Theorem sqneg 14258

Description: The square of the negative of a number. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sqneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = (𝐴↑2))

Proof of Theorem sqneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2neg 11755	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
2	1	anidms 577	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
3		negcl 11557	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
4		sqval 14257	. . 3 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = ( -𝐴 · -𝐴))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = ( -𝐴 · -𝐴))
6		sqval 14257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
7	2, 5, 6	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = (𝐴↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   · cmul 11205   -cneg 11542  2c2 12397  ↑cexp 14204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3914  df-pss 4034  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-seq 14145  df-exp 14205

This theorem is used by:  sqnegd  14259  sqsubswap  14260  neg1sqe1  14339  binom2sub  14364  discr  14384  reusq0  15632  oexpneg  16515  cos2pi  26805  root1id  27082  dcubic1lem  27171  dcubic  27174  mcubic  27175  dquart  27181  asinlem  27196  asinlem2  27197  sinasin  27217  cosasin  27232  atandmneg  27234  cosatan  27249  atantayl2  27266  2sqlem4  27748  axlowdimlem16  29535  ex-exp  31051  ipidsq  31312  pell1234qrreccl  43861  pell1234qrdich  43868  pell14qrdich  43876  oexpnegALTV  48775  oexpnegnz  48776  itsclc0yqsollem1  49874  itscnhlinecirc02plem1  49894