Theorem pythagreim 33387

Description: A simplified version of the Pythagorean theorem, where the points 𝐴 and 𝐵 respectively lie on the imaginary and real axes, and the right angle is at the origin. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pythagreim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
pythagreim.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pythagreim	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem pythagreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagreim.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		pythagreim.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		cjreim2 15337	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴))) = (𝐵 + (i · 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴))) = (𝐵 + (i · 𝐴)))
5	4	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))) = ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (𝐵 + (i · 𝐴))))
6	1	recnd 11344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7		ax-icn 11266	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
9	2	recnd 11344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11336	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	6, 10	subcld 11676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6, 10	addcld 11335	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcomd 11337	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
14	5, 13	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
15	11	absvalsqd 15621	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))))
16	8, 9	sqmuld 14308	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
17		i2 14353	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑2) = -1
18	17	oveq1i 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = ( -1 · (𝐴↑2))
19	16, 18	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = ( -1 · (𝐴↑2)))
20	9	sqcld 14294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21	20	mulm1d 11775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
22	19, 21	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
23	22	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵↑2) − -(𝐴↑2)))
24	6	sqcld 14294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	24, 20	subnegd 11683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − -(𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
26	24, 20	addcomd 11519	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
27	23, 25, 26	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
28		subsq 14361	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
29	6, 10, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
30	27, 29	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
31	14, 15, 30	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  1c1 11208  ici 11209   + caddc 11210   · cmul 11212   − cmin 11548   -cneg 11549  2c2 12404  ↑cexp 14211  ∗ccj 15272  abscabs 15410

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412

This theorem is used by:  iconstr  34448