MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2cpmghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2cpmghm 22596
Description: The transformation of matrices into constant polynomial matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 18-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2cpm.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
m2cpm.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
m2cpm.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2cpm.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2cpmghm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
m2cpmghm.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
m2cpmghm.u 𝑈 = (𝐶s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
m2cpmghm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈))

Proof of Theorem m2cpmghm
StepHypRef Expression
1 m2cpm.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2 m2cpm.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 m2cpm.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 m2cpmghm.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
5 m2cpmghm.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
6 eqid 2726 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6mat2pmatghm 22582 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶))
8 m2cpm.s . . . 4 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
98, 4, 5cpmatsubgpmat 22572 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶))
108, 1, 2, 3m2cpmf 22594 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝑆)
1110frnd 6718 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ran 𝑇𝑆)
12 m2cpmghm.u . . . . 5 𝑈 = (𝐶s 𝑆)
1312resghm2b 19156 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ ran 𝑇𝑆) → (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶) ↔ 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈)))
1413bicomd 222 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ ran 𝑇𝑆) → (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈) ↔ 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶)))
159, 11, 14syl2anc 583 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈) ↔ 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝐶)))
167, 15mpbird 257 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐴 GrpHom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3943  ran crn 5670  cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  Basecbs 17150  s cress 17179  SubGrpcsubg 19044   GrpHom cghm 19135  Ringcrg 20135  Poly1cpl1 22046   Mat cmat 22257   ConstPolyMat ccpmat 22555   matToPolyMat cmat2pmat 22556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-srg 20089  df-ring 20137  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-ascl 21745  df-psr 21798  df-mvr 21799  df-mpl 21800  df-opsr 21802  df-psr1 22049  df-vr1 22050  df-ply1 22051  df-coe1 22052  df-mamu 22236  df-mat 22258  df-cpmat 22558  df-mat2pmat 22559
This theorem is referenced by:  m2cpmrhm  22598
  Copyright terms: Public domain W3C validator