Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem3 42791
Description: A n-dimensional ball contains a nonempty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem3.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem3.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem3.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem3.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem3 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   𝑌,𝑐,𝑑,𝑖   𝜑,𝑐,𝑑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbllem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem3.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 qex 12355 . . . . . . . . 9 ℚ ∈ V
32inex1 5218 . . . . . . . 8 (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∈ V
43a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∈ V)
5 hoiqssbllem3.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6 elmapi 8423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:𝑋⟶ℝ)
87ffvelrnda 6849 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
9 hoiqssbllem3.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
10 2rp 12389 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
12 hoiqssbllem3.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
13 hashnncl 13722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
141, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
1512, 14mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
16 nnrp 12395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑋) ∈ ℕ → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
1817rpsqrtcld 14766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ+)
1911, 18rpmulcld 12442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ+)
209, 19rpdivcld 12443 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
228, 21ltsubrpd 12458 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝑌𝑖))
2321rpred 12426 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
248, 23resubcld 11062 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
2524, 8ltnled 10781 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝑌𝑖) ↔ ¬ (𝑌𝑖) ≤ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
2622, 25mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ¬ (𝑌𝑖) ≤ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
2724rexrd 10685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
288rexrd 10685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ*)
2927, 28qinioo 41695 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) = ∅ ↔ (𝑌𝑖) ≤ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
3026, 29mtbird 326 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ¬ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) = ∅)
3130neqned 3028 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ≠ ∅)
321, 4, 31choicefi 41347 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑐(𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))))
33 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → 𝑐 Fn 𝑋)
34 nfra1 3224 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
35 rspa 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))
36 elinel1 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝑐𝑖) ∈ ℚ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ ℚ)
3837ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝑖𝑋 → (𝑐𝑖) ∈ ℚ))
3934, 38ralrimi 3221 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ)
4133, 40jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ))
43 ffnfv 6880 . . . . . . . . . . 11 (𝑐:𝑋⟶ℚ ↔ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ))
4442, 43sylibr 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → 𝑐:𝑋⟶ℚ)
452a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℚ ∈ V)
46 elmapg 8414 . . . . . . . . . . . 12 ((ℚ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:𝑋⟶ℚ))
4745, 1, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:𝑋⟶ℚ))
4847adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:𝑋⟶ℚ))
4944, 48mpbird 258 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → 𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋))
50 simprr 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))
5149, 50jca 512 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))))
5251ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))))
5352eximdv 1911 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑐(𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → ∃𝑐(𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))))
5432, 53mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑐(𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))))
55 df-rex 3149 . . . . 5 (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))))
5654, 55sylibr 235 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))
572inex1 5218 . . . . . . . 8 (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∈ V)
598, 21ltaddrpd 12459 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
608, 23readdcld 10664 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
618, 60ltnled 10781 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ↔ ¬ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ≤ (𝑌𝑖)))
6259, 61mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ¬ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ≤ (𝑌𝑖))
6360rexrd 10685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
6428, 63qinioo 41695 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) = ∅ ↔ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ≤ (𝑌𝑖)))
6562, 64mtbird 326 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ¬ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) = ∅)
6665neqned 3028 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ≠ ∅)
671, 58, 66choicefi 41347 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
68 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → 𝑑 Fn 𝑋)
69 nfra1 3224 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
70 rspa 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
71 elinel1 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑑𝑖) ∈ ℚ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ℚ)
7372ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑖𝑋 → (𝑑𝑖) ∈ ℚ))
7469, 73ralrimi 3221 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ)
7574adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ)
7668, 75jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ))
7776adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ))
78 ffnfv 6880 . . . . . . . . . . 11 (𝑑:𝑋⟶ℚ ↔ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ))
7977, 78sylibr 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑑:𝑋⟶ℚ)
80 elmapg 8414 . . . . . . . . . . . 12 ((ℚ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:𝑋⟶ℚ))
8145, 1, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:𝑋⟶ℚ))
8281adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:𝑋⟶ℚ))
8379, 82mpbird 258 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋))
84 simprr 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
8583, 84jca 512 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
8685ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))))
8786eximdv 1911 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑑(𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∃𝑑(𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))))
8867, 87mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
89 df-rex 3149 . . . . 5 (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ↔ ∃𝑑(𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
9088, 89sylibr 235 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
9156, 90jca 512 . . 3 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
92 reeanv 3373 . . 3 (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ↔ (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
9391, 92sylibr 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
94 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑖((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋))
9534, 69nfan 1893 . . . . . . . 8 𝑖(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
9694, 95nfan 1893 . . . . . . 7 𝑖(((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
971ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑋 ∈ Fin)
9812ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑋 ≠ ∅)
995ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
100 elmapi 8423 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑐:𝑋⟶ℚ)
101 qssre 12353 . . . . . . . . . . 11 ℚ ⊆ ℝ
102101a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → ℚ ⊆ ℝ)
103100, 102fssd 6527 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
104103adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
105104ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
106 elmapi 8423 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑑:𝑋⟶ℚ)
107101a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → ℚ ⊆ ℝ)
108106, 107fssd 6527 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑑:𝑋⟶ℝ)
109108ad2antlr 723 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑑:𝑋⟶ℝ)
1109ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
11135elin2d 4180 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
112111adantlr 711 . . . . . . . 8 (((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
113112adantll 710 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
11470elin2d 4180 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
115114adantll 710 . . . . . . . 8 (((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
116115adantll 710 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
11796, 97, 98, 99, 105, 109, 110, 113, 116hoiqssbllem1 42789 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)))
118 simpl 483 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → ((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)))
119 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝑐𝑖) = (𝑐𝑘))
120 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑘 → (𝑌𝑖) = (𝑌𝑘))
121120oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = ((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
122121, 120oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)) = (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘)))
123122ineq2d 4193 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) = (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))))
124119, 123eleq12d 2912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ↔ (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘)))))
125124cbvralv 3458 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ↔ ∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))))
126125biimpi 217 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → ∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))))
127126adantr 481 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))))
128 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝑑𝑖) = (𝑑𝑘))
129120oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = ((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
130120, 129oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))) = ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
131130ineq2d 4193 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) = (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
132128, 131eleq12d 2912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ↔ (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
133132cbvralv 3458 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ↔ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
134133biimpi 217 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
135134adantl 482 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
136127, 135jca 512 . . . . . . . 8 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
137136adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
138 nfv 1908 . . . . . . . 8 𝑖(((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
1391ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑋 ∈ Fin)
14012ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑋 ≠ ∅)
1415ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
142104ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
143108ad2antlr 723 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑑:𝑋⟶ℝ)
1449ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
145125, 111sylanbr 582 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
146145adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
147146adantll 710 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
148133, 114sylanbr 582 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
149148adantll 710 . . . . . . . . 9 (((∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
150149adantll 710 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
151138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 147, 150hoiqssbllem2 42790 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
152118, 137, 151syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
153117, 152jca 512 . . . . 5 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
154153ex 413 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → (𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))))
155154reximdva 3279 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))))
156155reximdva 3279 . 2 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))))
15793, 156mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  wrex 3144  Vcvv 3500  cin 3939  wss 3940  c0 4295   class class class wbr 5063   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  m cmap 8401  Xcixp 8455  Fincfn 8503  cr 10530   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11686  cq 12342  +crp 12384  (,)cioo 12733  [,)cico 12735  chash 13685  csqrt 14587  distcds 16569  ballcbl 20467  ℝ^crrx 23920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xadd 12503  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-subg 18221  df-ghm 18301  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-cring 19236  df-oppr 19309  df-dvdsr 19327  df-unit 19328  df-invr 19358  df-dvr 19369  df-rnghom 19403  df-drng 19440  df-field 19441  df-subrg 19469  df-staf 19552  df-srng 19553  df-lmod 19572  df-lss 19640  df-sra 19880  df-rgmod 19881  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-cnfld 20481  df-refld 20684  df-dsmm 20811  df-frlm 20826  df-nm 23126  df-tng 23128  df-tcph 23707  df-rrx 23922
This theorem is referenced by:  hoiqssbl  42792
  Copyright terms: Public domain W3C validator