Theorem oddprm 16772

Description: A prime not equal to 2 is odd. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddprm	⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem oddprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4061	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℙ)
2		prmz 16635	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		eldifsni 4723	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑁 ≠ 2)
5	4	necomd 2989	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑁)
6	5	neneqd 2939	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 = 𝑁)
7		2z 12550	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
8		uzid 12794	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
10		dvdsprm 16664	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ 2 = 𝑁))
11	9, 1, 10	sylancr 593	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ 𝑁 ↔ 2 = 𝑁))
12	6, 11	mtbird 326	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
13		1z 12548	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
14		n2dvds1 16328	. . . . 5 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
15		omoe 16324	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
16	13, 14, 15	mpanr12 711	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
17	3, 12, 16	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ∥ (𝑁 − 1))
18		prmnn 16634	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
19		nnm1nn0 12469	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
20	1, 18, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
21		nn0z 12539	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
22		evend2 16317	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
23	20, 21, 22	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
24	17, 23	mpbid 233	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
25		prmuz2 16656	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
26		uz2m1nn 12864	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
27		nngt0 12199	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑁 − 1))
28		nnre 12172	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
29		2rp 12938	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
31	28, 30	gt0divd 13014	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → (0 < (𝑁 − 1) ↔ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
32	27, 31	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
33	1, 25, 26, 32	4syl 19	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 0 < ((𝑁 − 1) / 2))
34		elnnz 12525	. 2 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 − 1) / 2)))
35	24, 33, 34	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880  {csn 4555   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030   < clt 11170   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933   ∥ cdvds 16212  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632

This theorem is referenced by:  nnoddn2prm  16773  4sqlem19  16925  lgslem1  27278  lgslem4  27281  lgsval2lem  27288  lgsvalmod  27297  lgsmod  27304  lgsdirprm  27312  lgsne0  27316  lgsqrlem1  27327  lgsqrlem2  27328  lgsqrlem3  27329  lgsqrlem4  27330  gausslemma2dlem4  27350  lgseisenlem1  27356  lgseisenlem2  27357  lgseisenlem4  27359  lgseisen  27360  m1lgs  27369  2lgslem2  27376  fmtnoprmfac2  48045