Theorem lcmineqlem2 42321

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem2.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem2.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lcmineqlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lcmineqlem2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		lcmineqlem2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
5	1, 2, 3, 4	lcmineqlem1 42320	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥)
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0[,]1) = (0[,]1)
7		fzfid 13900	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 𝑀)) ∈ Fin)
8		0red 11139	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9		1red 11137	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
10		unitsscn 13420	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
11		resmpt 5997	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1)))
13		nnm1nn0 12446	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
14		expcncf 24880	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
15		rescncf 24850	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
17	3, 13, 14, 16	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
18	12, 17	eqeltrrid 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
19		elfznn0 13540	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20		neg1cn 12134	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
21		expcl 14006	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
22	20, 21	mpan 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
23	19, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
25	3	nnnn0d 12466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
26	2	nnnn0d 12466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		nn0sub 12455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
28	25, 26, 27	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
29	4, 28	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
30		nn0z 12516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
31	19, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
32		bccl 14249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
33	31, 32	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
34	29, 33	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12468	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
36	24, 35	mulcld 11156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) ∈ ℂ)
37		resmpt 5997	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘)))
38	10, 37	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘))
39		expcncf 24880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
40	19, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
41		rescncf 24850	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
42	10, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
43	40, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
44	38, 43	eqeltrrid 2842	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
45	44	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
46	6, 7, 8, 9, 18, 36, 45	3factsumint 42316	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))
47	5, 46	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   ↾ cres 5627  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  [,]cicc 13268  ...cfz 13427  ↑cexp 13988  Ccbc 14229  Σcsu 15613  –cn→ccncf 24829  ∫citg 25579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cc 10349  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-acn 9858  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-limsup 15398  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cncf 24831  df-ovol 25425  df-vol 25426  df-mbf 25580  df-itg1 25581  df-itg2 25582  df-ibl 25583  df-itg 25584  df-0p 25631

This theorem is referenced by:  lcmineqlem3  42322