MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxeq 14261
Description: The prefixes of two words are equal iff they have the same length and the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxeq (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊

Proof of Theorem pfxeq
StepHypRef Expression
1 pfxcl 14242 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉)
2 pfxcl 14242 . . . . 5 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (𝑈 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑉)
3 eqwrd 14112 . . . . 5 (((𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑈 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
41, 2, 3syl2an 599 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
543ad2ant2 1136 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
6 simp2l 1201 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8 lencl 14088 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
98adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑊))
117, 9, 103anim123i 1153 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑊)))
12 elfz2nn0 13203 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑀 ≤ (♯‘𝑊)))
1311, 12sylibr 237 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14 pfxlen 14248 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
156, 13, 14syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
16 simp2r 1202 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
17 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
18 lencl 14088 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
1918adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
20 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))
2117, 19, 203anim123i 1153 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))
22 elfz2nn0 13203 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))
2321, 22sylibr 237 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)))
24 pfxlen 14248 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2516, 23, 24syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) = 𝑁)
2615, 25eqeq12d 2753 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ↔ 𝑀 = 𝑁))
2726anbi1d 633 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
2815adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
2928oveq2d 7229 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀))) = (0..^𝑀))
3029raleqdv 3325 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)))
316ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
3213ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
33 simpr 488 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
34 pfxfv 14247 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
3616ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
3723ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)))
38 oveq2 7221 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑁 → (0..^𝑀) = (0..^𝑁))
3938eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑁 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4039adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
4140biimpa 480 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
42 pfxfv 14247 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) = (𝑈𝑖))
4336, 37, 41, 42syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) = (𝑈𝑖))
4435, 43eqeq12d 2753 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ (𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
4544ralbidva 3117 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
4630, 45bitrd 282 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖)))
4746pm5.32da 582 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))))
485, 27, 473bitrd 308 . 2 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))))
49483com12 1125 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) = (𝑈𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  cle 10868  0cn0 12090  ...cfz 13095  ..^cfzo 13238  chash 13896  Word cword 14069   prefix cpfx 14235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-substr 14206  df-pfx 14236
This theorem is referenced by:  pfxsuffeqwrdeq  14263  clwlkclwwlkf1lem2  28088
  Copyright terms: Public domain W3C validator