Theorem sqneg 14298

Description: The square of the negative of a number. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sqneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = (𝐴↑2))

Proof of Theorem sqneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2neg 11794	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
2	1	anidms 577	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
3		negcl 11596	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
4		sqval 14297	. . 3 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = ( -𝐴 · -𝐴))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = ( -𝐴 · -𝐴))
6		sqval 14297	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
7	2, 5, 6	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = (𝐴↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237   · cmul 11244   -cneg 11581  2c2 12437  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  sqnegd  14299  sqsubswap  14300  neg1sqe1  14379  binom2sub  14405  discr  14425  reusq0  15676  oexpneg  16559  cos2pi  26862  root1id  27139  dcubic1lem  27228  dcubic  27231  mcubic  27232  dquart  27238  asinlem  27253  asinlem2  27254  sinasin  27274  cosasin  27289  atandmneg  27291  cosatan  27306  atantayl2  27323  2sqlem4  27805  axlowdimlem16  29592  ex-exp  31108  ipidsq  31369  pell1234qrreccl  44127  pell1234qrdich  44134  pell14qrdich  44142  oexpnegALTV  49048  oexpnegnz  49049  itsclc0yqsollem1  50205  itscnhlinecirc02plem1  50225