Theorem sqneg 14268

Description: The square of the negative of a number. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sqneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = (𝐴↑2))

Proof of Theorem sqneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2neg 11765	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
2	1	anidms 577	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴 · -𝐴) = (𝐴 · 𝐴))
3		negcl 11567	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
4		sqval 14267	. . 3 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = ( -𝐴 · -𝐴))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = ( -𝐴 · -𝐴))
6		sqval 14267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
7	2, 5, 6	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -𝐴↑2) = (𝐴↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427  ℂcc 11208   · cmul 11215   -cneg 11552  2c2 12407  ↑cexp 14214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-seq 14155  df-exp 14215

This theorem is used by:  sqnegd  14269  sqsubswap  14270  neg1sqe1  14349  binom2sub  14374  discr  14394  reusq0  15644  oexpneg  16527  cos2pi  26817  root1id  27094  dcubic1lem  27183  dcubic  27186  mcubic  27187  dquart  27193  asinlem  27208  asinlem2  27209  sinasin  27229  cosasin  27244  atandmneg  27246  cosatan  27261  atantayl2  27278  2sqlem4  27760  axlowdimlem16  29547  ex-exp  31063  ipidsq  31324  pell1234qrreccl  44001  pell1234qrdich  44008  pell14qrdich  44016  oexpnegALTV  48914  oexpnegnz  48915  itsclc0yqsollem1  50013  itscnhlinecirc02plem1  50033