Theorem mulgass3 20313

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mulgass3.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgass3.t	⊢ × = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgass3	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁 · 𝑌)) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem mulgass3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2	1	opprring 20307	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
4		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		mulgass3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	1, 7	opprbas 20303	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
9		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (.g‘(oppr‘𝑅)) = (.g‘(oppr‘𝑅))
10		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
11	8, 9, 10	mulgass2 20269	. . . 4 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)))
12	3, 4, 5, 6, 11	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)))
13		mulgass3.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
14	7, 13, 1, 10	opprmul 20300	. . 3 ⊢ ((𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 × (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌))
15	7, 13, 1, 10	opprmul 20300	. . . 4 ⊢ (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 × 𝑌)
16	15	oveq2i 7416	. . 3 ⊢ (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑋 × 𝑌))
17	12, 14, 16	3eqtr3g 2793	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑋 × 𝑌)))
18		mulgass3.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑅)
19	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
20	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅)))
21		ssv 3983	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ V)
23		ovexd 7440	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ V)
24		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
25	1, 24	oppradd 20304	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑅))
26	25	oveqi 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑅))𝑦)
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑅))𝑦))
28	18, 9, 19, 20, 22, 23, 27	mulgpropd 19099	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → · = (.g‘(oppr‘𝑅)))
29	28	oveqd 7422	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑌) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌))
30	29	oveq2d 7421	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁 · 𝑌)) = (𝑋 × (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)))
31	28	oveqd 7422	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑋 × 𝑌)))
32	17, 30, 31	3eqtr4d 2780	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁 · 𝑌)) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℤcz 12588  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272  ._gcmg 19050  Ringcrg 20193  opp_rcoppr 20296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-seq 14020  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-mulg 19051  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297

This theorem is referenced by:  zlmassa  21863  psdvsca  22102  psdmul  22104  elrgspnlem2  33238