cos9thpiminplylem2 - Mathbox for Thierry Arnoux

	Mathbox for Thierry Arnoux		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > cos9thpiminplylem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem cos9thpiminplylem2 33756

Description: The polynomial ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) has no rational roots. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
cos9thpiminplylem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℚ)

**Assertion**
Ref	Expression
cos9thpiminplylem2	⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)

Proof of Theorem cos9thpiminplylem2 Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → 𝑋 = 0)
2	1	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑3) = (0↑3))
3		3nn 12207	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → 3 ∈ ℕ)
5	4	0expd 14046	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → (0↑3) = 0)
6	2, 5	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑3) = 0)
7	6	oveq1d 7364	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = (0 + ((-3 · 𝑋) + 1)))
8	1	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → (-3 · 𝑋) = (-3 · 0))
9		3cn 12209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
10	9	negcli 11432	. . . . . . . . . 10 ⊢ -3 ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → -3 ∈ ℂ)
12	11	mul01d 11315	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → (-3 · 0) = 0)
13	8, 12	eqtr2d 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → 0 = (-3 · 𝑋))
14	13	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → (0 + 1) = ((-3 · 𝑋) + 1))
15		0p1e1 12245	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
16	14, 15	eqtr3di 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → ((-3 · 𝑋) + 1) = 1)
17	13, 16	oveq12d 7367	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → (0 + ((-3 · 𝑋) + 1)) = ((-3 · 𝑋) + 1))
18	7, 17, 16	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 1)
19		ax-1ne0 11078	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → 1 ≠ 0)
21	18, 20	eqnetrd 2992	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑋 = (𝑝 / 𝑞))
23		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑝 ∈ ℂ)
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℕ)
27	26	nncnd 12144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℂ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℂ)
29	26	nnne0d 12178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ≠ 0)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑞 ≠ 0)
31	25, 28, 30	divcld 11900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
32	22, 31	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑋 ∈ ℂ)
33	32	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑋 ∈ ℂ)
34		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑋 ≠ 0)
35	33, 34	reccld 11893	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 / 𝑋) ∈ ℂ)
36		3nn0 12402	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
37	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 3 ∈ ℕ₀)
38	35, 37	expcld 14053	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((1 / 𝑋)↑3) ∈ ℂ)
39	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → -3 ∈ ℂ)
40	35	sqcld 14051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((1 / 𝑋)↑2) ∈ ℂ)
41	39, 40	mulcld 11135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) ∈ ℂ)
42		1cnd 11110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 1 ∈ ℂ)
43	41, 42	addcld 11134	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1) ∈ ℂ)
44	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → 3 ∈ ℕ₀)
45	32, 44	expcld 14053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
46	45	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
47	38, 43, 46	adddird 11140	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((((1 / 𝑋)↑3) + ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1)) · (𝑋↑3)) = ((((1 / 𝑋)↑3) · (𝑋↑3)) + (((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1) · (𝑋↑3))))
48		3z 12508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℤ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 3 ∈ ℤ)
50	33, 34, 49	exprecd 14061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((1 / 𝑋)↑3) = (1 / (𝑋↑3)))
51	50	oveq1d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((1 / 𝑋)↑3) · (𝑋↑3)) = ((1 / (𝑋↑3)) · (𝑋↑3)))
52	33, 34, 49	expne0d 14059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑋↑3) ≠ 0)
53	46, 52	recid2d 11896	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((1 / (𝑋↑3)) · (𝑋↑3)) = 1)
54	51, 53	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((1 / 𝑋)↑3) · (𝑋↑3)) = 1)
55		2z 12507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 2 ∈ ℤ)
57	33, 34, 56	exprecd 14061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((1 / 𝑋)↑2) = (1 / (𝑋↑2)))
58	57	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3)) = ((1 / (𝑋↑2)) · (𝑋↑3)))
59	33	sqcld 14051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
60	33, 34, 56	expne0d 14059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑋↑2) ≠ 0)
61	46, 59, 60	divrec2d 11904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((𝑋↑3) / (𝑋↑2)) = ((1 / (𝑋↑2)) · (𝑋↑3)))
62		2cnd 12206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 2 ∈ ℂ)
63		2p1e3 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 + 1) = 3
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (2 + 1) = 3)
65	64	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 3 = (2 + 1))
66	62, 42, 65	mvrladdd 11533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (3 − 2) = 1)
67	66	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑋↑(3 − 2)) = (𝑋↑1))
68	33, 34, 56, 49	expsubd 14064	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑋↑(3 − 2)) = ((𝑋↑3) / (𝑋↑2)))
69	33	exp1d 14048	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑋↑1) = 𝑋)
70	67, 68, 69	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((𝑋↑3) / (𝑋↑2)) = 𝑋)
71	58, 61, 70	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3)) = 𝑋)
72	71	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (3 · (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3))) = (3 · 𝑋))
73	72	negeqd 11357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → -(3 · (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3))) = -(3 · 𝑋))
74	39, 40, 46	mulassd 11138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) · (𝑋↑3)) = (-3 · (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3))))
75	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 3 ∈ ℂ)
76	40, 46	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3)) ∈ ℂ)
77	75, 76	mulneg1d 11573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (-3 · (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3))) = -(3 · (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3))))
78	74, 77	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) · (𝑋↑3)) = -(3 · (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3))))
79	75, 33	mulneg1d 11573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (-3 · 𝑋) = -(3 · 𝑋))
80	73, 78, 79	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) · (𝑋↑3)) = (-3 · 𝑋))
81	46	mullidd 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 · (𝑋↑3)) = (𝑋↑3))
82	80, 81	oveq12d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) · (𝑋↑3)) + (1 · (𝑋↑3))) = ((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3)))
83	41, 46, 42, 82	joinlmuladdmuld 11142	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1) · (𝑋↑3)) = ((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3)))
84	54, 83	oveq12d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((((1 / 𝑋)↑3) · (𝑋↑3)) + (((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1) · (𝑋↑3))) = (1 + ((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3))))
85	39, 33	mulcld 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (-3 · 𝑋) ∈ ℂ)
86	85, 46	addcld 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3)) ∈ ℂ)
87	42, 86	addcomd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 + ((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3))) = (((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3)) + 1))
88	85, 46	addcomd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3)) = ((𝑋↑3) + (-3 · 𝑋)))
89	88	oveq1d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3)) + 1) = (((𝑋↑3) + (-3 · 𝑋)) + 1))
90	46, 85, 42	addassd 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((𝑋↑3) + (-3 · 𝑋)) + 1) = ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)))
91	87, 89, 90	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 + ((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3))) = ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)))
92	47, 84, 91	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((((1 / 𝑋)↑3) + ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1)) · (𝑋↑3)) = ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)))
93	38, 43	addcld 11134	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((1 / 𝑋)↑3) + ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1)) ∈ ℂ)
94		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 = (𝑝 / 𝑞))
95	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑋 = (𝑝 / 𝑞))
96	95	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 / 𝑋) = (1 / (𝑝 / 𝑞)))
97		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑝 ∈ ℤ)
98	97	zcnd 12581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑝 ∈ ℂ)
99		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑞 ∈ ℕ)
100	99	nncnd 12144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑞 ∈ ℂ)
101		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
102	94, 101	eqnetrrd 2993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑝 / 𝑞) ≠ 0)
103	24	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑝 ∈ ℂ)
104	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑞 ∈ ℂ)
105	29	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0)
106	103, 104, 105	divne0bd 11912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑝 ≠ 0 ↔ (𝑝 / 𝑞) ≠ 0))
107	102, 106	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑝 ≠ 0)
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑝 ≠ 0)
109	99	nnne0d 12178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑞 ≠ 0)
110	98, 100, 108, 109	recdivd 11917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 / (𝑝 / 𝑞)) = (𝑞 / 𝑝))
111	100, 98, 108	divrecd 11903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑞 / 𝑝) = (𝑞 · (1 / 𝑝)))
112	98	div1d 11892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑝 / 1) = 𝑝)
113		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (abs‘𝑝) = 1)
114	113	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑝 / (abs‘𝑝)) = (𝑝 / 1))
115	23	zred 12580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ)
116	115	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑝 ∈ ℝ)
117	116, 107	receqid 32689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / 𝑝) = 𝑝 ↔ (abs‘𝑝) = 1))
118	117	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 / 𝑝) = 𝑝)
119	112, 114, 118	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑝 / (abs‘𝑝)) = (1 / 𝑝))
120	119	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑞 · (𝑝 / (abs‘𝑝))) = (𝑞 · (1 / 𝑝)))
121	111, 120	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑞 / 𝑝) = (𝑞 · (𝑝 / (abs‘𝑝))))
122	96, 110, 121	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 / 𝑋) = (𝑞 · (𝑝 / (abs‘𝑝))))
123	97	zred 12580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑝 ∈ ℝ)
124		sgnval2 32679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ≠ 0) → (sgn‘𝑝) = (𝑝 / (abs‘𝑝)))
125	123, 108, 124	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (sgn‘𝑝) = (𝑝 / (abs‘𝑝)))
126	125	oveq2d 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑞 · (sgn‘𝑝)) = (𝑞 · (𝑝 / (abs‘𝑝))))
127	122, 126	eqtr4d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 / 𝑋) = (𝑞 · (sgn‘𝑝)))
128	99	nnzd 12498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑞 ∈ ℤ)
129		neg1z 12511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ∈ ℤ
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → -1 ∈ ℤ)
131		0zd 12483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 0 ∈ ℤ)
132		1zzd 12506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 1 ∈ ℤ)
133	130, 131, 132	tpssd 32482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → {-1, 0, 1} ⊆ ℤ)
134	123	rexrd 11165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑝 ∈ ℝ^*)
135		sgncl 32777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℝ^* → (sgn‘𝑝) ∈ {-1, 0, 1})
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (sgn‘𝑝) ∈ {-1, 0, 1})
137	133, 136	sseldd 3936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (sgn‘𝑝) ∈ ℤ)
138	128, 137	zmulcld 12586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑞 · (sgn‘𝑝)) ∈ ℤ)
139	127, 138	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 / 𝑋) ∈ ℤ)
140	139	cos9thpiminplylem1 33755	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((1 / 𝑋)↑3) + ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1)) ≠ 0)
141	93, 46, 140, 52	mulne0d 11772	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((((1 / 𝑋)↑3) + ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1)) · (𝑋↑3)) ≠ 0)
142	92, 141	eqnetrrd 2993	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)
143		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) → 𝑟 ∈ ℙ)
144		1nprm 16590	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
145	144	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) → ¬ 1 ∈ ℙ)
146		nelne2 3023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ ¬ 1 ∈ ℙ) → 𝑟 ≠ 1)
147	143, 145, 146	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) → 𝑟 ≠ 1)
148		prmnn 16585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℕ)
149	148	ad3antlr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∈ ℕ)
150	149	nnnn0d 12445	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∈ ℕ₀)
151	149	nnzd 12498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∈ ℤ)
152		simp-5r 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑝 ∈ ℤ)
153	152	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑝 ∈ ℤ)
154		simp-8r 791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑞 ∈ ℕ)
155	154	nnzd 12498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑞 ∈ ℤ)
156		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∥ (abs‘𝑝))
157		dvdsabsb 16186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑟 ∥ 𝑝 ↔ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)))
158	157	biimpar 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) → 𝑟 ∥ 𝑝)
159	151, 153, 156, 158	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∥ 𝑝)
160		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∈ ℙ)
161	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 3 ∈ ℕ)
162	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 3 ∈ ℤ)
163	154	nnnn0d 12445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑞 ∈ ℕ₀)
164		nn0sqcl 13996	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ₀ → (𝑞↑2) ∈ ℕ₀)
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑2) ∈ ℕ₀)
166	165	nn0zd 12497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑2) ∈ ℤ)
167	162, 166	zmulcld 12586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (3 · (𝑞↑2)) ∈ ℤ)
168		zsqcl 14036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
169	153, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
170	167, 169	zsubcld 12585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2)) ∈ ℤ)
171	151, 153, 170, 159	dvdsmultr1d 16208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∥ (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2))))
172	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑞 ∈ ℂ)
173	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 3 ∈ ℕ₀)
174	172, 173	expcld 14053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑3) ∈ ℂ)
175	103	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑝 ∈ ℂ)
176	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 3 ∈ ℂ)
177	172	sqcld 14051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑2) ∈ ℂ)
178	176, 177	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (3 · (𝑞↑2)) ∈ ℂ)
179	175	sqcld 14051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝↑2) ∈ ℂ)
180	178, 179	subcld 11475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2)) ∈ ℂ)
181	175, 180	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2))) ∈ ℂ)
182	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑋 = (𝑝 / 𝑞))
183	182	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑋↑3) = ((𝑝 / 𝑞)↑3))
184	183	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑋↑3) · (𝑞↑3)) = (((𝑝 / 𝑞)↑3) · (𝑞↑3)))
185	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑞 ≠ 0)
186	175, 172, 185, 173	expdivd 14067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑝 / 𝑞)↑3) = ((𝑝↑3) / (𝑞↑3)))
187	186	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((𝑝 / 𝑞)↑3) · (𝑞↑3)) = (((𝑝↑3) / (𝑞↑3)) · (𝑞↑3)))
188	175, 173	expcld 14053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝↑3) ∈ ℂ)
189	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 3 ∈ ℤ)
190	172, 185, 189	expne0d 14059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑3) ≠ 0)
191	188, 174, 190	divcan1d 11901	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((𝑝↑3) / (𝑞↑3)) · (𝑞↑3)) = (𝑝↑3))
192	184, 187, 191	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑋↑3) · (𝑞↑3)) = (𝑝↑3))
193	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → -3 ∈ ℂ)
194	32	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
195	193, 194	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (-3 · 𝑋) ∈ ℂ)
196		1cnd 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
197	193, 194, 174	mulassd 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((-3 · 𝑋) · (𝑞↑3)) = (-3 · (𝑋 · (𝑞↑3))))
198	182	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑋 · (𝑞↑3)) = ((𝑝 / 𝑞) · (𝑞↑3)))
199	175, 172, 174, 185	div32d 11923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑝 / 𝑞) · (𝑞↑3)) = (𝑝 · ((𝑞↑3) / 𝑞)))
200		1zzd 12506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 1 ∈ ℤ)
201	172, 185, 200, 189	expsubd 14064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑(3 − 1)) = ((𝑞↑3) / (𝑞↑1)))
202		3m1e2 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (3 − 1) = 2
203	202	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (3 − 1) = 2)
204	203	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑(3 − 1)) = (𝑞↑2))
205	172	exp1d 14048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑1) = 𝑞)
206	205	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) / (𝑞↑1)) = ((𝑞↑3) / 𝑞))
207	201, 204, 206	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) / 𝑞) = (𝑞↑2))
208	207	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · ((𝑞↑3) / 𝑞)) = (𝑝 · (𝑞↑2)))
209	198, 199, 208	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑋 · (𝑞↑3)) = (𝑝 · (𝑞↑2)))
210	209	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (-3 · (𝑋 · (𝑞↑3))) = (-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))))
211	197, 210	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((-3 · 𝑋) · (𝑞↑3)) = (-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))))
212	174	mullidd 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (1 · (𝑞↑3)) = (𝑞↑3))
213	211, 212	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((-3 · 𝑋) · (𝑞↑3)) + (1 · (𝑞↑3))) = ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)))
214	195, 174, 196, 213	joinlmuladdmuld 11142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((-3 · 𝑋) + 1) · (𝑞↑3)) = ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)))
215	192, 214	oveq12d 7367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((𝑋↑3) · (𝑞↑3)) + (((-3 · 𝑋) + 1) · (𝑞↑3))) = ((𝑝↑3) + ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3))))
216	45	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
217	195, 196	addcld 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((-3 · 𝑋) + 1) ∈ ℂ)
218	216, 217, 174	adddird 11140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) · (𝑞↑3)) = (((𝑋↑3) · (𝑞↑3)) + (((-3 · 𝑋) + 1) · (𝑞↑3))))
219	175, 178, 179	subdid 11576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2))) = ((𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) − (𝑝 · (𝑝↑2))))
220		2nn0 12401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
221	220	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 2 ∈ ℕ₀)
222		1nn0 12400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
223	222	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 1 ∈ ℕ₀)
224	175, 221, 223	expaddd 14055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝↑(1 + 2)) = ((𝑝↑1) · (𝑝↑2)))
225		1p2e3 12266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 + 2) = 3
226	225	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (1 + 2) = 3)
227	226	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝↑(1 + 2)) = (𝑝↑3))
228	175	exp1d 14048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝↑1) = 𝑝)
229	228	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑝↑1) · (𝑝↑2)) = (𝑝 · (𝑝↑2)))
230	224, 227, 229	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · (𝑝↑2)) = (𝑝↑3))
231	230	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) − (𝑝 · (𝑝↑2))) = ((𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) − (𝑝↑3)))
232	219, 231	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2))) = ((𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) − (𝑝↑3)))
233	232	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2)))) = ((𝑞↑3) − ((𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) − (𝑝↑3))))
234	175, 178	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) ∈ ℂ)
235	174, 234, 188	subsub2d 11504	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − ((𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) − (𝑝↑3))) = ((𝑞↑3) + ((𝑝↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2))))))
236	174, 188, 234	addsub12d 11498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) + ((𝑝↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2))))) = ((𝑝↑3) + ((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2))))))
237	174, 234	subcld 11475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2)))) ∈ ℂ)
238	188, 237	addcomd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑝↑3) + ((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2))))) = (((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2)))) + (𝑝↑3)))
239	234	negcld 11462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → -(𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) ∈ ℂ)
240	174, 239	addcomd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) + -(𝑝 · (3 · (𝑞↑2)))) = (-(𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)))
241	174, 234	negsubd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) + -(𝑝 · (3 · (𝑞↑2)))) = ((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2)))))
242	175, 176, 177	mul12d 11325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) = (3 · (𝑝 · (𝑞↑2))))
243	242	negeqd 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → -(𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) = -(3 · (𝑝 · (𝑞↑2))))
244	175, 177	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · (𝑞↑2)) ∈ ℂ)
245	176, 244	mulneg1d 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) = -(3 · (𝑝 · (𝑞↑2))))
246	243, 245	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → -(𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) = (-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))))
247	246	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (-(𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)) = ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)))
248	240, 241, 247	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2)))) = ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)))
249	248	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2)))) + (𝑝↑3)) = (((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)) + (𝑝↑3)))
250	238, 249	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑝↑3) + ((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2))))) = (((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)) + (𝑝↑3)))
251	235, 236, 250	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − ((𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) − (𝑝↑3))) = (((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)) + (𝑝↑3)))
252	193, 244	mulcld 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) ∈ ℂ)
253	252, 174	addcld 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)) ∈ ℂ)
254	253, 188	addcomd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)) + (𝑝↑3)) = ((𝑝↑3) + ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3))))
255	233, 251, 254	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2)))) = ((𝑝↑3) + ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3))))
256	215, 218, 255	3eqtr4rd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2)))) = (((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) · (𝑞↑3)))
257		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0)
258	257	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) · (𝑞↑3)) = (0 · (𝑞↑3)))
259	174	mul02d 11314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (0 · (𝑞↑3)) = 0)
260	256, 258, 259	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2)))) = 0)
261	174, 181, 260	subeq0d 11483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑3) = (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2))))
262	261	ad5ant15 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑3) = (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2))))
263	171, 262	breqtrrd 5120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∥ (𝑞↑3))
264		prmdvdsexp 16626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ) → (𝑟 ∥ (𝑞↑3) ↔ 𝑟 ∥ 𝑞))
265	264	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∥ (𝑞↑3)) → 𝑟 ∥ 𝑞)
266	160, 155, 161, 263, 265	syl31anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∥ 𝑞)
267		dvdsgcd 16455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑟 ∥ 𝑝 ∧ 𝑟 ∥ 𝑞) → 𝑟 ∥ (𝑝 gcd 𝑞)))
268	267	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∥ 𝑝 ∧ 𝑟 ∥ 𝑞)) → 𝑟 ∥ (𝑝 gcd 𝑞))
269	151, 153, 155, 159, 266, 268	syl32anc 1380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∥ (𝑝 gcd 𝑞))
270		simp-6r 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 gcd 𝑞) = 1)
271	269, 270	breqtrd 5118	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∥ 1)
272		dvds1 16230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ₀ → (𝑟 ∥ 1 ↔ 𝑟 = 1))
273	272	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑟 ∥ 1) → 𝑟 = 1)
274	150, 271, 273	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 = 1)
275	147, 274	mteqand 3016	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)
276		nnabscl 15233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ≠ 0) → (abs‘𝑝) ∈ ℕ)
277	152, 107, 276	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑝) ∈ ℕ)
278		eluz2b3 12823	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑝) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ ((abs‘𝑝) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1))
279		exprmfct 16615	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑝) ∈ (ℤ_≥‘2) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝))
280	278, 279	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑝) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝))
281	277, 280	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝))
282	275, 281	r19.29a 3137	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)
283	142, 282	pm2.61dane 3012	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)
284	21, 283	pm2.61dane 3012	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)
285	284	anasss 466	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 = (𝑝 / 𝑞) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1)) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)
286		cos9thpiminplylem2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℚ)
287		elq2 32757	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℚ → ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ (𝑋 = (𝑝 / 𝑞) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1))
288	286, 287	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ (𝑋 = (𝑝 / 𝑞) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1))
289	285, 288	r19.29vva 3189	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∃wrex 3053 {ctp 4581 class class class wbr 5092 ‘cfv 6482 (class class class)co 7349 ℂcc 11007 ℝcr 11008 0cc0 11009 1c1 11010 + caddc 11012 · cmul 11014 ℝ^*cxr 11148 − cmin 11347 -cneg 11348 / cdiv 11777 ℕcn 12128 2c2 12183 3c3 12184 ℕ₀cn0 12384 ℤcz 12471 ℤ_≥cuz 12735 ℚcq 12849 ↑cexp 13968 sgncsgn 14993 abscabs 15141 ∥ cdvds 16163 gcd cgcd 16405 ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5235 ax-nul 5245 ax-pow 5304 ax-pr 5371 ax-un 7671 ax-cnex 11065 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086 ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3395 df-v 3438 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4285 df-if 4477 df-pw 4553 df-sn 4578 df-pr 4580 df-tp 4582 df-op 4584 df-uni 4859 df-iun 4943 df-br 5093 df-opab 5155 df-mpt 5174 df-tr 5200 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6249 df-ord 6310 df-on 6311 df-lim 6312 df-suc 6313 df-iota 6438 df-fun 6484 df-fn 6485 df-f 6486 df-f1 6487 df-fo 6488 df-f1o 6489 df-fv 6490 df-riota 7306 df-ov 7352 df-oprab 7353 df-mpo 7354 df-om 7800 df-1st 7924 df-2nd 7925 df-frecs 8214 df-wrecs 8245 df-recs 8294 df-rdg 8332 df-1o 8388 df-2o 8389 df-er 8625 df-en 8873 df-dom 8874 df-sdom 8875 df-fin 8876 df-sup 9332 df-inf 9333 df-pnf 11151 df-mnf 11152 df-xr 11153 df-ltxr 11154 df-le 11155 df-sub 11349 df-neg 11350 df-div 11778 df-nn 12129 df-2 12191 df-3 12192 df-4 12193 df-5 12194 df-6 12195 df-7 12196 df-8 12197 df-9 12198 df-n0 12385 df-z 12472 df-dec 12592 df-uz 12736 df-q 12850 df-rp 12894 df-fz 13411 df-fzo 13558 df-fl 13696 df-mod 13774 df-seq 13909 df-exp 13969 df-sgn 14994 df-cj 15006 df-re 15007 df-im 15008 df-sqrt 15142 df-abs 15143 df-dvds 16164 df-gcd 16406 df-prm 16583

This theorem is referenced by: cos9thpiminply 33761

W3C validator