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Theorem hoiqssbllem3 46071
Description: A n-dimensional ball contains a nonempty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem3.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
hoiqssbllem3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem3.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   π‘Œ,𝑐,𝑑,𝑖   πœ‘,𝑐,𝑑,𝑖
Proof of Theorem hoiqssbllem3
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem3.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 qex 12970 . . . . . . . . 9 β„š ∈ V
32inex1 5313 . . . . . . . 8 (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∈ V
43a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∈ V)
5 hoiqssbllem3.y . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6 elmapi 8861 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„)
87ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
9 hoiqssbllem3.e . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
10 2rp 13006 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
12 hoiqssbllem3.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
13 hashnncl 14352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
141, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
1512, 14mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„•)
16 nnrp 13012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
1817rpsqrtcld 15385 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)) ∈ ℝ+)
1911, 18rpmulcld 13059 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))) ∈ ℝ+)
209, 19rpdivcld 13060 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ+)
2120adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ+)
228, 21ltsubrpd 13075 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) < (π‘Œβ€˜π‘–))
2321rpred 13043 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ)
248, 23resubcld 11667 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ)
2524, 8ltnled 11386 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) < (π‘Œβ€˜π‘–) ↔ Β¬ (π‘Œβ€˜π‘–) ≀ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
2622, 25mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ (π‘Œβ€˜π‘–) ≀ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
2724rexrd 11289 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ*)
288rexrd 11289 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
2927, 28qinioo 44979 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) = βˆ… ↔ (π‘Œβ€˜π‘–) ≀ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
3026, 29mtbird 324 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) = βˆ…)
3130neqned 2937 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β‰  βˆ…)
321, 4, 31choicefi 44633 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘(𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
33 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ 𝑐 Fn 𝑋)
34 nfra1 3272 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘–βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
35 rspa 3236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))
36 elinel1 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
3837ex 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
3934, 38ralrimi 3245 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
4039adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
4133, 40jca 510 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
4241adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
43 ffnfv 7122 . . . . . . . . . . 11 (𝑐:π‘‹βŸΆβ„š ↔ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
4442, 43sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
452a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„š ∈ V)
46 elmapg 8851 . . . . . . . . . . . 12 ((β„š ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š))
4745, 1, 46syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š))
4847adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š))
4944, 48mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
50 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))
5149, 50jca 510 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
5251ex 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))))
5352eximdv 1912 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘(𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))))
5432, 53mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
55 df-rex 3061 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
5654, 55sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))
572inex1 5313 . . . . . . . 8 (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∈ V)
598, 21ltaddrpd 13076 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) < ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
608, 23readdcld 11268 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ)
618, 60ltnled 11386 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) < ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ↔ Β¬ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ≀ (π‘Œβ€˜π‘–)))
6259, 61mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ≀ (π‘Œβ€˜π‘–))
6360rexrd 11289 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ*)
6428, 63qinioo 44979 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) = βˆ… ↔ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ≀ (π‘Œβ€˜π‘–)))
6562, 64mtbird 324 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) = βˆ…)
6665neqned 2937 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β‰  βˆ…)
671, 58, 66choicefi 44633 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
68 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ 𝑑 Fn 𝑋)
69 nfra1 3272 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘–βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
70 rspa 3236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
71 elinel1 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7372ex 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
7469, 73ralrimi 3245 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7574adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7668, 75jca 510 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
7776adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
78 ffnfv 7122 . . . . . . . . . . 11 (𝑑:π‘‹βŸΆβ„š ↔ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
7977, 78sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
80 elmapg 8851 . . . . . . . . . . . 12 ((β„š ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š))
8145, 1, 80syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š))
8281adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š))
8379, 82mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
84 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
8583, 84jca 510 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
8685ex 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))))
8786eximdv 1912 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘(𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))))
8867, 87mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
89 df-rex 3061 . . . . 5 (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
9088, 89sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
9156, 90jca 510 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
92 reeanv 3217 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
9391, 92sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
94 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
9534, 69nfan 1894 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
9694, 95nfan 1894 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
971ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
9812ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
995ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
100 elmapi 8861 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
101 qssre 12968 . . . . . . . . . . 11 β„š βŠ† ℝ
102101a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ β„š βŠ† ℝ)
103100, 102fssd 6734 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
104103adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
105104ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
106 elmapi 8861 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
107101a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ β„š βŠ† ℝ)
108106, 107fssd 6734 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„)
109108ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„)
1109ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
11135elin2d 4194 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
112111adantlr 713 . . . . . . . 8 (((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
113112adantll 712 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
11470elin2d 4194 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
115114adantll 712 . . . . . . . 8 (((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
116115adantll 712 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
11796, 97, 98, 99, 105, 109, 110, 113, 116hoiqssbllem1 46069 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)))
118 simpl 481 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)))
119 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜π‘˜))
120 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
121120oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) = ((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
122121, 120oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘˜ β†’ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)) = (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜)))
123122ineq2d 4207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) = (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
124119, 123eleq12d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ↔ (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜)))))
125124cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
126125biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
127126adantr 479 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
128 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘˜))
129120oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) = ((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
130120, 129oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))) = ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
131130ineq2d 4207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) = (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
132128, 131eleq12d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ↔ (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
133132cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
134133biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
135134adantl 480 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
136127, 135jca 510 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
137136adantl 480 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
138 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
1391ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
14012ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1415ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
142104ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
143108ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„)
1449ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
145125, 111sylanbr 580 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
146145adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
147146adantll 712 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
148133, 114sylanbr 580 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
149148adantll 712 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
150149adantll 712 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
151138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 147, 150hoiqssbllem2 46070 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))
152118, 137, 151syl2anc 582 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))
153117, 152jca 510 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
154153ex 411 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))))
155154reximdva 3158 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))))
156155reximdva 3158 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))))
15793, 156mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4319   class class class wbr 5144   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑m cmap 8838  Xcixp 8909  Fincfn 8957  β„cr 11132   + caddc 11136   Β· cmul 11138   < clt 11273   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  β„•cn 12237  2c2 12292  β„šcq 12957  β„+crp 13001  (,)cioo 13351  [,)cico 13353  β™―chash 14316  βˆšcsqrt 15207  distcds 17236  ballcbl 21265  β„^crrx 25324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xadd 13120  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-field 20626  df-staf 20724  df-srng 20725  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-cnfld 21279  df-refld 21536  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-nm 24504  df-tng 24506  df-tcph 25110  df-rrx 25326
This theorem is referenced by:  hoiqssbl  46072
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