Theorem funcoppc5 50056

Description: A functor on opposite categories yields a functor on the original categories. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcoppc2.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
funcoppc2.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
funcoppc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
funcoppc2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
funcoppc5.f	⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑂 Func 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
funcoppc5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Proof of Theorem funcoppc5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcoppc5.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
2		relfunc 17953	. . . 4 ⊢ Rel (𝑂 Func 𝑃)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ( oppFunc ‘𝐹) = ( oppFunc ‘𝐹)
4	1, 2, 3	oppfrcl 50039	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (V × V))
5		1st2nd2 8028	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (V × V) → 𝐹 = ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
7		funcoppc2.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
8		funcoppc2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
9		funcoppc2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
10		funcoppc2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
11	6	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) = ( oppFunc ‘⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩))
12		df-ov 7419	. . . . . 6 ⊢ ((1st ‘𝐹) oppFunc (2nd ‘𝐹)) = ( oppFunc ‘⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
13	11, 12	eqtr4di 2815	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) = ((1st ‘𝐹) oppFunc (2nd ‘𝐹)))
14	13, 1	eqeltrrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐹) oppFunc (2nd ‘𝐹)) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
15	7, 8, 9, 10, 14	funcoppc4 50055	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
16		df-br 5108	. . 3 ⊢ ((1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹) ↔ ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
17	15, 16	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
18	6, 17	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1^st c1st 7987  2^nd c2nd 7988  oppCatcoppc 17801   Func cfunc 17945   oppFunc coppf 50033

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-hom 17368  df-cco 17369  df-cat 17758  df-cid 17759  df-homf 17760  df-comf 17761  df-oppc 17802  df-func 17949  df-oppf 50034

This theorem is used by:  oppfuprcl  50115  natoppfb  50142  lmddu  50578  cmddu  50579