cos9thpiminplylem2 - Mathbox for Thierry Arnoux

	Mathbox for Thierry Arnoux		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > cos9thpiminplylem2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem cos9thpiminplylem2 33773

Description: The polynomial ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) has no rational roots. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2025.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
cos9thpiminplylem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℚ)

**Assertion**
Ref	Expression
cos9thpiminplylem2	⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)

Proof of Theorem cos9thpiminplylem2 Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → 𝑋 = 0)
2	1	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑3) = (0↑3))
3		3nn 12265	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → 3 ∈ ℕ)
5	4	0expd 14104	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → (0↑3) = 0)
6	2, 5	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋↑3) = 0)
7	6	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = (0 + ((-3 · 𝑋) + 1)))
8	1	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → (-3 · 𝑋) = (-3 · 0))
9		3cn 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
10	9	negcli 11490	. . . . . . . . . 10 ⊢ -3 ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → -3 ∈ ℂ)
12	11	mul01d 11373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → (-3 · 0) = 0)
13	8, 12	eqtr2d 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → 0 = (-3 · 𝑋))
14	13	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → (0 + 1) = ((-3 · 𝑋) + 1))
15		0p1e1 12303	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
16	14, 15	eqtr3di 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → ((-3 · 𝑋) + 1) = 1)
17	13, 16	oveq12d 7405	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → (0 + ((-3 · 𝑋) + 1)) = ((-3 · 𝑋) + 1))
18	7, 17, 16	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 1)
19		ax-1ne0 11137	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → 1 ≠ 0)
21	18, 20	eqnetrd 2992	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑋 = (𝑝 / 𝑞))
23		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑝 ∈ ℂ)
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℕ)
27	26	nncnd 12202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℂ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℂ)
29	26	nnne0d 12236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑞 ≠ 0)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑞 ≠ 0)
31	25, 28, 30	divcld 11958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
32	22, 31	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → 𝑋 ∈ ℂ)
33	32	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑋 ∈ ℂ)
34		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑋 ≠ 0)
35	33, 34	reccld 11951	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 / 𝑋) ∈ ℂ)
36		3nn0 12460	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
37	36	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 3 ∈ ℕ₀)
38	35, 37	expcld 14111	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((1 / 𝑋)↑3) ∈ ℂ)
39	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → -3 ∈ ℂ)
40	35	sqcld 14109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((1 / 𝑋)↑2) ∈ ℂ)
41	39, 40	mulcld 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) ∈ ℂ)
42		1cnd 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 1 ∈ ℂ)
43	41, 42	addcld 11193	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1) ∈ ℂ)
44	36	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → 3 ∈ ℕ₀)
45	32, 44	expcld 14111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
46	45	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
47	38, 43, 46	adddird 11199	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((((1 / 𝑋)↑3) + ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1)) · (𝑋↑3)) = ((((1 / 𝑋)↑3) · (𝑋↑3)) + (((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1) · (𝑋↑3))))
48		3z 12566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℤ
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 3 ∈ ℤ)
50	33, 34, 49	exprecd 14119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((1 / 𝑋)↑3) = (1 / (𝑋↑3)))
51	50	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((1 / 𝑋)↑3) · (𝑋↑3)) = ((1 / (𝑋↑3)) · (𝑋↑3)))
52	33, 34, 49	expne0d 14117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑋↑3) ≠ 0)
53	46, 52	recid2d 11954	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((1 / (𝑋↑3)) · (𝑋↑3)) = 1)
54	51, 53	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((1 / 𝑋)↑3) · (𝑋↑3)) = 1)
55		2z 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 2 ∈ ℤ)
57	33, 34, 56	exprecd 14119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((1 / 𝑋)↑2) = (1 / (𝑋↑2)))
58	57	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3)) = ((1 / (𝑋↑2)) · (𝑋↑3)))
59	33	sqcld 14109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
60	33, 34, 56	expne0d 14117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑋↑2) ≠ 0)
61	46, 59, 60	divrec2d 11962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((𝑋↑3) / (𝑋↑2)) = ((1 / (𝑋↑2)) · (𝑋↑3)))
62		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 2 ∈ ℂ)
63		2p1e3 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 + 1) = 3
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (2 + 1) = 3)
65	64	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 3 = (2 + 1))
66	62, 42, 65	mvrladdd 11591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (3 − 2) = 1)
67	66	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑋↑(3 − 2)) = (𝑋↑1))
68	33, 34, 56, 49	expsubd 14122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑋↑(3 − 2)) = ((𝑋↑3) / (𝑋↑2)))
69	33	exp1d 14106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑋↑1) = 𝑋)
70	67, 68, 69	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((𝑋↑3) / (𝑋↑2)) = 𝑋)
71	58, 61, 70	3eqtr2d 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3)) = 𝑋)
72	71	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (3 · (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3))) = (3 · 𝑋))
73	72	negeqd 11415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → -(3 · (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3))) = -(3 · 𝑋))
74	39, 40, 46	mulassd 11197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) · (𝑋↑3)) = (-3 · (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3))))
75	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 3 ∈ ℂ)
76	40, 46	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3)) ∈ ℂ)
77	75, 76	mulneg1d 11631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (-3 · (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3))) = -(3 · (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3))))
78	74, 77	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) · (𝑋↑3)) = -(3 · (((1 / 𝑋)↑2) · (𝑋↑3))))
79	75, 33	mulneg1d 11631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (-3 · 𝑋) = -(3 · 𝑋))
80	73, 78, 79	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) · (𝑋↑3)) = (-3 · 𝑋))
81	46	mullidd 11192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 · (𝑋↑3)) = (𝑋↑3))
82	80, 81	oveq12d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) · (𝑋↑3)) + (1 · (𝑋↑3))) = ((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3)))
83	41, 46, 42, 82	joinlmuladdmuld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1) · (𝑋↑3)) = ((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3)))
84	54, 83	oveq12d 7405	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((((1 / 𝑋)↑3) · (𝑋↑3)) + (((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1) · (𝑋↑3))) = (1 + ((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3))))
85	39, 33	mulcld 11194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (-3 · 𝑋) ∈ ℂ)
86	85, 46	addcld 11193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3)) ∈ ℂ)
87	42, 86	addcomd 11376	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 + ((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3))) = (((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3)) + 1))
88	85, 46	addcomd 11376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3)) = ((𝑋↑3) + (-3 · 𝑋)))
89	88	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3)) + 1) = (((𝑋↑3) + (-3 · 𝑋)) + 1))
90	46, 85, 42	addassd 11196	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((𝑋↑3) + (-3 · 𝑋)) + 1) = ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)))
91	87, 89, 90	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 + ((-3 · 𝑋) + (𝑋↑3))) = ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)))
92	47, 84, 91	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((((1 / 𝑋)↑3) + ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1)) · (𝑋↑3)) = ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)))
93	38, 43	addcld 11193	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((1 / 𝑋)↑3) + ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1)) ∈ ℂ)
94		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 = (𝑝 / 𝑞))
95	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑋 = (𝑝 / 𝑞))
96	95	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 / 𝑋) = (1 / (𝑝 / 𝑞)))
97		simp-6r 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑝 ∈ ℤ)
98	97	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑝 ∈ ℂ)
99		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑞 ∈ ℕ)
100	99	nncnd 12202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑞 ∈ ℂ)
101		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
102	94, 101	eqnetrrd 2993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑝 / 𝑞) ≠ 0)
103	24	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑝 ∈ ℂ)
104	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑞 ∈ ℂ)
105	29	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑞 ≠ 0)
106	103, 104, 105	divne0bd 11970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑝 ≠ 0 ↔ (𝑝 / 𝑞) ≠ 0))
107	102, 106	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑝 ≠ 0)
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑝 ≠ 0)
109	99	nnne0d 12236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑞 ≠ 0)
110	98, 100, 108, 109	recdivd 11975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 / (𝑝 / 𝑞)) = (𝑞 / 𝑝))
111	100, 98, 108	divrecd 11961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑞 / 𝑝) = (𝑞 · (1 / 𝑝)))
112	98	div1d 11950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑝 / 1) = 𝑝)
113		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (abs‘𝑝) = 1)
114	113	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑝 / (abs‘𝑝)) = (𝑝 / 1))
115	23	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ)
116	115	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑝 ∈ ℝ)
117	116, 107	receqid 32668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / 𝑝) = 𝑝 ↔ (abs‘𝑝) = 1))
118	117	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 / 𝑝) = 𝑝)
119	112, 114, 118	3eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑝 / (abs‘𝑝)) = (1 / 𝑝))
120	119	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑞 · (𝑝 / (abs‘𝑝))) = (𝑞 · (1 / 𝑝)))
121	111, 120	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑞 / 𝑝) = (𝑞 · (𝑝 / (abs‘𝑝))))
122	96, 110, 121	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 / 𝑋) = (𝑞 · (𝑝 / (abs‘𝑝))))
123	97	zred 12638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑝 ∈ ℝ)
124		sgnval2 32658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ≠ 0) → (sgn‘𝑝) = (𝑝 / (abs‘𝑝)))
125	123, 108, 124	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (sgn‘𝑝) = (𝑝 / (abs‘𝑝)))
126	125	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑞 · (sgn‘𝑝)) = (𝑞 · (𝑝 / (abs‘𝑝))))
127	122, 126	eqtr4d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 / 𝑋) = (𝑞 · (sgn‘𝑝)))
128	99	nnzd 12556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑞 ∈ ℤ)
129		neg1z 12569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ∈ ℤ
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → -1 ∈ ℤ)
131		0zd 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 0 ∈ ℤ)
132		1zzd 12564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 1 ∈ ℤ)
133	130, 131, 132	tpssd 32467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → {-1, 0, 1} ⊆ ℤ)
134	123	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → 𝑝 ∈ ℝ^*)
135		sgncl 32756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℝ^* → (sgn‘𝑝) ∈ {-1, 0, 1})
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (sgn‘𝑝) ∈ {-1, 0, 1})
137	133, 136	sseldd 3947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (sgn‘𝑝) ∈ ℤ)
138	128, 137	zmulcld 12644	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (𝑞 · (sgn‘𝑝)) ∈ ℤ)
139	127, 138	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (1 / 𝑋) ∈ ℤ)
140	139	cos9thpiminplylem1 33772	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → (((1 / 𝑋)↑3) + ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1)) ≠ 0)
141	93, 46, 140, 52	mulne0d 11830	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((((1 / 𝑋)↑3) + ((-3 · ((1 / 𝑋)↑2)) + 1)) · (𝑋↑3)) ≠ 0)
142	92, 141	eqnetrrd 2993	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) = 1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)
143		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) → 𝑟 ∈ ℙ)
144		1nprm 16649	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
145	144	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) → ¬ 1 ∈ ℙ)
146		nelne2 3023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ ¬ 1 ∈ ℙ) → 𝑟 ≠ 1)
147	143, 145, 146	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) → 𝑟 ≠ 1)
148		prmnn 16644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℕ)
149	148	ad3antlr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∈ ℕ)
150	149	nnnn0d 12503	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∈ ℕ₀)
151	149	nnzd 12556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∈ ℤ)
152		simp-5r 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑝 ∈ ℤ)
153	152	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑝 ∈ ℤ)
154		simp-8r 791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑞 ∈ ℕ)
155	154	nnzd 12556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑞 ∈ ℤ)
156		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∥ (abs‘𝑝))
157		dvdsabsb 16245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑟 ∥ 𝑝 ↔ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)))
158	157	biimpar 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) → 𝑟 ∥ 𝑝)
159	151, 153, 156, 158	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∥ 𝑝)
160		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∈ ℙ)
161	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 3 ∈ ℕ)
162	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 3 ∈ ℤ)
163	154	nnnn0d 12503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑞 ∈ ℕ₀)
164		nn0sqcl 14054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ₀ → (𝑞↑2) ∈ ℕ₀)
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑2) ∈ ℕ₀)
166	165	nn0zd 12555	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑2) ∈ ℤ)
167	162, 166	zmulcld 12644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (3 · (𝑞↑2)) ∈ ℤ)
168		zsqcl 14094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
169	153, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝↑2) ∈ ℤ)
170	167, 169	zsubcld 12643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2)) ∈ ℤ)
171	151, 153, 170, 159	dvdsmultr1d 16267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∥ (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2))))
172	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑞 ∈ ℂ)
173	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 3 ∈ ℕ₀)
174	172, 173	expcld 14111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑3) ∈ ℂ)
175	103	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑝 ∈ ℂ)
176	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 3 ∈ ℂ)
177	172	sqcld 14109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑2) ∈ ℂ)
178	176, 177	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (3 · (𝑞↑2)) ∈ ℂ)
179	175	sqcld 14109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝↑2) ∈ ℂ)
180	178, 179	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2)) ∈ ℂ)
181	175, 180	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2))) ∈ ℂ)
182	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑋 = (𝑝 / 𝑞))
183	182	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑋↑3) = ((𝑝 / 𝑞)↑3))
184	183	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑋↑3) · (𝑞↑3)) = (((𝑝 / 𝑞)↑3) · (𝑞↑3)))
185	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑞 ≠ 0)
186	175, 172, 185, 173	expdivd 14125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑝 / 𝑞)↑3) = ((𝑝↑3) / (𝑞↑3)))
187	186	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((𝑝 / 𝑞)↑3) · (𝑞↑3)) = (((𝑝↑3) / (𝑞↑3)) · (𝑞↑3)))
188	175, 173	expcld 14111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝↑3) ∈ ℂ)
189	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 3 ∈ ℤ)
190	172, 185, 189	expne0d 14117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑3) ≠ 0)
191	188, 174, 190	divcan1d 11959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((𝑝↑3) / (𝑞↑3)) · (𝑞↑3)) = (𝑝↑3))
192	184, 187, 191	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑋↑3) · (𝑞↑3)) = (𝑝↑3))
193	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → -3 ∈ ℂ)
194	32	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
195	193, 194	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (-3 · 𝑋) ∈ ℂ)
196		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
197	193, 194, 174	mulassd 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((-3 · 𝑋) · (𝑞↑3)) = (-3 · (𝑋 · (𝑞↑3))))
198	182	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑋 · (𝑞↑3)) = ((𝑝 / 𝑞) · (𝑞↑3)))
199	175, 172, 174, 185	div32d 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑝 / 𝑞) · (𝑞↑3)) = (𝑝 · ((𝑞↑3) / 𝑞)))
200		1zzd 12564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 1 ∈ ℤ)
201	172, 185, 200, 189	expsubd 14122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑(3 − 1)) = ((𝑞↑3) / (𝑞↑1)))
202		3m1e2 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (3 − 1) = 2
203	202	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (3 − 1) = 2)
204	203	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑(3 − 1)) = (𝑞↑2))
205	172	exp1d 14106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑1) = 𝑞)
206	205	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) / (𝑞↑1)) = ((𝑞↑3) / 𝑞))
207	201, 204, 206	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) / 𝑞) = (𝑞↑2))
208	207	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · ((𝑞↑3) / 𝑞)) = (𝑝 · (𝑞↑2)))
209	198, 199, 208	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑋 · (𝑞↑3)) = (𝑝 · (𝑞↑2)))
210	209	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (-3 · (𝑋 · (𝑞↑3))) = (-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))))
211	197, 210	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((-3 · 𝑋) · (𝑞↑3)) = (-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))))
212	174	mullidd 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (1 · (𝑞↑3)) = (𝑞↑3))
213	211, 212	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((-3 · 𝑋) · (𝑞↑3)) + (1 · (𝑞↑3))) = ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)))
214	195, 174, 196, 213	joinlmuladdmuld 11201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((-3 · 𝑋) + 1) · (𝑞↑3)) = ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)))
215	192, 214	oveq12d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((𝑋↑3) · (𝑞↑3)) + (((-3 · 𝑋) + 1) · (𝑞↑3))) = ((𝑝↑3) + ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3))))
216	45	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑋↑3) ∈ ℂ)
217	195, 196	addcld 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((-3 · 𝑋) + 1) ∈ ℂ)
218	216, 217, 174	adddird 11199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) · (𝑞↑3)) = (((𝑋↑3) · (𝑞↑3)) + (((-3 · 𝑋) + 1) · (𝑞↑3))))
219	175, 178, 179	subdid 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2))) = ((𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) − (𝑝 · (𝑝↑2))))
220		2nn0 12459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
221	220	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 2 ∈ ℕ₀)
222		1nn0 12458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
223	222	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 1 ∈ ℕ₀)
224	175, 221, 223	expaddd 14113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝↑(1 + 2)) = ((𝑝↑1) · (𝑝↑2)))
225		1p2e3 12324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 + 2) = 3
226	225	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (1 + 2) = 3)
227	226	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝↑(1 + 2)) = (𝑝↑3))
228	175	exp1d 14106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝↑1) = 𝑝)
229	228	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑝↑1) · (𝑝↑2)) = (𝑝 · (𝑝↑2)))
230	224, 227, 229	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · (𝑝↑2)) = (𝑝↑3))
231	230	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) − (𝑝 · (𝑝↑2))) = ((𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) − (𝑝↑3)))
232	219, 231	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2))) = ((𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) − (𝑝↑3)))
233	232	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2)))) = ((𝑞↑3) − ((𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) − (𝑝↑3))))
234	175, 178	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) ∈ ℂ)
235	174, 234, 188	subsub2d 11562	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − ((𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) − (𝑝↑3))) = ((𝑞↑3) + ((𝑝↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2))))))
236	174, 188, 234	addsub12d 11556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) + ((𝑝↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2))))) = ((𝑝↑3) + ((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2))))))
237	174, 234	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2)))) ∈ ℂ)
238	188, 237	addcomd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑝↑3) + ((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2))))) = (((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2)))) + (𝑝↑3)))
239	234	negcld 11520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → -(𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) ∈ ℂ)
240	174, 239	addcomd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) + -(𝑝 · (3 · (𝑞↑2)))) = (-(𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)))
241	174, 234	negsubd 11539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) + -(𝑝 · (3 · (𝑞↑2)))) = ((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2)))))
242	175, 176, 177	mul12d 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) = (3 · (𝑝 · (𝑞↑2))))
243	242	negeqd 11415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → -(𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) = -(3 · (𝑝 · (𝑞↑2))))
244	175, 177	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 · (𝑞↑2)) ∈ ℂ)
245	176, 244	mulneg1d 11631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) = -(3 · (𝑝 · (𝑞↑2))))
246	243, 245	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → -(𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) = (-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))))
247	246	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (-(𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)) = ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)))
248	240, 241, 247	3eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2)))) = ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)))
249	248	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2)))) + (𝑝↑3)) = (((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)) + (𝑝↑3)))
250	238, 249	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑝↑3) + ((𝑞↑3) − (𝑝 · (3 · (𝑞↑2))))) = (((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)) + (𝑝↑3)))
251	235, 236, 250	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − ((𝑝 · (3 · (𝑞↑2))) − (𝑝↑3))) = (((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)) + (𝑝↑3)))
252	193, 244	mulcld 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) ∈ ℂ)
253	252, 174	addcld 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)) ∈ ℂ)
254	253, 188	addcomd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3)) + (𝑝↑3)) = ((𝑝↑3) + ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3))))
255	233, 251, 254	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2)))) = ((𝑝↑3) + ((-3 · (𝑝 · (𝑞↑2))) + (𝑞↑3))))
256	215, 218, 255	3eqtr4rd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2)))) = (((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) · (𝑞↑3)))
257		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0)
258	257	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) · (𝑞↑3)) = (0 · (𝑞↑3)))
259	174	mul02d 11372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (0 · (𝑞↑3)) = 0)
260	256, 258, 259	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → ((𝑞↑3) − (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2)))) = 0)
261	174, 181, 260	subeq0d 11541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑3) = (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2))))
262	261	ad5ant15 758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑞↑3) = (𝑝 · ((3 · (𝑞↑2)) − (𝑝↑2))))
263	171, 262	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∥ (𝑞↑3))
264		prmdvdsexp 16685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ) → (𝑟 ∥ (𝑞↑3) ↔ 𝑟 ∥ 𝑞))
265	264	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ) ∧ 𝑟 ∥ (𝑞↑3)) → 𝑟 ∥ 𝑞)
266	160, 155, 161, 263, 265	syl31anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∥ 𝑞)
267		dvdsgcd 16514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑟 ∥ 𝑝 ∧ 𝑟 ∥ 𝑞) → 𝑟 ∥ (𝑝 gcd 𝑞)))
268	267	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ (𝑟 ∥ 𝑝 ∧ 𝑟 ∥ 𝑞)) → 𝑟 ∥ (𝑝 gcd 𝑞))
269	151, 153, 155, 159, 266, 268	syl32anc 1380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∥ (𝑝 gcd 𝑞))
270		simp-6r 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → (𝑝 gcd 𝑞) = 1)
271	269, 270	breqtrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 ∥ 1)
272		dvds1 16289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ₀ → (𝑟 ∥ 1 ↔ 𝑟 = 1))
273	272	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑟 ∥ 1) → 𝑟 = 1)
274	150, 271, 273	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) ∧ ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) = 0) → 𝑟 = 1)
275	147, 274	mteqand 3016	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝)) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)
276		nnabscl 15292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ≠ 0) → (abs‘𝑝) ∈ ℕ)
277	152, 107, 276	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑝) ∈ ℕ)
278		eluz2b3 12881	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑝) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ ((abs‘𝑝) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1))
279		exprmfct 16674	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑝) ∈ (ℤ_≥‘2) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝))
280	278, 279	sylbir 235	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑝) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝))
281	277, 280	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑟 ∥ (abs‘𝑝))
282	275, 281	r19.29a 3141	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑝) ≠ 1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)
283	142, 282	pm2.61dane 3012	. . . 4 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)
284	21, 283	pm2.61dane 3012	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (𝑝 / 𝑞)) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)
285	284	anasss 466	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 = (𝑝 / 𝑞) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1)) → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)
286		cos9thpiminplylem2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℚ)
287		elq2 32736	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℚ → ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ (𝑋 = (𝑝 / 𝑞) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1))
288	286, 287	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℕ (𝑋 = (𝑝 / 𝑞) ∧ (𝑝 gcd 𝑞) = 1))
289	285, 288	r19.29vva 3197	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋↑3) + ((-3 · 𝑋) + 1)) ≠ 0)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2925 ∃wrex 3053 {ctp 4593 class class class wbr 5107 ‘cfv 6511 (class class class)co 7387 ℂcc 11066 ℝcr 11067 0cc0 11068 1c1 11069 + caddc 11071 · cmul 11073 ℝ^*cxr 11207 − cmin 11405 -cneg 11406 / cdiv 11835 ℕcn 12186 2c2 12241 3c3 12242 ℕ₀cn0 12442 ℤcz 12529 ℤ_≥cuz 12793 ℚcq 12907 ↑cexp 14026 sgncsgn 15052 abscabs 15200 ∥ cdvds 16222 gcd cgcd 16464 ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-sep 5251 ax-nul 5261 ax-pow 5320 ax-pr 5387 ax-un 7711 ax-cnex 11124 ax-resscn 11125 ax-1cn 11126 ax-icn 11127 ax-addcl 11128 ax-addrcl 11129 ax-mulcl 11130 ax-mulrcl 11131 ax-mulcom 11132 ax-addass 11133 ax-mulass 11134 ax-distr 11135 ax-i2m1 11136 ax-1ne0 11137 ax-1rid 11138 ax-rnegex 11139 ax-rrecex 11140 ax-cnre 11141 ax-pre-lttri 11142 ax-pre-lttrn 11143 ax-pre-ltadd 11144 ax-pre-mulgt0 11145 ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3406 df-v 3449 df-sbc 3754 df-csb 3863 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3934 df-nul 4297 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4590 df-pr 4592 df-tp 4594 df-op 4596 df-uni 4872 df-iun 4957 df-br 5108 df-opab 5170 df-mpt 5189 df-tr 5215 df-id 5533 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5591 df-we 5593 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6274 df-ord 6335 df-on 6336 df-lim 6337 df-suc 6338 df-iota 6464 df-fun 6513 df-fn 6514 df-f 6515 df-f1 6516 df-fo 6517 df-f1o 6518 df-fv 6519 df-riota 7344 df-ov 7390 df-oprab 7391 df-mpo 7392 df-om 7843 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-frecs 8260 df-wrecs 8291 df-recs 8340 df-rdg 8378 df-1o 8434 df-2o 8435 df-er 8671 df-en 8919 df-dom 8920 df-sdom 8921 df-fin 8922 df-sup 9393 df-inf 9394 df-pnf 11210 df-mnf 11211 df-xr 11212 df-ltxr 11213 df-le 11214 df-sub 11407 df-neg 11408 df-div 11836 df-nn 12187 df-2 12249 df-3 12250 df-4 12251 df-5 12252 df-6 12253 df-7 12254 df-8 12255 df-9 12256 df-n0 12443 df-z 12530 df-dec 12650 df-uz 12794 df-q 12908 df-rp 12952 df-fz 13469 df-fzo 13616 df-fl 13754 df-mod 13832 df-seq 13967 df-exp 14027 df-sgn 15053 df-cj 15065 df-re 15066 df-im 15067 df-sqrt 15201 df-abs 15202 df-dvds 16223 df-gcd 16465 df-prm 16642

This theorem is referenced by: cos9thpiminply 33778

W3C validator