Theorem isridlrng 21180

Description: A right ideal is a left ideal of the opposite non-unital ring. This theorem shows that this definition corresponds to the usual textbook definition of a right ideal of a ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under right-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isridlrng.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
isridlrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isridlrng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isridlrng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isridlrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2	1	opprrng 20305	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (oppr‘𝑅) ∈ Rng)
3	1	opprsubg 20312	. . . . . 6 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘(oppr‘𝑅))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘(oppr‘𝑅)))
5	4	eleq2d 2820	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝐼 ∈ (SubGrp‘(oppr‘𝑅))))
6	5	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘(oppr‘𝑅)))
7		isridlrng.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
8		isridlrng.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	1, 8	opprbas 20303	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
11	7, 9, 10	dflidl2rng 21179	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘(oppr‘𝑅))) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼))
12	2, 6, 11	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼))
13		isridlrng.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	8, 13, 1, 10	opprmul 20300	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) = (𝑦 · 𝑥)
15	14	eleq1i 2825	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
17	16	ralbidva 3161	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
18	17	ralbidva 3161	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
19	12, 18	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  SubGrpcsubg 19103  Rngcrng 20112  opp_rcoppr 20296  LIdealclidl 21167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-oppr 20297  df-lss 20889  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169

This theorem is referenced by:  df2idl2rng  21217