MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isridl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isridl 21107
Description: A right ideal is a left ideal of the opposite ring. This theorem shows that this definition corresponds to the usual textbook definition of a right ideal of a ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under right-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 13-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isridl.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))
isridl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
isridl.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
isridl (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝐼 ∈ π‘ˆ ↔ (𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝐼)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐼,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,π‘ˆ,𝑦
Allowed substitution hints:   Β· (π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem isridl
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
21opprring 20247 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
3 isridl.u . . . 4 π‘ˆ = (LIdealβ€˜(opprβ€˜π‘…))
4 isridl.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
51, 4opprbas 20241 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
6 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
73, 5, 6dflidl2 21084 . . 3 ((opprβ€˜π‘…) ∈ Ring β†’ (𝐼 ∈ π‘ˆ ↔ (𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜(opprβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘₯(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑦) ∈ 𝐼)))
82, 7syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝐼 ∈ π‘ˆ ↔ (𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜(opprβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘₯(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑦) ∈ 𝐼)))
91opprsubg 20252 . . . . . 6 (SubGrpβ€˜π‘…) = (SubGrpβ€˜(opprβ€˜π‘…))
109eqcomi 2735 . . . . 5 (SubGrpβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (SubGrpβ€˜π‘…)
1110a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (SubGrpβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (SubGrpβ€˜π‘…))
1211eleq2d 2813 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜(opprβ€˜π‘…)) ↔ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)))
13 isridl.t . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π‘…)
144, 13, 1, 6opprmul 20237 . . . . . . 7 (π‘₯(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑦) = (𝑦 Β· π‘₯)
1514eleq1i 2818 . . . . . 6 ((π‘₯(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝐼)
1615a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝐼))
1716ralbidva 3169 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘₯(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝐼))
1817ralbidva 3169 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘₯(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝐼))
1912, 18anbi12d 630 . 2 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜(opprβ€˜π‘…)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (π‘₯(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑦) ∈ 𝐼) ↔ (𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝐼)))
208, 19bitrd 279 1 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝐼 ∈ π‘ˆ ↔ (𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 (𝑦 Β· π‘₯) ∈ 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  SubGrpcsubg 19045  Ringcrg 20136  opprcoppr 20233  LIdealclidl 21063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-lidl 21065
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator