Theorem sqneg 14022

Description: The square of the negative of a number. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sqneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))

Proof of Theorem sqneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2neg 11559	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
2	1	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
3		negcl 11363	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
4		sqval 14021	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (-𝐴 · -𝐴))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (-𝐴 · -𝐴))
6		sqval 14021	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
7	2, 5, 6	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007   · cmul 11014  -cneg 11348  2c2 12183  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  sqnegd  14023  sqsubswap  14024  neg1sqe1  14103  binom2sub  14127  discr  14147  reusq0  15372  oexpneg  16256  cos2pi  26383  root1id  26662  dcubic1lem  26751  dcubic  26754  mcubic  26755  dquart  26761  asinlem  26776  asinlem2  26777  sinasin  26797  cosasin  26812  atandmneg  26814  cosatan  26829  atantayl2  26846  2sqlem4  27330  2sqnn0  27347  axlowdimlem16  28902  ex-exp  30394  ipidsq  30654  pell1234qrreccl  42827  pell1234qrdich  42834  pell14qrdich  42842  oexpnegALTV  47661  oexpnegnz  47662  itsclc0yqsollem1  48747  itscnhlinecirc02plem1  48767