Theorem lcmineqlem2 42838

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem2.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem2.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem lcmineqlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lcmineqlem2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		lcmineqlem2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
5	1, 2, 3, 4	lcmineqlem1 42837	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥)
6		eqid 2766	. . 3 ⊢ (0[,]1) = (0[,]1)
7		fzfid 14029	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 𝑀)) ∈ Fin)
8		0red 11229	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9		1red 11227	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
10		unitsscn 13545	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
11		resmpt 6044	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1)))
13		nnm1nn0 12563	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
14		expcncf 25122	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
15		rescncf 25093	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
17	3, 13, 14, 16	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
18	12, 17	eqeltrrid 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
19		elfznn0 13667	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20		neg1cn 12221	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
21		expcl 14135	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
22	20, 21	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
23	19, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
24	23	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
25	3	nnnn0d 12583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
26	2	nnnn0d 12583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		nn0sub 12572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
28	25, 26, 27	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
29	4, 28	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
30		nn0z 12633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
31	19, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
32		bccl 14378	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
33	31, 32	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
34	29, 33	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
36	24, 35	mulcld 11247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) ∈ ℂ)
37		resmpt 6044	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘)))
38	10, 37	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘))
39		expcncf 25122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
40	19, 39	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
41		rescncf 25093	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
42	10, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
43	40, 42	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
44	38, 43	eqeltrrid 2871	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
45	44	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
46	6, 7, 8, 9, 18, 36, 45	3factsumint 42833	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))
47	5, 46	eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197   ↾ cres 5668  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   · cmul 11123   ≤ cle 11262   − cmin 11459  -cneg 11460  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  [,]cicc 13393  ...cfz 13553  ↑cexp 14117  Ccbc 14358  Σcsu 15763  –cn→ccncf 25072  ∫citg 25814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-cmp 23581  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-ovol 25660  df-vol 25661  df-mbf 25815  df-itg1 25816  df-itg2 25817  df-ibl 25818  df-itg 25819  df-0p 25866

This theorem is used by:  lcmineqlem3  42839