MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxtrcfvl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxtrcfvl 14592
Description: The last symbol in a word truncated by one symbol. (Contributed by AV, 16-Jun-2018.) (Revised by AV, 5-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxtrcfvl ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2)))

Proof of Theorem pfxtrcfvl
StepHypRef Expression
1 2z 12542 . . . . . 6 2 ∈ β„€
21a1i 11 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ 2 ∈ β„€)
3 lencl 14428 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
43nn0zd 12532 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
54adantr 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
6 simpr 486 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š))
7 eluz2 12776 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)))
82, 5, 6, 7syl3anbrc 1344 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
9 ige2m1fz1 13537 . . . 4 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)))
108, 9syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š)))
11 pfxfvlsw 14590 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) ∈ (1...(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
1210, 11syldan 592 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
133nn0cnd 12482 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚)
14 sub1m1 12412 . . . . 5 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„‚ β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2))
1513, 14syl 17 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝑉 β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2))
1615adantr 482 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2))
1716fveq2d 6851 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 1)) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2)))
1812, 17eqtrd 2777 1 ((π‘Š ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜π‘Š)) β†’ (lastSβ€˜(π‘Š prefix ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))) = (π‘Šβ€˜((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  1c1 11059   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  2c2 12215  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  β™―chash 14237  Word cword 14409  lastSclsw 14457   prefix cpfx 14565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-substr 14536  df-pfx 14566
This theorem is referenced by:  clwlkclwwlk  28988  pfxlsw2ccat  31848
  Copyright terms: Public domain W3C validator