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Theorem hoiqssbllem3 45326
Description: A n-dimensional ball contains a nonempty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem3.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
hoiqssbllem3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem3.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   π‘Œ,𝑐,𝑑,𝑖   πœ‘,𝑐,𝑑,𝑖
Proof of Theorem hoiqssbllem3
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem3.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 qex 12941 . . . . . . . . 9 β„š ∈ V
32inex1 5316 . . . . . . . 8 (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∈ V
43a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∈ V)
5 hoiqssbllem3.y . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„)
87ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
9 hoiqssbllem3.e . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
10 2rp 12975 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
12 hoiqssbllem3.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
13 hashnncl 14322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
141, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
1512, 14mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„•)
16 nnrp 12981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
1817rpsqrtcld 15354 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)) ∈ ℝ+)
1911, 18rpmulcld 13028 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))) ∈ ℝ+)
209, 19rpdivcld 13029 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ+)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ+)
228, 21ltsubrpd 13044 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) < (π‘Œβ€˜π‘–))
2321rpred 13012 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ)
248, 23resubcld 11638 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ)
2524, 8ltnled 11357 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) < (π‘Œβ€˜π‘–) ↔ Β¬ (π‘Œβ€˜π‘–) ≀ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
2622, 25mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ (π‘Œβ€˜π‘–) ≀ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
2724rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ*)
288rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
2927, 28qinioo 44234 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) = βˆ… ↔ (π‘Œβ€˜π‘–) ≀ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
3026, 29mtbird 324 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) = βˆ…)
3130neqned 2947 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β‰  βˆ…)
321, 4, 31choicefi 43884 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘(𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
33 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ 𝑐 Fn 𝑋)
34 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘–βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
35 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))
36 elinel1 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
3837ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
3934, 38ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
4133, 40jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
43 ffnfv 7114 . . . . . . . . . . 11 (𝑐:π‘‹βŸΆβ„š ↔ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
4442, 43sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
452a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„š ∈ V)
46 elmapg 8829 . . . . . . . . . . . 12 ((β„š ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š))
4745, 1, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š))
4847adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š))
4944, 48mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
50 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))
5149, 50jca 512 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
5251ex 413 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))))
5352eximdv 1920 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘(𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))))
5432, 53mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
55 df-rex 3071 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
5654, 55sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))
572inex1 5316 . . . . . . . 8 (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∈ V)
598, 21ltaddrpd 13045 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) < ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
608, 23readdcld 11239 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ)
618, 60ltnled 11357 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) < ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ↔ Β¬ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ≀ (π‘Œβ€˜π‘–)))
6259, 61mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ≀ (π‘Œβ€˜π‘–))
6360rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ*)
6428, 63qinioo 44234 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) = βˆ… ↔ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ≀ (π‘Œβ€˜π‘–)))
6562, 64mtbird 324 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) = βˆ…)
6665neqned 2947 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β‰  βˆ…)
671, 58, 66choicefi 43884 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
68 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ 𝑑 Fn 𝑋)
69 nfra1 3281 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘–βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
70 rspa 3245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
71 elinel1 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7372ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
7469, 73ralrimi 3254 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7574adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7668, 75jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
7776adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
78 ffnfv 7114 . . . . . . . . . . 11 (𝑑:π‘‹βŸΆβ„š ↔ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
7977, 78sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
80 elmapg 8829 . . . . . . . . . . . 12 ((β„š ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š))
8145, 1, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š))
8281adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š))
8379, 82mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
84 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
8583, 84jca 512 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
8685ex 413 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))))
8786eximdv 1920 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘(𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))))
8867, 87mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
89 df-rex 3071 . . . . 5 (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
9088, 89sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
9156, 90jca 512 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
92 reeanv 3226 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
9391, 92sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
94 nfv 1917 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
9534, 69nfan 1902 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
9694, 95nfan 1902 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
971ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
9812ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
995ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
100 elmapi 8839 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
101 qssre 12939 . . . . . . . . . . 11 β„š βŠ† ℝ
102101a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ β„š βŠ† ℝ)
103100, 102fssd 6732 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
104103adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
105104ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
106 elmapi 8839 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
107101a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ β„š βŠ† ℝ)
108106, 107fssd 6732 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„)
109108ad2antlr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„)
1109ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
11135elin2d 4198 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
112111adantlr 713 . . . . . . . 8 (((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
113112adantll 712 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
11470elin2d 4198 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
115114adantll 712 . . . . . . . 8 (((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
116115adantll 712 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
11796, 97, 98, 99, 105, 109, 110, 113, 116hoiqssbllem1 45324 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)))
118 simpl 483 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)))
119 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜π‘˜))
120 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
121120oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) = ((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
122121, 120oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘˜ β†’ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)) = (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜)))
123122ineq2d 4211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) = (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
124119, 123eleq12d 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ↔ (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜)))))
125124cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
126125biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
127126adantr 481 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
128 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘˜))
129120oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) = ((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
130120, 129oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))) = ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
131130ineq2d 4211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) = (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
132128, 131eleq12d 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ↔ (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
133132cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
134133biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
135134adantl 482 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
136127, 135jca 512 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
137136adantl 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
138 nfv 1917 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
1391ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
14012ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1415ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
142104ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
143108ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„)
1449ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
145125, 111sylanbr 582 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
146145adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
147146adantll 712 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
148133, 114sylanbr 582 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
149148adantll 712 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
150149adantll 712 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
151138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 147, 150hoiqssbllem2 45325 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))
152118, 137, 151syl2anc 584 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))
153117, 152jca 512 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
154153ex 413 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))))
155154reximdva 3168 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))))
156155reximdva 3168 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))))
15793, 156mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  Xcixp 8887  Fincfn 8935  β„cr 11105   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„šcq 12928  β„+crp 12970  (,)cioo 13320  [,)cico 13322  β™―chash 14286  βˆšcsqrt 15176  distcds 17202  ballcbl 20923  β„^crrx 24891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-field 20310  df-subrg 20353  df-staf 20445  df-srng 20446  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-cnfld 20937  df-refld 21149  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-nm 24082  df-tng 24084  df-tcph 24677  df-rrx 24893
This theorem is referenced by:  hoiqssbl  45327
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