  Walkscwlks 29573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9791  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-hash 14235  df-word 14418  df-concat 14475  df-s1 14501  df-s2 14752  df-s3 14753  df-vtx 28974  df-iedg 28975  df-edg 29024  df-uhgr 29034  df-upgr 29058  df-uspgr 29126  df-wlks 29576

This theorem is referenced by: (None)