Theorem funcoppc5 49951

Description: A functor on opposite categories yields a functor on the original categories. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcoppc2.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
funcoppc2.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
funcoppc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
funcoppc2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
funcoppc5.f	⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑂 Func 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
funcoppc5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Proof of Theorem funcoppc5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcoppc5.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
2		relfunc 17923	. . . 4 ⊢ Rel (𝑂 Func 𝑃)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( oppFunc ‘𝐹) = ( oppFunc ‘𝐹)
4	1, 2, 3	oppfrcl 49934	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (V × V))
5		1st2nd2 8021	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (V × V) → 𝐹 = ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
7		funcoppc2.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
8		funcoppc2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
9		funcoppc2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
10		funcoppc2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
11	6	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) = ( oppFunc ‘⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩))
12		df-ov 7413	. . . . . 6 ⊢ ((1st ‘𝐹) oppFunc (2nd ‘𝐹)) = ( oppFunc ‘⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
13	11, 12	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) = ((1st ‘𝐹) oppFunc (2nd ‘𝐹)))
14	13, 1	eqeltrrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐹) oppFunc (2nd ‘𝐹)) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
15	7, 8, 9, 10, 14	funcoppc4 49950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
16		df-br 5110	. . 3 ⊢ ((1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹) ↔ ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
17	15, 16	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
18	6, 17	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109   × cxp 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7980  2^nd c2nd 7981  oppCatcoppc 17771   Func cfunc 17915   oppFunc coppf 49928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-hom 17338  df-cco 17339  df-cat 17728  df-cid 17729  df-homf 17730  df-comf 17731  df-oppc 17772  df-func 17919  df-oppf 49929

This theorem is used by:  oppfuprcl  50010  natoppfb  50037  lmddu  50473  cmddu  50474