Theorem isridlrng 21151

Description: A right ideal is a left ideal of the opposite non-unital ring. This theorem shows that this definition corresponds to the usual textbook definition of a right ideal of a ring to be a subgroup of the additive group of the ring which is closed under right-multiplication by elements of the full ring. (Contributed by AV, 21-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isridlrng.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
isridlrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isridlrng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isridlrng	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem isridlrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2	1	opprrng 20258	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (oppr‘𝑅) ∈ Rng)
3	1	opprsubg 20265	. . . . . 6 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘(oppr‘𝑅))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘(oppr‘𝑅)))
5	4	eleq2d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝐼 ∈ (SubGrp‘(oppr‘𝑅))))
6	5	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘(oppr‘𝑅)))
7		isridlrng.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
8		isridlrng.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	1, 8	opprbas 20256	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppr‘𝑅))
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
11	7, 9, 10	dflidl2rng 21150	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘(oppr‘𝑅))) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼))
12	2, 6, 11	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼))
13		isridlrng.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	8, 13, 1, 10	opprmul 20253	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) = (𝑦 · 𝑥)
15	14	eleq1i 2822	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
17	16	ralbidva 3153	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
18	17	ralbidva 3153	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑥(.r‘(oppr‘𝑅))𝑦) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))
19	12, 18	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐼 (𝑦 · 𝑥) ∈ 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  ._rcmulr 17157  SubGrpcsubg 19028  Rngcrng 20065  opp_rcoppr 20249  LIdealclidl 21138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-subg 19031  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-oppr 20250  df-lss 20860  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-lidl 21140

This theorem is referenced by:  df2idl2rng  21188