Theorem lcmineqlem2 42062

Description: Part of lcm inequality lemma, this part eventually shows that F times the least common multiple of 1 to n is an integer. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem2.1	⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
lcmineqlem2.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem2.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem2.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀,𝑥   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem lcmineqlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥
2		lcmineqlem2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lcmineqlem2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		lcmineqlem2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
5	1, 2, 3, 4	lcmineqlem1 42061	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥)
6		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0[,]1) = (0[,]1)
7		fzfid 13877	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 𝑀)) ∈ Fin)
8		0red 11112	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
9		1red 11110	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
10		unitsscn 13397	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
11		resmpt 5986	. . . . 5 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1)))
13		nnm1nn0 12419	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
14		expcncf 24845	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
15		rescncf 24815	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
17	3, 13, 14, 16	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
18	12, 17	eqeltrrid 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
19		elfznn0 13517	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20		neg1cn 12107	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
21		expcl 13983	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
22	20, 21	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
23	19, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (-1↑𝑘) ∈ ℂ)
25	3	nnnn0d 12439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
26	2	nnnn0d 12439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
27		nn0sub 12428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
28	25, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))
29	4, 28	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0)
30		nn0z 12490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
31	19, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
32		bccl 14226	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
33	31, 32	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
34	29, 33	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℕ0)
35	34	nn0cnd 12441	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑁 − 𝑀)C𝑘) ∈ ℂ)
36	24, 35	mulcld 11129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) ∈ ℂ)
37		resmpt 5986	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘)))
38	10, 37	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘))
39		expcncf 24845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
40	19, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
41		rescncf 24815	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
42	10, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
43	40, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
44	38, 43	eqeltrrid 2836	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
45	44	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
46	6, 7, 8, 9, 18, 36, 45	3factsumint 42057	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · (𝑥↑𝑘))) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))
47	5, 46	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))(((-1↑𝑘) · ((𝑁 − 𝑀)C𝑘)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · (𝑥↑𝑘)) d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172   ↾ cres 5618  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004   · cmul 11008   ≤ cle 11144   − cmin 11341  -cneg 11342  ℕcn 12122  ℕ₀cn0 12378  ℤcz 12465  [,]cicc 13245  ...cfz 13404  ↑cexp 13965  Ccbc 14206  Σcsu 15590  –cn→ccncf 24794  ∫citg 25544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10323  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5059  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9791  df-card 9829  df-acn 9832  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-ioo 13246  df-ioc 13247  df-ico 13248  df-icc 13249  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-fac 14178  df-bc 14207  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-limsup 15375  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-rest 17323  df-topn 17324  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-topgen 17344  df-pt 17345  df-prds 17348  df-xrs 17403  df-qtop 17408  df-imas 17409  df-xps 17411  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689  df-mulg 18978  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-cmp 23300  df-tx 23475  df-hmeo 23668  df-xms 24233  df-ms 24234  df-tms 24235  df-cncf 24796  df-ovol 25390  df-vol 25391  df-mbf 25545  df-itg1 25546  df-itg2 25547  df-ibl 25548  df-itg 25549  df-0p 25596

This theorem is referenced by:  lcmineqlem3  42063