Theorem mulgass3 20370

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mulgass3.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgass3.t	⊢ × = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgass3	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁 · 𝑌)) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem mulgass3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2	1	opprring 20364	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
4		simpr1 1193	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		simpr3 1195	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		simpr2 1194	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		mulgass3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	1, 7	opprbas 20358	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
9		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (.g‘(oppr‘𝑅)) = (.g‘(oppr‘𝑅))
10		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
11	8, 9, 10	mulgass2 20323	. . . 4 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)))
12	3, 4, 5, 6, 11	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)))
13		mulgass3.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
14	7, 13, 1, 10	opprmul 20354	. . 3 ⊢ ((𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 × (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌))
15	7, 13, 1, 10	opprmul 20354	. . . 4 ⊢ (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 × 𝑌)
16	15	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑋 × 𝑌))
17	12, 14, 16	3eqtr3g 2798	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑋 × 𝑌)))
18		mulgass3.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑅)
19	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
20	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅)))
21		ssv 4020	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ V)
23		ovexd 7466	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ V)
24		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
25	1, 24	oppradd 20360	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑅))
26	25	oveqi 7444	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑅))𝑦)
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑅))𝑦))
28	18, 9, 19, 20, 22, 23, 27	mulgpropd 19147	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → · = (.g‘(oppr‘𝑅)))
29	28	oveqd 7448	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑌) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌))
30	29	oveq2d 7447	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁 · 𝑌)) = (𝑋 × (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)))
31	28	oveqd 7448	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑋 × 𝑌)))
32	17, 30, 31	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁 · 𝑌)) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℤcz 12611  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  ._gcmg 19098  Ringcrg 20251  opp_rcoppr 20350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351

This theorem is referenced by:  zlmassa  21941  psdvsca  22186  psdmul  22188  elrgspnlem2  33233