Theorem pythagreim 33030

Description: A simplified version of the Pythagorean theorem, where the points 𝐴 and 𝐵 respectively lie on the imaginary and real axes, and the right angle is at the origin. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pythagreim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
pythagreim.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pythagreim	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem pythagreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagreim.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		pythagreim.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		cjreim2 15211	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴))) = (𝐵 + (i · 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴))) = (𝐵 + (i · 𝐴)))
5	4	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))) = ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (𝐵 + (i · 𝐴))))
6	1	recnd 11236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7		ax-icn 11158	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
9	2	recnd 11236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	6, 10	subcld 11568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6, 10	addcld 11227	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcomd 11229	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
14	5, 13	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
15	11	absvalsqd 15495	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))))
16	8, 9	sqmuld 14193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
17		i2 14237	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑2) = -1
18	17	oveq1i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
19	16, 18	eqtrdi 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = (-1 · (𝐴↑2)))
20	9	sqcld 14179	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21	20	mulm1d 11665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
22	19, 21	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
23	22	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵↑2) − -(𝐴↑2)))
24	6	sqcld 14179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	24, 20	subnegd 11575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − -(𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
26	24, 20	addcomd 11411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
27	23, 25, 26	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
28		subsq 14245	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
29	6, 10, 28	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
30	27, 29	eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
31	14, 15, 30	3eqtr4d 2814	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℝcr 11098  1c1 11100  ici 11101   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440  -cneg 11441  2c2 12294  ↑cexp 14096  ∗ccj 15146  abscabs 15284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286

This theorem is referenced by:  iconstr  34100