Theorem pythagreim 33027

Description: A simplified version of the Pythagorean theorem, where the points 𝐴 and 𝐵 respectively lie on the imaginary and real axes, and the right angle is at the origin. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pythagreim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
pythagreim.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pythagreim	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem pythagreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagreim.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		pythagreim.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		cjreim2 15208	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴))) = (𝐵 + (i · 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴))) = (𝐵 + (i · 𝐴)))
5	4	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))) = ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (𝐵 + (i · 𝐴))))
6	1	recnd 11233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7		ax-icn 11155	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
9	2	recnd 11233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11225	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	6, 10	subcld 11565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6, 10	addcld 11224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcomd 11226	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
14	5, 13	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
15	11	absvalsqd 15492	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))))
16	8, 9	sqmuld 14190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
17		i2 14234	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑2) = -1
18	17	oveq1i 7418	. . . . . . 7 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
19	16, 18	eqtrdi 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = (-1 · (𝐴↑2)))
20	9	sqcld 14176	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21	20	mulm1d 11662	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
22	19, 21	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
23	22	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵↑2) − -(𝐴↑2)))
24	6	sqcld 14176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	24, 20	subnegd 11572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − -(𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
26	24, 20	addcomd 11408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
27	23, 25, 26	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
28		subsq 14242	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
29	6, 10, 28	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
30	27, 29	eqtr3d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
31	14, 15, 30	3eqtr4d 2814	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  ℝcr 11095  1c1 11097  ici 11098   + caddc 11099   · cmul 11101   − cmin 11437  -cneg 11438  2c2 12291  ↑cexp 14093  ∗ccj 15143  abscabs 15281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283

This theorem is referenced by:  iconstr  34097