MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgass3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgass3 20292
Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass3.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mulgass3.m ยท = (.gโ€˜๐‘…)
mulgass3.t ร— = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mulgass3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ร— (๐‘ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))

Proof of Theorem mulgass3
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . . 6 (opprโ€˜๐‘…) = (opprโ€˜๐‘…)
21opprring 20286 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
32adantr 480 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
4 simpr1 1192 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5 simpr3 1194 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
6 simpr2 1193 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
7 mulgass3.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
81, 7opprbas 20280 . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
9 eqid 2728 . . . . 5 (.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
10 eqid 2728 . . . . 5 (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
118, 9, 10mulgass2 20245 . . . 4 (((opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘Œ)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘‹) = (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))(๐‘Œ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘‹)))
123, 4, 5, 6, 11syl13anc 1370 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘Œ)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘‹) = (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))(๐‘Œ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘‹)))
13 mulgass3.t . . . 4 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
147, 13, 1, 10opprmul 20276 . . 3 ((๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘Œ)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘‹) = (๐‘‹ ร— (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘Œ))
157, 13, 1, 10opprmul 20276 . . . 4 (๐‘Œ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘‹) = (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)
1615oveq2i 7431 . . 3 (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))(๐‘Œ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘‹)) = (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))(๐‘‹ ร— ๐‘Œ))
1712, 14, 163eqtr3g 2791 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ร— (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘Œ)) = (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
18 mulgass3.m . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
197a1i 11 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
208a1i 11 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
21 ssv 4004 . . . . . 6 ๐ต โІ V
2221a1i 11 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ต โІ V)
23 ovexd 7455 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง ๐‘ฆ โˆˆ V)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ V)
24 eqid 2728 . . . . . . . 8 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
251, 24oppradd 20282 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
2625oveqi 7433 . . . . . 6 (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฆ)
2726a1i 11 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง ๐‘ฆ โˆˆ V)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฆ))
2818, 9, 19, 20, 22, 23, 27mulgpropd 19071 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ยท = (.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
2928oveqd 7437 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘Œ) = (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘Œ))
3029oveq2d 7436 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ร— (๐‘ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘‹ ร— (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘Œ)))
3128oveqd 7437 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
3217, 30, 313eqtr4d 2778 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ร— (๐‘ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3471   โІ wss 3947  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„คcz 12589  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  .gcmg 19023  Ringcrg 20173  opprcoppr 20272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-seq 14000  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-mulg 19024  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273
This theorem is referenced by:  zlmassa  21836  psdvsca  22088  psdmul  22090
  Copyright terms: Public domain W3C validator