MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxeq 14678
Description: The prefixes of two words are equal iff they have the same length and the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxeq (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊

Proof of Theorem pfxeq
StepHypRef Expression
1 pfxcl 14659 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉)
2 pfxcl 14659 . . . . 5 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (𝑈 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑉)
3 eqwrd 14539 . . . . 5 (((𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑈 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
41, 2, 3syl2an 595 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
543ad2ant2 1132 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
6 simp2l 1197 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8 lencl 14515 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑊))
117, 9, 103anim123i 1149 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑊)))
12 elfz2nn0 13624 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑊)))
1311, 12sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14 pfxlen 14665 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
156, 13, 14syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
16 simp2r 1198 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
17 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
18 lencl 14515 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
1918adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
20 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))
2117, 19, 203anim123i 1149 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))
22 elfz2nn0 13624 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))
2321, 22sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)))
24 pfxlen 14665 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2516, 23, 24syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2615, 25eqeq12d 2744 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ↔ 𝑀 = 𝑁))
2726anbi1d 630 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
2815adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
2928oveq2d 7436 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀))) = (0..^𝑀))
3029raleqdv 3322 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)))
316ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
3213ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
33 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
34 pfxfv 14664 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
3616ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
3723ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)))
38 oveq2 7428 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑁 → (0..^𝑀) = (0..^𝑁))
3938eleq2d 2815 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑁 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4039adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4140biimpa 476 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
42 pfxfv 14664 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) = (𝑈𝑖))
4336, 37, 41, 42syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) = (𝑈𝑖))
4435, 43eqeq12d 2744 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ (𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
4544ralbidva 3172 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
4630, 45bitrd 279 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
4746pm5.32da 578 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))))
485, 27, 473bitrd 305 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))))
49483com12 1121 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3058   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11138  cle 11279  0cn0 12502  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  chash 14321  Word cword 14496   prefix cpfx 14652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-substr 14623  df-pfx 14653
This theorem is referenced by:  pfxsuffeqwrdeq  14680  clwlkclwwlkf1lem2  29814
  Copyright terms: Public domain W3C validator