Theorem oddprm 16439

Description: A prime not equal to 2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddprm	⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem oddprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4057	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℙ)
2		prmz 16308	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		eldifsni 4720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ≠ 2)
5	4	necomd 2998	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑁)
6	5	neneqd 2947	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 = 𝑁)
7		2z 12282	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
8		uzid 12526	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
10		dvdsprm 16336	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ 2 = 𝑁))
11	9, 1, 10	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ 𝑁 ↔ 2 = 𝑁))
12	6, 11	mtbird 324	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
13		1z 12280	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		n2dvds1 16005	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
15		omoe 16001	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
16	13, 14, 15	mpanr12 701	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
17	3, 12, 16	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
18		prmnn 16307	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
19		nnm1nn0 12204	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
20	1, 18, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
21		nn0z 12273	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
22		evend2 15994	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
23	20, 21, 22	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
24	17, 23	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
25		prmuz2 16329	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
26		uz2m1nn 12592	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
27		nngt0 11934	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑁 − 1))
28		nnre 11910	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
29		2rp 12664	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31	28, 30	gt0divd 12738	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → (0 < (𝑁 − 1) ↔ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
32	27, 31	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
33	1, 25, 26, 32	4syl 19	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
34		elnnz 12259	. 2 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
35	24, 33, 34	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659   ∥ cdvds 15891  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-prm 16305

This theorem is referenced by:  nnoddn2prm  16440  4sqlem19  16592  lgslem1  26350  lgslem4  26353  lgsval2lem  26360  lgsvalmod  26369  lgsmod  26376  lgsdirprm  26384  lgsne0  26388  lgsqrlem1  26399  lgsqrlem2  26400  lgsqrlem3  26401  lgsqrlem4  26402  gausslemma2dlem4  26422  lgseisenlem1  26428  lgseisenlem2  26429  lgseisenlem4  26431  lgseisen  26432  m1lgs  26441  2lgslem2  26448  fmtnoprmfac2  44907