Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoiqssbllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoiqssbllem3 46580
Description: A n-dimensional ball contains a nonempty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem3.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem3.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem3.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem3.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem3 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   𝑌,𝑐,𝑑,𝑖   𝜑,𝑐,𝑑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbllem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem3.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 qex 13001 . . . . . . . . 9 ℚ ∈ V
32inex1 5323 . . . . . . . 8 (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∈ V
43a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∈ V)
5 hoiqssbllem3.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌:𝑋⟶ℝ)
87ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
9 hoiqssbllem3.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
10 2rp 13037 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
12 hoiqssbllem3.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
13 hashnncl 14402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
141, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
1512, 14mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
16 nnrp 13044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑋) ∈ ℕ → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℝ+)
1817rpsqrtcld 15447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (√‘(♯‘𝑋)) ∈ ℝ+)
1911, 18rpmulcld 13091 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (√‘(♯‘𝑋))) ∈ ℝ+)
209, 19rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
228, 21ltsubrpd 13107 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝑌𝑖))
2321rpred 13075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))) ∈ ℝ)
248, 23resubcld 11689 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
2524, 8ltnled 11406 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) < (𝑌𝑖) ↔ ¬ (𝑌𝑖) ≤ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
2622, 25mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ¬ (𝑌𝑖) ≤ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
2724rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
288rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ*)
2927, 28qinioo 45488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) = ∅ ↔ (𝑌𝑖) ≤ ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
3026, 29mtbird 325 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ¬ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) = ∅)
3130neqned 2945 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ≠ ∅)
321, 4, 31choicefi 45143 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑐(𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))))
33 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → 𝑐 Fn 𝑋)
34 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
35 rspa 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))
36 elinel1 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝑐𝑖) ∈ ℚ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ ℚ)
3837ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → (𝑖𝑋 → (𝑐𝑖) ∈ ℚ))
3934, 38ralrimi 3255 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ)
4133, 40jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ))
43 ffnfv 7139 . . . . . . . . . . 11 (𝑐:𝑋⟶ℚ ↔ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ ℚ))
4442, 43sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → 𝑐:𝑋⟶ℚ)
452a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℚ ∈ V)
46 elmapg 8878 . . . . . . . . . . . 12 ((ℚ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:𝑋⟶ℚ))
4745, 1, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:𝑋⟶ℚ))
4847adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:𝑋⟶ℚ))
4944, 48mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → 𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋))
50 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))
5149, 50jca 511 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))))
5251ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))))
5352eximdv 1915 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑐(𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))) → ∃𝑐(𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))))
5432, 53mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑐(𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))))
55 df-rex 3069 . . . . 5 (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))))
5654, 55sylibr 234 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))))
572inex1 5323 . . . . . . . 8 (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∈ V)
598, 21ltaddrpd 13108 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → (𝑌𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
608, 23readdcld 11288 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ)
618, 60ltnled 11406 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) < ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ↔ ¬ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ≤ (𝑌𝑖)))
6259, 61mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ¬ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ≤ (𝑌𝑖))
6360rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖𝑋) → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
6428, 63qinioo 45488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝑋) → ((ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) = ∅ ↔ ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) ≤ (𝑌𝑖)))
6562, 64mtbird 325 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝑋) → ¬ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) = ∅)
6665neqned 2945 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝑋) → (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ≠ ∅)
671, 58, 66choicefi 45143 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
68 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → 𝑑 Fn 𝑋)
69 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
70 rspa 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
71 elinel1 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑑𝑖) ∈ ℚ)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ℚ)
7372ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → (𝑖𝑋 → (𝑑𝑖) ∈ ℚ))
7469, 73ralrimi 3255 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ)
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ)
7668, 75jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ))
78 ffnfv 7139 . . . . . . . . . . 11 (𝑑:𝑋⟶ℚ ↔ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ ℚ))
7977, 78sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑑:𝑋⟶ℚ)
80 elmapg 8878 . . . . . . . . . . . 12 ((ℚ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:𝑋⟶ℚ))
8145, 1, 80syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:𝑋⟶ℚ))
8281adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:𝑋⟶ℚ))
8379, 82mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋))
84 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
8583, 84jca 511 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
8685ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))))
8786eximdv 1915 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑑(𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∃𝑑(𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))))
8867, 87mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
89 df-rex 3069 . . . . 5 (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ↔ ∃𝑑(𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
9088, 89sylibr 234 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
9156, 90jca 511 . . 3 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
92 reeanv 3227 . . 3 (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ↔ (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
9391, 92sylibr 234 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
94 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑖((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋))
9534, 69nfan 1897 . . . . . . . 8 𝑖(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
9694, 95nfan 1897 . . . . . . 7 𝑖(((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
971ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑋 ∈ Fin)
9812ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑋 ≠ ∅)
995ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
100 elmapi 8888 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑐:𝑋⟶ℚ)
101 qssre 12999 . . . . . . . . . . 11 ℚ ⊆ ℝ
102101a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → ℚ ⊆ ℝ)
103100, 102fssd 6754 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
104103adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
105104ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
106 elmapi 8888 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑑:𝑋⟶ℚ)
107101a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → ℚ ⊆ ℝ)
108106, 107fssd 6754 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋) → 𝑑:𝑋⟶ℝ)
109108ad2antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑑:𝑋⟶ℝ)
1109ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
11135elin2d 4215 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
112111adantlr 715 . . . . . . . 8 (((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
113112adantll 714 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
11470elin2d 4215 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
115114adantll 714 . . . . . . . 8 (((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
116115adantll 714 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
11796, 97, 98, 99, 105, 109, 110, 113, 116hoiqssbllem1 46578 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)))
118 simpl 482 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → ((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)))
119 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝑐𝑖) = (𝑐𝑘))
120 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑘 → (𝑌𝑖) = (𝑌𝑘))
121120oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = ((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
122121, 120oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)) = (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘)))
123122ineq2d 4228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) = (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))))
124119, 123eleq12d 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ↔ (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘)))))
125124cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ↔ ∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))))
126125biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) → ∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))))
127126adantr 480 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))))
128 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝑑𝑖) = (𝑑𝑘))
129120oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))) = ((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))
130120, 129oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))) = ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
131130ineq2d 4228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) = (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
132128, 131eleq12d 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ↔ (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
133132cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ↔ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
134133biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) → ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
135134adantl 481 . . . . . . . . 9 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))
136127, 135jca 511 . . . . . . . 8 ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
137136adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
138 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑖(((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))))
1391ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑋 ∈ Fin)
14012ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑋 ≠ ∅)
1415ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
142104ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
143108ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝑑:𝑋⟶ℝ)
1449ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
145125, 111sylanbr 582 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
146145adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
147146adantll 714 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑐𝑖) ∈ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖)))
148133, 114sylanbr 582 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
149148adantll 714 . . . . . . . . 9 (((∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
150149adantll 714 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖𝑋) → (𝑑𝑖) ∈ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))
151138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 147, 150hoiqssbllem2 46579 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑘𝑋 (𝑐𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑘))) ∧ ∀𝑘𝑋 (𝑑𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑘)(,)((𝑌𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
152118, 137, 151syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
153117, 152jca 511 . . . . 5 ((((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ (∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋))))))))) → (𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
154153ex 412 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → ((∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → (𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))))
155154reximdva 3166 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)) → (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))))
156155reximdva 3166 . 2 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(∀𝑖𝑋 (𝑐𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))(,)(𝑌𝑖))) ∧ ∀𝑖𝑋 (𝑑𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌𝑖)(,)((𝑌𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(♯‘𝑋)))))))) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))))
15793, 156mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑m 𝑋)(𝑌X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ∧ X𝑖𝑋 ((𝑐𝑖)[,)(𝑑𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Xcixp 8936  Fincfn 8984  cr 11152   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  cq 12988  +crp 13032  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  chash 14366  csqrt 15269  distcds 17307  ballcbl 21369  ℝ^crrx 25431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-nm 24611  df-tng 24613  df-tcph 25217  df-rrx 25433
This theorem is referenced by:  hoiqssbl  46581
  Copyright terms: Public domain W3C validator