Theorem mulgass3 20468

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mulgass3.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgass3.t	⊢ × = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgass3	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁 · 𝑌)) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem mulgass3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2	1	opprring 20462	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
4		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		mulgass3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	1, 7	opprbas 20458	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
9		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (.g‘(oppr‘𝑅)) = (.g‘(oppr‘𝑅))
10		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
11	8, 9, 10	mulgass2 20425	. . . 4 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)))
12	3, 4, 5, 6, 11	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)))
13		mulgass3.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
14	7, 13, 1, 10	opprmul 20455	. . 3 ⊢ ((𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 × (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌))
15	7, 13, 1, 10	opprmul 20455	. . . 4 ⊢ (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 × 𝑌)
16	15	oveq2i 7434	. . 3 ⊢ (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑋 × 𝑌))
17	12, 14, 16	3eqtr3g 2824	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑋 × 𝑌)))
18		mulgass3.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑅)
19	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
20	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅)))
21		ssv 3964	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ V)
23		ovexd 7458	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ V)
24		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
25	1, 24	oppradd 20459	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑅))
26	25	oveqi 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑅))𝑦)
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑅))𝑦))
28	18, 9, 19, 20, 22, 23, 27	mulgpropd 19213	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → · = (.g‘(oppr‘𝑅)))
29	28	oveqd 7440	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑌) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌))
30	29	oveq2d 7439	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁 · 𝑌)) = (𝑋 × (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)))
31	28	oveqd 7440	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑋 × 𝑌)))
32	17, 30, 31	3eqtr4d 2811	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁 · 𝑌)) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℤcz 12609  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  ._rcmulr 17336  ._gcmg 19164  Ringcrg 20346  opp_rcoppr 20451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-seq 14058  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-mulg 19165  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452

This theorem is used by:  zlmassa  22090  psdvsca  22364  psdmul  22366  elrgspnlem2  33594