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Theorem hoiqssbllem3 45925
Description: A n-dimensional ball contains a nonempty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoiqssbllem3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem3.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
hoiqssbllem3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
hoiqssbllem3.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
hoiqssbllem3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   π‘Œ,𝑐,𝑑,𝑖   πœ‘,𝑐,𝑑,𝑖
Proof of Theorem hoiqssbllem3
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoiqssbllem3.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 qex 12961 . . . . . . . . 9 β„š ∈ V
32inex1 5311 . . . . . . . 8 (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∈ V
43a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∈ V)
5 hoiqssbllem3.y . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
6 elmapi 8857 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ:π‘‹βŸΆβ„)
87ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
9 hoiqssbllem3.e . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
10 2rp 12997 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
12 hoiqssbllem3.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
13 hashnncl 14343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
141, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• ↔ 𝑋 β‰  βˆ…))
1512, 14mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ β„•)
16 nnrp 13003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜π‘‹) ∈ β„• β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π‘‹) ∈ ℝ+)
1817rpsqrtcld 15376 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)) ∈ ℝ+)
1911, 18rpmulcld 13050 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))) ∈ ℝ+)
209, 19rpdivcld 13051 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ+)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ+)
228, 21ltsubrpd 13066 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) < (π‘Œβ€˜π‘–))
2321rpred 13034 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))) ∈ ℝ)
248, 23resubcld 11658 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ)
2524, 8ltnled 11377 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) < (π‘Œβ€˜π‘–) ↔ Β¬ (π‘Œβ€˜π‘–) ≀ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
2622, 25mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ (π‘Œβ€˜π‘–) ≀ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
2724rexrd 11280 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ*)
288rexrd 11280 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
2927, 28qinioo 44833 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) = βˆ… ↔ (π‘Œβ€˜π‘–) ≀ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
3026, 29mtbird 325 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) = βˆ…)
3130neqned 2942 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β‰  βˆ…)
321, 4, 31choicefi 44486 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘(𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
33 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ 𝑐 Fn 𝑋)
34 nfra1 3276 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘–βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
35 rspa 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))
36 elinel1 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
3837ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
3934, 38ralrimi 3249 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
4133, 40jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
43 ffnfv 7123 . . . . . . . . . . 11 (𝑐:π‘‹βŸΆβ„š ↔ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
4442, 43sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
452a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„š ∈ V)
46 elmapg 8847 . . . . . . . . . . . 12 ((β„š ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š))
4745, 1, 46syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š))
4847adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š))
4944, 48mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
50 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))
5149, 50jca 511 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
5251ex 412 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))))
5352eximdv 1913 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘(𝑐 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))))
5432, 53mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
55 df-rex 3066 . . . . 5 (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘(𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))))
5654, 55sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))))
572inex1 5311 . . . . . . . 8 (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∈ V)
598, 21ltaddrpd 13067 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) < ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
608, 23readdcld 11259 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ)
618, 60ltnled 11377 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) < ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ↔ Β¬ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ≀ (π‘Œβ€˜π‘–)))
6259, 61mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ≀ (π‘Œβ€˜π‘–))
6360rexrd 11280 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ∈ ℝ*)
6428, 63qinioo 44833 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ ((β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) = βˆ… ↔ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) ≀ (π‘Œβ€˜π‘–)))
6562, 64mtbird 325 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) = βˆ…)
6665neqned 2942 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β‰  βˆ…)
671, 58, 66choicefi 44486 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
68 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ 𝑑 Fn 𝑋)
69 nfra1 3276 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘–βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
70 rspa 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
71 elinel1 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7372ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ (𝑖 ∈ 𝑋 β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
7469, 73ralrimi 3249 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š)
7668, 75jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
78 ffnfv 7123 . . . . . . . . . . 11 (𝑑:π‘‹βŸΆβ„š ↔ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ β„š))
7977, 78sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
80 elmapg 8847 . . . . . . . . . . . 12 ((β„š ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š))
8145, 1, 80syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š))
8281adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ↔ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š))
8379, 82mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
84 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
8583, 84jca 511 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
8685ex 412 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))))
8786eximdv 1913 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘(𝑑 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))))
8867, 87mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
89 df-rex 3066 . . . . 5 (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
9088, 89sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
9156, 90jca 511 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
92 reeanv 3221 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ↔ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
9391, 92sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
94 nfv 1910 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋))
9534, 69nfan 1895 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
9694, 95nfan 1895 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
971ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
9812ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
995ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
100 elmapi 8857 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„š)
101 qssre 12959 . . . . . . . . . . 11 β„š βŠ† ℝ
102101a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ β„š βŠ† ℝ)
103100, 102fssd 6734 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
104103adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
105104ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
106 elmapi 8857 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„š)
107101a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ β„š βŠ† ℝ)
108106, 107fssd 6734 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„)
109108ad2antlr 726 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„)
1109ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
11135elin2d 4195 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
112111adantlr 714 . . . . . . . 8 (((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
113112adantll 713 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
11470elin2d 4195 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
115114adantll 713 . . . . . . . 8 (((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
116115adantll 713 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
11796, 97, 98, 99, 105, 109, 110, 113, 116hoiqssbllem1 45923 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)))
118 simpl 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)))
119 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜π‘˜))
120 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) = (π‘Œβ€˜π‘˜))
121120oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) = ((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
122121, 120oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘˜ β†’ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)) = (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜)))
123122ineq2d 4208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) = (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
124119, 123eleq12d 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ↔ (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜)))))
125124cbvralvw 3229 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
126125biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
127126adantr 480 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))))
128 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘˜))
129120oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))) = ((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))
130120, 129oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))) = ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
131130ineq2d 4208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = π‘˜ β†’ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) = (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
132128, 131eleq12d 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ↔ (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
133132cbvralvw 3229 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
134133biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
135134adantl 481 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))
136127, 135jca 511 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
137136adantl 481 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
138 nfv 1910 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑖(((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))))
1391ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
14012ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1415ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
142104ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑐:π‘‹βŸΆβ„)
143108ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝑑:π‘‹βŸΆβ„)
1449ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
145125, 111sylanbr 581 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
146145adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
147146adantll 713 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–)))
148133, 114sylanbr 581 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
149148adantll 713 . . . . . . . . 9 (((βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
150149adantll 713 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‘β€˜π‘–) ∈ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))
151138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 147, 150hoiqssbllem2 45924 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘˜) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘˜))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘˜)(,)((π‘Œβ€˜π‘˜) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))
152118, 137, 151syl2anc 583 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))
153117, 152jca 511 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ (βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹))))))))) β†’ (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
154153ex 412 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ (π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))))
155154reximdva 3163 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (β„š ↑m 𝑋)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))))
156155reximdva 3163 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ (((π‘Œβ€˜π‘–) βˆ’ (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))(,)(π‘Œβ€˜π‘–))) ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑋 (π‘‘β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘Œβ€˜π‘–)(,)((π‘Œβ€˜π‘–) + (𝐸 / (2 Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜π‘‹)))))))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸))))
15793, 156mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)βˆƒπ‘‘ ∈ (β„š ↑m 𝑋)(π‘Œ ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((π‘β€˜π‘–)[,)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (π‘Œ(ballβ€˜(distβ€˜(ℝ^β€˜π‘‹)))𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8834  Xcixp 8905  Fincfn 8953  β„cr 11123   + caddc 11127   Β· cmul 11129   < clt 11264   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  β„•cn 12228  2c2 12283  β„šcq 12948  β„+crp 12992  (,)cioo 13342  [,)cico 13344  β™―chash 14307  βˆšcsqrt 15198  distcds 17227  ballcbl 21246  β„^crrx 25285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xadd 13111  df-ioo 13346  df-ico 13348  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-rhm 20393  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-drng 20608  df-field 20609  df-staf 20707  df-srng 20708  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-cnfld 21260  df-refld 21517  df-dsmm 21646  df-frlm 21661  df-nm 24465  df-tng 24467  df-tcph 25071  df-rrx 25287
This theorem is referenced by:  hoiqssbl  45926
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