Theorem oddprm 16866

Description: A prime not equal to 2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddprm	⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem oddprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4093	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℙ)
2		prmz 16729	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		eldifsni 4759	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ≠ 2)
5	4	necomd 3019	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑁)
6	5	neneqd 2969	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 = 𝑁)
7		2z 12622	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
8		uzid 12873	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
10		dvdsprm 16758	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ 2 = 𝑁))
11	9, 1, 10	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ 𝑁 ↔ 2 = 𝑁))
12	6, 11	mtbird 328	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
13		1z 12620	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		n2dvds1 16422	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
15		omoe 16418	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
16	13, 14, 15	mpanr12 717	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
17	3, 12, 16	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
18		prmnn 16728	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
19		nnm1nn0 12541	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
20	1, 18, 19	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
21		nn0z 12611	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
22		evend2 16411	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
23	20, 21, 22	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
24	17, 23	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
25		prmuz2 16750	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
26		uz2m1nn 12943	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
27		nngt0 12263	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑁 − 1))
28		nnre 12236	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
29		2rp 13017	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31	28, 30	gt0divd 13093	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → (0 < (𝑁 − 1) ↔ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
32	27, 31	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
33	1, 25, 26, 32	4syl 20	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
34		elnnz 12597	. 2 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
35	24, 33, 34	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910  {csn 4591   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   < clt 11239   − cmin 11437   / cdiv 11867  ℕcn 12229  2c2 12291  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858  ℝ⁺crp 13012   ∥ cdvds 16306  ℙcprime 16725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-prm 16726

This theorem is referenced by:  nnoddn2prm  16867  4sqlem19  17019  lgslem1  27423  lgslem4  27426  lgsval2lem  27433  lgsvalmod  27442  lgsmod  27449  lgsdirprm  27457  lgsne0  27461  lgsqrlem1  27472  lgsqrlem2  27473  lgsqrlem3  27474  lgsqrlem4  27475  gausslemma2dlem4  27495  lgseisenlem1  27501  lgseisenlem2  27502  lgseisenlem4  27504  lgseisen  27505  m1lgs  27514  2lgslem2  27521  fmtnoprmfac2  48203