Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem2 39269
 Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem2.1 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
lcmineqlem2.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem2.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem2.4 (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem2 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lcmineqlem2
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem2.1 . . 3 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥
2 lcmineqlem2.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 lcmineqlem2.3 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 lcmineqlem2.4 . . 3 (𝜑𝑀𝑁)
51, 2, 3, 4lcmineqlem1 39268 . 2 (𝜑𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘))) d𝑥)
6 eqid 2824 . . 3 (0[,]1) = (0[,]1)
7 fzfid 13345 . . 3 (𝜑 → (0...(𝑁𝑀)) ∈ Fin)
8 0red 10642 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9 1red 10640 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
10 unitsscn 12887 . . . . 5 (0[,]1) ⊆ ℂ
11 resmpt 5892 . . . . 5 ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))))
1210, 11ax-mp 5 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1)))
13 nnm1nn0 11935 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
14 expcncf 23537 . . . . . 6 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
153, 13, 143syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
16 rescncf 23508 . . . . . 6 ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
1710, 16ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
1815, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
1912, 18eqeltrrid 2921 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
20 elfznn0 13004 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21 neg1cn 11748 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
22 expcl 13452 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
2321, 22mpan 689 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
2420, 23syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
2524adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
263nnnn0d 11952 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
272nnnn0d 11952 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
28 nn0sub 11944 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
2926, 27, 28syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
304, 29mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
31 nn0z 12002 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
3220, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
33 bccl 13687 . . . . . . 7 (((𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
3432, 33sylan2 595 . . . . . 6 (((𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
3530, 34sylan 583 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 11954 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((𝑁𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
3725, 36mulcld 10659 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) ∈ ℂ)
38 resmpt 5892 . . . . . 6 ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝑘)))
3910, 38ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝑘))
40 expcncf 23537 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4120, 40syl 17 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
42 rescncf 23508 . . . . . . 7 ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
4310, 42ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
4441, 43syl 17 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
4539, 44eqeltrrid 2921 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝑘)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
4645adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝑘)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
476, 7, 8, 9, 19, 37, 463factsumint 39264 . 2 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · (𝑥𝑘))) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
485, 47eqtrd 2859 1 (𝜑𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥𝑘)) d𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132   ↾ cres 5544  (class class class)co 7149  ℂcc 10533  0cc0 10535  1c1 10536   · cmul 10540   ≤ cle 10674   − cmin 10868  -cneg 10869  ℕcn 11634  ℕ0cn0 11894  ℤcz 11978  [,]cicc 12738  ...cfz 12894  ↑cexp 13434  Ccbc 13667  Σcsu 15042  –cn→ccncf 23487  ∫citg 24228 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-dju 9327  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20139  df-xmet 20140  df-met 20141  df-bl 20142  df-mopn 20143  df-cnfld 20148  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-cmp 21998  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-ovol 24074  df-vol 24075  df-mbf 24229  df-itg1 24230  df-itg2 24231  df-ibl 24232  df-itg 24233  df-0p 24280 This theorem is referenced by:  lcmineqlem3  39270
 Copyright terms: Public domain W3C validator