Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem3 46639
Description: A n-dimensional ball contains a nonempty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem3.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem3.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem3.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem3.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem3 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   𝑌,𝑐,𝑑,𝑖   𝜑,𝑐,𝑑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbllem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem3.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 qex 13003 . . . . . . . . 9 ℚ ∈ V
32inex1 5317 . . . . . . . 8 (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∈ V
43a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∈ V)
5 hoiqssbllem3.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6 elmapi 8889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:𝑋⟶ℝ)
87ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
9 hoiqssbllem3.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
10 2rp 13039 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
12 hoiqssbllem3.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
13 hashnncl 14405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
141, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
1512, 14mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
16 nnrp 13046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑋) ∈ ℕ → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
1817rpsqrtcld 15450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ+)
1911, 18rpmulcld 13093 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ+)
209, 19rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
228, 21ltsubrpd 13109 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝑌𝑖))
2321rpred 13077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
248, 23resubcld 11691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
2524, 8ltnled 11408 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝑌𝑖) ↔ ¬ (𝑌𝑖) ≤ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
2622, 25mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ¬ (𝑌𝑖) ≤ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
2724rexrd 11311 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
288rexrd 11311 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ*)
2927, 28qinioo 45548 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) = ∅ ↔ (𝑌𝑖) ≤ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
3026, 29mtbird 325 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ¬ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) = ∅)
3130neqned 2947 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ≠ ∅)
321, 4, 31choicefi 45205 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑐(𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))))
33 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → 𝑐 Fn 𝑋)
34 nfra1 3284 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
35 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))
36 elinel1 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝑐𝑖) ∈ ℚ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ ℚ)
3837ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝑖𝑋 → (𝑐𝑖) ∈ ℚ))
3934, 38ralrimi 3257 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ)
4133, 40jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ))
43 ffnfv 7139 . . . . . . . . . . 11 (𝑐:𝑋⟶ℚ ↔ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ))
4442, 43sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → 𝑐:𝑋⟶ℚ)
452a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℚ ∈ V)
46 elmapg 8879 . . . . . . . . . . . 12 ((ℚ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:𝑋⟶ℚ))
4745, 1, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:𝑋⟶ℚ))
4847adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:𝑋⟶ℚ))
4944, 48mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → 𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋))
50 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))
5149, 50jca 511 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))))
5251ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))))
5352eximdv 1917 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑐(𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → ∃𝑐(𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))))
5432, 53mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑐(𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))))
55 df-rex 3071 . . . . 5 (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))))
5654, 55sylibr 234 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))
572inex1 5317 . . . . . . . 8 (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∈ V)
598, 21ltaddrpd 13110 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
608, 23readdcld 11290 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
618, 60ltnled 11408 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ↔ ¬ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ≤ (𝑌𝑖)))
6259, 61mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ¬ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ≤ (𝑌𝑖))
6360rexrd 11311 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
6428, 63qinioo 45548 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) = ∅ ↔ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ≤ (𝑌𝑖)))
6562, 64mtbird 325 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ¬ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) = ∅)
6665neqned 2947 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ≠ ∅)
671, 58, 66choicefi 45205 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
68 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → 𝑑 Fn 𝑋)
69 nfra1 3284 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
70 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
71 elinel1 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑑𝑖) ∈ ℚ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ℚ)
7372ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑖𝑋 → (𝑑𝑖) ∈ ℚ))
7469, 73ralrimi 3257 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ)
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ)
7668, 75jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ))
78 ffnfv 7139 . . . . . . . . . . 11 (𝑑:𝑋⟶ℚ ↔ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ))
7977, 78sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑑:𝑋⟶ℚ)
80 elmapg 8879 . . . . . . . . . . . 12 ((ℚ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:𝑋⟶ℚ))
8145, 1, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:𝑋⟶ℚ))
8281adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:𝑋⟶ℚ))
8379, 82mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋))
84 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
8583, 84jca 511 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
8685ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))))
8786eximdv 1917 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑑(𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∃𝑑(𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))))
8867, 87mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
89 df-rex 3071 . . . . 5 (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ↔ ∃𝑑(𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
9088, 89sylibr 234 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
9156, 90jca 511 . . 3 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
92 reeanv 3229 . . 3 (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ↔ (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
9391, 92sylibr 234 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
94 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑖((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋))
9534, 69nfan 1899 . . . . . . . 8 𝑖(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
9694, 95nfan 1899 . . . . . . 7 𝑖(((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
971ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑋 ∈ Fin)
9812ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑋 ≠ ∅)
995ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
100 elmapi 8889 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑐:𝑋⟶ℚ)
101 qssre 13001 . . . . . . . . . . 11 ℚ ⊆ ℝ
102101a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → ℚ ⊆ ℝ)
103100, 102fssd 6753 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
104103adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
105104ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
106 elmapi 8889 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑑:𝑋⟶ℚ)
107101a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → ℚ ⊆ ℝ)
108106, 107fssd 6753 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑑:𝑋⟶ℝ)
109108ad2antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑑:𝑋⟶ℝ)
1109ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
11135elin2d 4205 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
112111adantlr 715 . . . . . . . 8 (((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
113112adantll 714 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
11470elin2d 4205 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
115114adantll 714 . . . . . . . 8 (((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
116115adantll 714 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
11796, 97, 98, 99, 105, 109, 110, 113, 116hoiqssbllem1 46637 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)))
118 simpl 482 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → ((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)))
119 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝑐𝑖) = (𝑐𝑘))
120 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑘 → (𝑌𝑖) = (𝑌𝑘))
121120oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = ((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
122121, 120oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)) = (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘)))
123122ineq2d 4220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) = (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))))
124119, 123eleq12d 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ↔ (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘)))))
125124cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ↔ ∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))))
126125biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → ∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))))
127126adantr 480 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))))
128 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝑑𝑖) = (𝑑𝑘))
129120oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = ((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
130120, 129oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))) = ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
131130ineq2d 4220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) = (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
132128, 131eleq12d 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ↔ (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
133132cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ↔ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
134133biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
135134adantl 481 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
136127, 135jca 511 . . . . . . . 8 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
137136adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
138 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑖(((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
1391ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑋 ∈ Fin)
14012ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑋 ≠ ∅)
1415ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
142104ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
143108ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑑:𝑋⟶ℝ)
1449ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
145125, 111sylanbr 582 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
146145adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
147146adantll 714 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
148133, 114sylanbr 582 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
149148adantll 714 . . . . . . . . 9 (((∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
150149adantll 714 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
151138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 147, 150hoiqssbllem2 46638 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
152118, 137, 151syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
153117, 152jca 511 . . . . 5 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
154153ex 412 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → (𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))))
155154reximdva 3168 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))))
156155reximdva 3168 . 2 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))))
15793, 156mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Xcixp 8937  Fincfn 8985  cr 11154   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cq 12990  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  chash 14369  csqrt 15272  distcds 17306  ballcbl 21351  ℝ^crrx 25417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-nm 24595  df-tng 24597  df-tcph 25203  df-rrx 25419
This theorem is referenced by:  hoiqssbl  46640
  Copyright terms: Public domain W3C validator