Theorem pythagreim 32908

Description: A simplified version of the Pythagorean theorem, where the points 𝐴 and 𝐵 respectively lie on the imaginary and real axes, and the right angle is at the origin. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pythagreim.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
pythagreim.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pythagreim	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))

Proof of Theorem pythagreim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagreim.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		pythagreim.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		cjreim2 15179	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴))) = (𝐵 + (i · 𝐴)))
4	1, 2, 3	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴))) = (𝐵 + (i · 𝐴)))
5	4	oveq2d 7407	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))) = ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (𝐵 + (i · 𝐴))))
6	1	recnd 11204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7		ax-icn 11126	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
9	2	recnd 11204	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 11196	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	6, 10	subcld 11536	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	6, 10	addcld 11195	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	11, 12	mulcomd 11197	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (𝐵 + (i · 𝐴))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
14	5, 13	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
15	11	absvalsqd 15463	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐵 − (i · 𝐴)) · (∗‘(𝐵 − (i · 𝐴)))))
16	8, 9	sqmuld 14165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
17		i2 14209	. . . . . . . 8 ⊢ (i↑2) = -1
18	17	oveq1i 7401	. . . . . . 7 ⊢ ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
19	16, 18	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = (-1 · (𝐴↑2)))
20	9	sqcld 14151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
21	20	mulm1d 11633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
22	19, 21	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
23	22	oveq2d 7407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵↑2) − -(𝐴↑2)))
24	6	sqcld 14151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
25	24, 20	subnegd 11543	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − -(𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
26	24, 20	addcomd 11379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
27	23, 25, 26	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
28		subsq 14217	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
29	6, 10, 28	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
30	27, 29	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵 + (i · 𝐴)) · (𝐵 − (i · 𝐴))))
31	14, 15, 30	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − (i · 𝐴)))↑2) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  ℝcr 11066  1c1 11068  ici 11069   + caddc 11070   · cmul 11072   − cmin 11408  -cneg 11409  2c2 12266  ↑cexp 14068  ∗ccj 15114  abscabs 15252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254

This theorem is referenced by:  iconstr  34024