MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqneg 13129
Description: The square of the negative of a number. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
sqneg (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))

Proof of Theorem sqneg
StepHypRef Expression
1 mul2neg 10670 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
21anidms 548 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
3 negcl 10482 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
4 sqval 13128 . . 3 (-𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (-𝐴 · -𝐴))
53, 4syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (-𝐴 · -𝐴))
6 sqval 13128 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
72, 5, 63eqtr4d 2815 1 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6792  cc 10135   · cmul 10142  -cneg 10468  2c2 11271  cexp 13066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-seq 13008  df-exp 13067
This theorem is referenced by:  sqsubswap  13130  neg1sqe1  13165  binom2sub  13187  discr  13207  oexpneg  15276  cos2pi  24448  root1id  24715  dcubic1lem  24790  dcubic  24793  mcubic  24794  dquart  24800  asinlem  24815  asinlem2  24816  sinasin  24836  cosasin  24851  atandmneg  24853  cosatan  24868  atantayl2  24885  2sqlem4  25366  axlowdimlem16  26057  ex-exp  27646  ipidsq  27902  pell1234qrreccl  37940  pell1234qrdich  37947  pell14qrdich  37955  oexpnegALTV  42112  oexpnegnz  42113
  Copyright terms: Public domain W3C validator