Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxeq 13775
 Description: The prefixes of two words are equal iff they have the same length and the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxeq (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊

Proof of Theorem pfxeq
StepHypRef Expression
1 pfxcl 13756 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉)
2 pfxcl 13756 . . . . 5 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (𝑈 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑉)
31, 2anim12i 608 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑈 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑉))
433ad2ant1 1169 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑈 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑉))
5 eqwrd 13617 . . 3 (((𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑈 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
64, 5syl 17 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
7 simpl 476 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
873ad2ant1 1169 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9 simpl 476 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1093ad2ant2 1170 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
11 lencl 13593 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1211adantr 474 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
13123ad2ant1 1169 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
14 simpl 476 . . . . . . 7 ((𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑊))
15143ad2ant3 1171 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑊))
16 elfz2nn0 12725 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑊)))
1710, 13, 15, 16syl3anbrc 1449 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
18 pfxlen 13762 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
198, 17, 18syl2anc 581 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
20 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
21203ad2ant1 1169 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
22 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23223ad2ant2 1170 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24 lencl 13593 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
2524adantl 475 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
26253ad2ant1 1169 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
27 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))
28273ad2ant3 1171 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))
29 elfz2nn0 12725 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))
3023, 26, 28, 29syl3anbrc 1449 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)))
31 pfxlen 13762 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) = 𝑁)
3221, 30, 31syl2anc 581 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) = 𝑁)
3319, 32eqeq12d 2840 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ↔ 𝑀 = 𝑁))
3433anbi1d 625 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
358adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
3617adantr 474 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3735, 36, 18syl2anc 581 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
3837oveq2d 6921 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀))) = (0..^𝑀))
3938raleqdv 3356 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)))
4035adantr 474 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
4136adantr 474 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
42 simpr 479 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
43 pfxfv 13761 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
4440, 41, 42, 43syl3anc 1496 . . . . . 6 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
4521ad2antrr 719 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
4630ad2antrr 719 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)))
47 oveq2 6913 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑁 → (0..^𝑀) = (0..^𝑁))
4847eleq2d 2892 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑁 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4948adantl 475 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
5049biimpa 470 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
51 pfxfv 13761 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) = (𝑈𝑖))
5245, 46, 50, 51syl3anc 1496 . . . . . 6 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) = (𝑈𝑖))
5344, 52eqeq12d 2840 . . . . 5 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ (𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
5453ralbidva 3194 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
5539, 54bitrd 271 . . 3 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
5655pm5.32da 576 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))))
576, 34, 563bitrd 297 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3117   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252   ≤ cle 10392  ℕ0cn0 11618  ...cfz 12619  ..^cfzo 12760  ♯chash 13410  Word cword 13574   prefix cpfx 13749 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-substr 13701  df-pfx 13750 This theorem is referenced by:  pfxsuffeqwrdeq  13777  clwlkclwwlkf1lem2  27336
 Copyright terms: Public domain W3C validator