MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isridlrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isridlrng 21247
Description: A right ideal is a left ideal of the opposite non-unital ring. This theorem shows that this definition corresponds to the usual textbook definition of a right ideal of a ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under right-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isridlrng.u 𝑈 = (LIdeal‘(oppr𝑅))
isridlrng.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
isridlrng.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
isridlrng ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼𝑈 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦
Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isridlrng
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 (oppr𝑅) = (oppr𝑅)
21opprrng 20362 . . 3 (𝑅 ∈ Rng → (oppr𝑅) ∈ Rng)
31opprsubg 20369 . . . . . 6 (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘(oppr𝑅))
43a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘(oppr𝑅)))
54eleq2d 2825 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝐼 ∈ (SubGrp‘(oppr𝑅))))
65biimpa 476 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘(oppr𝑅)))
7 isridlrng.u . . . 4 𝑈 = (LIdeal‘(oppr𝑅))
8 isridlrng.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
91, 8opprbas 20358 . . . 4 𝐵 = (Base‘(oppr𝑅))
10 eqid 2735 . . . 4 (.r‘(oppr𝑅)) = (.r‘(oppr𝑅))
117, 9, 10dflidl2rng 21246 . . 3 (((oppr𝑅) ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘(oppr𝑅))) → (𝐼𝑈 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐼 (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑦) ∈ 𝐼))
122, 6, 11syl2an2r 685 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼𝑈 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐼 (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑦) ∈ 𝐼))
13 isridlrng.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
148, 13, 1, 10opprmul 20354 . . . . . 6 (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑦) = (𝑦 · 𝑥)
1514eleq1i 2830 . . . . 5 ((𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)
1615a1i 11 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
1716ralbidva 3174 . . 3 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐵) → (∀𝑦𝐼 (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑦𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
1817ralbidva 3174 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (∀𝑥𝐵𝑦𝐼 (𝑥(.r‘(oppr𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
1912, 18bitrd 279 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼𝑈 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  SubGrpcsubg 19151  Rngcrng 20170  opprcoppr 20350  LIdealclidl 21234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-oppr 20351  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236
This theorem is referenced by:  df2idl2rng  21284
  Copyright terms: Public domain W3C validator