Theorem mulgass3 20269

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mulgass3.m	⊢ · = (.g‘𝑅)
mulgass3.t	⊢ × = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mulgass3	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁 · 𝑌)) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Proof of Theorem mulgass3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2	1	opprring 20263	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
4		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		mulgass3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8	1, 7	opprbas 20259	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (.g‘(oppr‘𝑅)) = (.g‘(oppr‘𝑅))
10		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
11	8, 9, 10	mulgass2 20225	. . . 4 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)))
12	3, 4, 5, 6, 11	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)))
13		mulgass3.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
14	7, 13, 1, 10	opprmul 20256	. . 3 ⊢ ((𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 × (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌))
15	7, 13, 1, 10	opprmul 20256	. . . 4 ⊢ (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 × 𝑌)
16	15	oveq2i 7401	. . 3 ⊢ (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑋 × 𝑌))
17	12, 14, 16	3eqtr3g 2788	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑋 × 𝑌)))
18		mulgass3.m	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝑅)
19	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘𝑅))
20	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅)))
21		ssv 3974	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ⊆ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ V)
23		ovexd 7425	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ V)
24		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
25	1, 24	oppradd 20260	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑅))
26	25	oveqi 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑅))𝑦)
27	26	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑅))𝑦))
28	18, 9, 19, 20, 22, 23, 27	mulgpropd 19055	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → · = (.g‘(oppr‘𝑅)))
29	28	oveqd 7407	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑌) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌))
30	29	oveq2d 7406	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁 · 𝑌)) = (𝑋 × (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))𝑌)))
31	28	oveqd 7407	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑁(.g‘(oppr‘𝑅))(𝑋 × 𝑌)))
32	17, 30, 31	3eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 × (𝑁 · 𝑌)) = (𝑁 · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℤcz 12536  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  ._gcmg 19006  Ringcrg 20149  opp_rcoppr 20252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-mulg 19007  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253

This theorem is referenced by:  zlmassa  21819  psdvsca  22058  psdmul  22060  elrgspnlem2  33201