Theorem cayley 18228

Description: Cayley's Theorem (constructive version): given group 𝐺, 𝐹 is an isomorphism between 𝐺 and the subgroup 𝑆 of the symmetric group 𝐻 on the underlying set 𝑋 of 𝐺. See also Theorem 3.15 in [Rotman] p. 42. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayley.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayley.h	⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayley.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
cayley.f	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
cayley.s	⊢ 𝑆 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cayley	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)) ∧ 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑎,𝐺   𝑔,𝐻   + ,𝑎,𝑔   𝑋,𝑎,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑔,𝑎)   𝐻(𝑎)

Proof of Theorem cayley

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cayley.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran 𝐹
2		cayley.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		cayley.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		cayley.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
6		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
7		cayley.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	cayleylem1 18226	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
9		ghmrn 18068	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐻))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐻))
11	1, 10	syl5eqel 2863	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻))
12	1	eqimss2i 3879	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 ⊆ 𝑆
13		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ↾s 𝑆) = (𝐻 ↾s 𝑆)
14	13	resghm2b 18073	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ↔ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆))))
15	11, 12, 14	sylancl 580	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ↔ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆))))
16	8, 15	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)))
17	2, 3, 4, 5, 6, 7	cayleylem2 18227	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1→(Base‘𝐻))
18		f1f1orn 6404	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1→(Base‘𝐻) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
20		f1oeq3 6384	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ran 𝐹 → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹))
21	1, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
22	19, 21	sylibr 226	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆)
23	11, 16, 22	3jca 1119	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)) ∧ 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792   ↦ cmpt 4967  ran crn 5358  –1-1→wf1 6134  –1-1-onto→wf1o 6136  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266   ↾_s cress 16267  +_gcplusg 16349  0_gc0g 16497  Grpcgrp 17820  SubGrpcsubg 17983   GrpHom cghm 18052  SymGrpcsymg 18191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-tset 16368  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mhm 17732  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-subg 17986  df-ghm 18053  df-ga 18117  df-symg 18192

This theorem is referenced by:  cayleyth  18229