Theorem lcmineqlem2 43048

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem2.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem2.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem lcmineqlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lcmineqlem2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		lcmineqlem2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
5	1, 2, 3, 4	lcmineqlem1 43047	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥)
6		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0[,]1) = (0[,]1)
7		fzfid 14096	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 𝑀)) ∈ Fin)
8		0red 11292	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9		1red 11290	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
10		unitsscn 13612	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
11		resmpt 6031	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1)))
13		nnm1nn0 12628	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
14		expcncf 25227	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
15		rescncf 25198	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
17	3, 13, 14, 16	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
18	12, 17	eqeltrrid 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
19		elfznn0 13734	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20		neg1cn 12286	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
21		expcl 14202	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
22	20, 21	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
23	19, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
24	23	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
25	3	nnnn0d 12648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
26	2	nnnn0d 12648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		nn0sub 12637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
28	25, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
29	4, 28	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
30		nn0z 12698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
31	19, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
32		bccl 14446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
33	31, 32	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
34	29, 33	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12650	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
36	24, 35	mulcld 11310	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) ∈ ℂ)
37		resmpt 6031	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘)))
38	10, 37	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘))
39		expcncf 25227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
40	19, 39	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
41		rescncf 25198	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
42	10, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
43	40, 42	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
44	38, 43	eqeltrrid 2866	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
45	44	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
46	6, 7, 8, 9, 18, 36, 45	3factsumint 43043	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))
47	5, 46	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   · cmul 11186   ≤ cle 11325   − cmin 11522  -cneg 11523  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  [,]cicc 13460  ...cfz 13620  ↑cexp 14184  Ccbc 14426  Σcsu 15833  –cn→ccncf 25177  ∫citg 25919

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cc 10494  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001  df-acn 10004  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-cmp 23685  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-ovol 25765  df-vol 25766  df-mbf 25920  df-itg1 25921  df-itg2 25922  df-ibl 25923  df-itg 25924  df-0p 25971

This theorem is used by:  lcmineqlem3  43049