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Theorem hoiqssbllem3 44951
Description: A n-dimensional ball contains a nonempty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem3.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
hoiqssbllem3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem3.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   π‘Œ,𝑐,𝑑,𝑖   πœ‘,𝑐,𝑑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbllem3
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem3.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 qex 12891 . . . . . . . . 9 β„š ∈ V
32inex1 5275 . . . . . . . 8 (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∈ V
43a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∈ V)
5 hoiqssbllem3.y . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6 elmapi 8790 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„)
87ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
9 hoiqssbllem3.e . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
10 2rp 12925 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
12 hoiqssbllem3.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
13 hashnncl 14272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
141, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
1512, 14mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„•)
16 nnrp 12931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
1817rpsqrtcld 15302 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)) ∈ ℝ+)
1911, 18rpmulcld 12978 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))) ∈ ℝ+)
209, 19rpdivcld 12979 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ+)
2120adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ+)
228, 21ltsubrpd 12994 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) < (π‘Œβ€˜π‘–))
2321rpred 12962 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ)
248, 23resubcld 11588 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ)
2524, 8ltnled 11307 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) < (π‘Œβ€˜π‘–) ↔ Β¬ (π‘Œβ€˜π‘–) ≀ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
2622, 25mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ (π‘Œβ€˜π‘–) ≀ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
2724rexrd 11210 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ*)
288rexrd 11210 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
2927, 28qinioo 43859 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) = βˆ… ↔ (π‘Œβ€˜π‘–) ≀ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
3026, 29mtbird 325 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) = βˆ…)
3130neqned 2947 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β‰  βˆ…)
321, 4, 31choicefi 43508 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘(𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
33 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ 𝑐 Fn 𝑋)
34 nfra1 3266 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘–βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
35 rspa 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))
36 elinel1 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
3837ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
3934, 38ralrimi 3239 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
4039adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
4133, 40jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
4241adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
43 ffnfv 7067 . . . . . . . . . . 11 (𝑐:π‘‹βŸΆβ„š ↔ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
4442, 43sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
452a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„š ∈ V)
46 elmapg 8781 . . . . . . . . . . . 12 ((β„š ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š))
4745, 1, 46syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š))
4847adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š))
4944, 48mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
50 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))
5149, 50jca 513 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
5251ex 414 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))))
5352eximdv 1921 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘(𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))))
5432, 53mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
55 df-rex 3071 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
5654, 55sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))
572inex1 5275 . . . . . . . 8 (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∈ V)
598, 21ltaddrpd 12995 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) < ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
608, 23readdcld 11189 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ)
618, 60ltnled 11307 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) < ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ↔ Β¬ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ≀ (π‘Œβ€˜π‘–)))
6259, 61mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ≀ (π‘Œβ€˜π‘–))
6360rexrd 11210 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ*)
6428, 63qinioo 43859 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) = βˆ… ↔ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ≀ (π‘Œβ€˜π‘–)))
6562, 64mtbird 325 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) = βˆ…)
6665neqned 2947 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β‰  βˆ…)
671, 58, 66choicefi 43508 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
68 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ 𝑑 Fn 𝑋)
69 nfra1 3266 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘–βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
70 rspa 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
71 elinel1 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7372ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
7469, 73ralrimi 3239 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7574adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7668, 75jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
7776adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
78 ffnfv 7067 . . . . . . . . . . 11 (𝑑:π‘‹βŸΆβ„š ↔ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
7977, 78sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
80 elmapg 8781 . . . . . . . . . . . 12 ((β„š ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š))
8145, 1, 80syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š))
8281adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š))
8379, 82mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
84 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
8583, 84jca 513 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
8685ex 414 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))))
8786eximdv 1921 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘(𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))))
8867, 87mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
89 df-rex 3071 . . . . 5 (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
9088, 89sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
9156, 90jca 513 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
92 reeanv 3216 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
9391, 92sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
94 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
9534, 69nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
9694, 95nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
971ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
9812ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
995ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
100 elmapi 8790 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
101 qssre 12889 . . . . . . . . . . 11 β„š βŠ† ℝ
102101a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ β„š βŠ† ℝ)
103100, 102fssd 6687 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
104103adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
105104ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
106 elmapi 8790 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
107101a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ β„š βŠ† ℝ)
108106, 107fssd 6687 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„)
109108ad2antlr 726 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„)
1109ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
11135elin2d 4160 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
112111adantlr 714 . . . . . . . 8 (((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
113112adantll 713 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
11470elin2d 4160 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
115114adantll 713 . . . . . . . 8 (((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
116115adantll 713 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
11796, 97, 98, 99, 105, 109, 110, 113, 116hoiqssbllem1 44949 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)))
118 simpl 484 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)))
119 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜π‘˜))
120 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
121120oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) = ((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
122121, 120oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘˜ β†’ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)) = (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜)))
123122ineq2d 4173 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) = (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
124119, 123eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ↔ (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜)))))
125124cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
126125biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
127126adantr 482 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
128 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘˜))
129120oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) = ((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
130120, 129oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))) = ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
131130ineq2d 4173 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) = (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
132128, 131eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ↔ (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
133132cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
134133biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
135134adantl 483 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
136127, 135jca 513 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
137136adantl 483 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
138 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
1391ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
14012ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1415ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
142104ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
143108ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„)
1449ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
145125, 111sylanbr 583 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
146145adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
147146adantll 713 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
148133, 114sylanbr 583 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
149148adantll 713 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
150149adantll 713 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
151138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 147, 150hoiqssbllem2 44950 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))
152118, 137, 151syl2anc 585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))
153117, 152jca 513 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
154153ex 414 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))))
155154reximdva 3162 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))))
156155reximdva 3162 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))))
15793, 156mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  Xcixp 8838  Fincfn 8886  β„cr 11055   + caddc 11059   Β· cmul 11061   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  β„šcq 12878  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  [,)cico 13272  β™―chash 14236  βˆšcsqrt 15124  distcds 17147  ballcbl 20799  β„^crrx 24763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xadd 13039  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-rnghom 20153  df-drng 20199  df-field 20200  df-subrg 20234  df-staf 20318  df-srng 20319  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-cnfld 20813  df-refld 21025  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-nm 23954  df-tng 23956  df-tcph 24549  df-rrx 24765
This theorem is referenced by:  hoiqssbl  44952
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