Theorem pythagreim 33160

Description: A simplified version of the Pythagorean theorem, where the points 𝐴 and 𝐵 respectively lie on the imaginary and real axes, and the right angle is at the origin. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pythagreim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
pythagreim.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pythagreim	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem pythagreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagreim.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		pythagreim.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		cjreim2 15236	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴))) = (𝐵 + (i · 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴))) = (𝐵 + (i · 𝐴)))
5	4	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))) = ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (𝐵 + (i · 𝐴))))
6	1	recnd 11252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7		ax-icn 11174	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
9	2	recnd 11252	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	6, 10	subcld 11584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6, 10	addcld 11243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcomd 11245	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
14	5, 13	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
15	11	absvalsqd 15520	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))))
16	8, 9	sqmuld 14212	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
17		i2 14256	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑2) = -1
18	17	oveq1i 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
19	16, 18	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = (-1 · (𝐴↑2)))
20	9	sqcld 14198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21	20	mulm1d 11681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
22	19, 21	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
23	22	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵↑2) − -(𝐴↑2)))
24	6	sqcld 14198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	24, 20	subnegd 11591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − -(𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
26	24, 20	addcomd 11427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
27	23, 25, 26	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
28		subsq 14264	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
29	6, 10, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
30	27, 29	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
31	14, 15, 30	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  ℝcr 11114  1c1 11116  ici 11117   + caddc 11118   · cmul 11120   − cmin 11456  -cneg 11457  2c2 12310  ↑cexp 14115  ∗ccj 15171  abscabs 15309

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-seq 14056  df-exp 14116  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311

This theorem is used by:  iconstr  34220