Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem38 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem38 45456
Description: The function 𝐹 is continuous on every interval induced by the partition 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem38.cn (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
fourierdlem38.p 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem38.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem38.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem38.h 𝐻 = (𝐴 ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
fourierdlem38.ranq (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem38 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝑀,𝑛,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑝)   𝐴(𝑖,𝑛,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑛,𝑝)   𝑄(𝑛)   𝐹(𝑛,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem38
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . 5 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
2 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝜑)
3 ioossicc 13434 . . . . . . . . 9 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
4 pire 26380 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
54renegcli 11543 . . . . . . . . . . . 12 -π ∈ ℝ
65rexri 11294 . . . . . . . . . . 11 -π ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
84rexri 11294 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
10 fourierdlem38.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
11 fourierdlem38.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
12 fourierdlem38.q . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
1310, 11, 12fourierdlem15 45433 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
1413adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
15 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
167, 9, 14, 15fourierdlem8 45426 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
173, 16sstrid 3989 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
1817sselda 3978 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
1918adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
20 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹)
21 simpllr 775 . . . . . 6 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
22113ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑀 ∈ ℕ)
23123ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
24 simp2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
25 simp3 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹)
2624, 25eldifd 3955 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
27 elun2 4173 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹)))
29 fourierdlem38.ranq . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ran 𝑄 = 𝐻)
30 fourierdlem38.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝐴 ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹))
3129, 30eqtr2di 2784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹)) = ran 𝑄)
32313ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐴 ∪ ((-π[,]π) ∖ dom 𝐹)) = ran 𝑄)
3328, 32eleqtrd 2830 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ran 𝑄)
3410, 22, 23, 33fourierdlem12 45430 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
352, 19, 20, 21, 34syl31anc 1371 . . . . 5 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
361, 35condan 817 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
3736ralrimiva 3141 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
38 dfss3 3966 . . 3 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑥 ∈ dom 𝐹)
3937, 38sylibr 233 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
40 fourierdlem38.cn . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
4140adantr 480 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ))
42 rescncf 24804 . 2 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 → (𝐹 ∈ (dom 𝐹cn→ℂ) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)))
4339, 41, 42sylc 65 1 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  {crab 3427  cdif 3941  cun 3942  wss 3944   class class class wbr 5142  cmpt 5225  dom cdm 5672  ran crn 5673  cres 5674  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  m cmap 8836  cc 11128  cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  *cxr 11269   < clt 11270  -cneg 11467  cn 12234  (,)cioo 13348  [,]cicc 13351  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  πcpi 16034  cnccncf 24783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783
This theorem is referenced by:  fourierdlem102  45519  fourierdlem114  45531
  Copyright terms: Public domain W3C validator