MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgass3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgass3 20074
Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass3.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mulgass3.m ยท = (.gโ€˜๐‘…)
mulgass3.t ร— = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mulgass3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ร— (๐‘ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))

Proof of Theorem mulgass3
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (opprโ€˜๐‘…) = (opprโ€˜๐‘…)
21opprring 20068 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
32adantr 482 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring)
4 simpr1 1195 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5 simpr3 1197 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
6 simpr2 1196 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
7 mulgass3.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
81, 7opprbas 20064 . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
9 eqid 2733 . . . . 5 (.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
10 eqid 2733 . . . . 5 (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…)) = (.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
118, 9, 10mulgass2 20033 . . . 4 (((opprโ€˜๐‘…) โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘Œ)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘‹) = (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))(๐‘Œ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘‹)))
123, 4, 5, 6, 11syl13anc 1373 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘Œ)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘‹) = (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))(๐‘Œ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘‹)))
13 mulgass3.t . . . 4 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
147, 13, 1, 10opprmul 20060 . . 3 ((๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘Œ)(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘‹) = (๐‘‹ ร— (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘Œ))
157, 13, 1, 10opprmul 20060 . . . 4 (๐‘Œ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘‹) = (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)
1615oveq2i 7372 . . 3 (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))(๐‘Œ(.rโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘‹)) = (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))(๐‘‹ ร— ๐‘Œ))
1712, 14, 163eqtr3g 2796 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ร— (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘Œ)) = (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
18 mulgass3.m . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
197a1i 11 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
208a1i 11 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
21 ssv 3972 . . . . . 6 ๐ต โŠ† V
2221a1i 11 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ต โŠ† V)
23 ovexd 7396 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง ๐‘ฆ โˆˆ V)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) โˆˆ V)
24 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
251, 24oppradd 20066 . . . . . . 7 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))
2625oveqi 7374 . . . . . 6 (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฆ)
2726a1i 11 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ V โˆง ๐‘ฆ โˆˆ V)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐‘…)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘ฆ))
2818, 9, 19, 20, 22, 23, 27mulgpropd 18926 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ยท = (.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…)))
2928oveqd 7378 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘Œ) = (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘Œ))
3029oveq2d 7377 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ร— (๐‘ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘‹ ร— (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))๐‘Œ)))
3128oveqd 7378 . 2 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘(.gโ€˜(opprโ€˜๐‘…))(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
3217, 30, 313eqtr4d 2783 1 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ร— (๐‘ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘ ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   โŠ† wss 3914  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„คcz 12507  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  .gcmg 18880  Ringcrg 19972  opprcoppr 20056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057
This theorem is referenced by:  zlmassa  21328
  Copyright terms: Public domain W3C validator