Theorem pfxeq 14261

Description: The prefixes of two words are equal iff they have the same length and the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxeq	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊

Proof of Theorem pfxeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxcl 14242	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉)
2		pfxcl 14242	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (𝑈 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑉)
3		eqwrd 14112	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑈 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
4	1, 2, 3	syl2an 599	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
5	4	3ad2ant2 1136	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
6		simp2l 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8		lencl 14088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9	8	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑊))
11	7, 9, 10	3anim123i 1153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑊)))
12		elfz2nn0 13203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑊)))
13	11, 12	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14		pfxlen 14248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
15	6, 13, 14	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
16		simp2r 1202	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
17		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
18		lencl 14088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
19	18	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
20		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))
21	17, 19, 20	3anim123i 1153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))
22		elfz2nn0 13203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))
23	21, 22	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)))
24		pfxlen 14248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) = 𝑁)
25	16, 23, 24	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) = 𝑁)
26	15, 25	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ↔ 𝑀 = 𝑁))
27	26	anbi1d 633	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
28	15	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
29	28	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀))) = (0..^𝑀))
30	29	raleqdv 3325	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)))
31	6	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
32	13	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
33		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
34		pfxfv 14247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
36	16	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
37	23	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)))
38		oveq2 7221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (0..^𝑀) = (0..^𝑁))
39	38	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
40	39	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
41	40	biimpa 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
42		pfxfv 14247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))
43	36, 37, 41, 42	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))
44	35, 43	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ (𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
45	44	ralbidva 3117	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
46	30, 45	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
47	46	pm5.32da 582	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
48	5, 27, 47	3bitrd 308	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
49	48	3com12 1125	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729   ≤ cle 10868  ℕ₀cn0 12090  ...cfz 13095  ..^cfzo 13238  ♯chash 13896  Word cword 14069   prefix cpfx 14235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-substr 14206  df-pfx 14236

This theorem is referenced by:  pfxsuffeqwrdeq  14263  clwlkclwwlkf1lem2  28088