MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  releabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem releabs 14438
Description: The real part of a number is less than or equal to its absolute value. Proposition 10-3.7(d) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 1-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
releabs (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem releabs
StepHypRef Expression
1 recl 14227 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
21recnd 10385 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3 abscl 14395 . . 3 ((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
5 abscl 14395 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6 leabs 14416 . . 3 ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ → (ℜ‘𝐴) ≤ (abs‘(ℜ‘𝐴)))
71, 6syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ≤ (abs‘(ℜ‘𝐴)))
8 absrele 14425 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))
91, 4, 5, 7, 8letrd 10513 1 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ≤ (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2166   class class class wbr 4873  cfv 6123  cc 10250  cr 10251  cle 10392  cre 14214  abscabs 14351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353
This theorem is referenced by:  abstri  14447  sqreulem  14476  releabsi  14518  releabsd  14567  isosctrlem1  24958
  Copyright terms: Public domain W3C validator