Theorem funcoppc5 49771

Description: A functor on opposite categories yields a functor on the original categories. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcoppc2.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
funcoppc2.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
funcoppc2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
funcoppc2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
funcoppc5.f	⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑂 Func 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
funcoppc5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Proof of Theorem funcoppc5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcoppc5.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
2		relfunc 17897	. . . 4 ⊢ Rel (𝑂 Func 𝑃)
3		eqid 2764	. . . 4 ⊢ ( oppFunc ‘𝐹) = ( oppFunc ‘𝐹)
4	1, 2, 3	oppfrcl 49754	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (V × V))
5		1st2nd2 8011	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (V × V) → 𝐹 = ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
7		funcoppc2.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
8		funcoppc2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
9		funcoppc2.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
10		funcoppc2.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑊)
11	6	fveq2d 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) = ( oppFunc ‘⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩))
12		df-ov 7401	. . . . . 6 ⊢ ((1st ‘𝐹) oppFunc (2nd ‘𝐹)) = ( oppFunc ‘⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩)
13	11, 12	eqtr4di 2817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) = ((1st ‘𝐹) oppFunc (2nd ‘𝐹)))
14	13, 1	eqeltrrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐹) oppFunc (2nd ‘𝐹)) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
15	7, 8, 9, 10, 14	funcoppc4 49770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
16		df-br 5103	. . 3 ⊢ ((1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹) ↔ ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
17	15, 16	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(1st ‘𝐹), (2nd ‘𝐹)⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
18	6, 17	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456  ⟨cop 4590   class class class wbr 5102   × cxp 5647  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  1^st c1st 7970  2^nd c2nd 7971  oppCatcoppc 17745   Func cfunc 17889   oppFunc coppf 49748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-hom 17312  df-cco 17313  df-cat 17702  df-cid 17703  df-homf 17704  df-comf 17705  df-oppc 17746  df-func 17893  df-oppf 49749

This theorem is referenced by:  oppfuprcl  49830  natoppfb  49857  lmddu  50293  cmddu  50294