Theorem isridlrng 21277

Description: A right ideal is a left ideal of the opposite non-unital ring. This theorem shows that this definition corresponds to the usual textbook definition of a right ideal of a ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under right-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isridlrng.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
isridlrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isridlrng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isridlrng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isridlrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2	1	opprrng 20381	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (oppr‘𝑅) ∈ Rng)
3	1	opprsubg 20388	. . . . . 6 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘(oppr‘𝑅))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘(oppr‘𝑅)))
5	4	eleq2d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝐼 ∈ (SubGrp‘(oppr‘𝑅))))
6	5	biimpa 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘(oppr‘𝑅)))
7		isridlrng.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
8		isridlrng.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	1, 8	opprbas 20379	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
10		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
11	7, 9, 10	dflidl2rng 21276	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘(oppr‘𝑅))) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼))
12	2, 6, 11	syl2an2r 695	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼))
13		isridlrng.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	8, 13, 1, 10	opprmul 20376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) = (𝑦 · 𝑥)
15	14	eleq1i 2852	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
17	16	ralbidva 3182	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
18	17	ralbidva 3182	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
19	12, 18	bitrd 281	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Basecbs 17236  ._rcmulr 17278  SubGrpcsubg 19153  Rngcrng 20189  opp_rcoppr 20372  LIdealclidl 21264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-tpos 8200  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-subg 19156  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-oppr 20373  df-lss 20987  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-lidl 21266

This theorem is referenced by:  df2idl2rng  21314