Theorem pfxeq 14731

Description: The prefixes of two words are equal iff they have the same length and the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.) (Revised by AV, 4-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxeq	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊

Proof of Theorem pfxeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxcl 14712	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉)
2		pfxcl 14712	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (𝑈 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑉)
3		eqwrd 14592	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 prefix 𝑀) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑈 prefix 𝑁) ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
5	4	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
6		simp2l 1198	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8		lencl 14568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) → 𝑀 ≤ (♯‘𝑊))
11	7, 9, 10	3anim123i 1150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑊)))
12		elfz2nn0 13655	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (♯‘𝑊)))
13	11, 12	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14		pfxlen 14718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
15	6, 13, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
16		simp2r 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
17		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
18		lencl 14568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝑈) ∈ ℕ0)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))
21	17, 19, 20	3anim123i 1150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))
22		elfz2nn0 13655	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑈) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈)))
23	21, 22	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)))
24		pfxlen 14718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) = 𝑁)
25	16, 23, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) = 𝑁)
26	15, 25	eqeq12d 2751	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ↔ 𝑀 = 𝑁))
27	26	anbi1d 631	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → (((♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = (♯‘(𝑈 prefix 𝑁)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖))))
28	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (♯‘(𝑊 prefix 𝑀)) = 𝑀)
29	28	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀))) = (0..^𝑀))
30	29	raleqdv 3324	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)))
31	6	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
32	13	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
33		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
34		pfxfv 14717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
35	31, 32, 33, 34	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
36	16	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
37	23	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)))
38		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (0..^𝑀) = (0..^𝑁))
39	38	eleq2d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
41	40	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
42		pfxfv 14717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑈)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))
43	36, 37, 41, 42	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))
44	35, 43	eqeq12d 2751	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ (𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
45	44	ralbidva 3174	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
46	30, 45	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) ∧ 𝑀 = 𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖)))
47	46	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 𝑀)))((𝑊 prefix 𝑀)‘𝑖) = ((𝑈 prefix 𝑁)‘𝑖)) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
48	5, 27, 47	3bitrd 305	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))
49	48	3com12 1122	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ≤ (♯‘𝑊) ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑈))) → ((𝑊 prefix 𝑀) = (𝑈 prefix 𝑁) ↔ (𝑀 = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊‘𝑖) = (𝑈‘𝑖))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153   ≤ cle 11294  ℕ₀cn0 12524  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   prefix cpfx 14705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-substr 14676  df-pfx 14706

This theorem is referenced by:  pfxsuffeqwrdeq  14733  clwlkclwwlkf1lem2  30034