Theorem cayley 19321

Description: Cayley's Theorem (constructive version): given group 𝐺, 𝐹 is an isomorphism between 𝐺 and the subgroup 𝑆 of the symmetric group 𝐻 on the underlying set 𝑋 of 𝐺. See also Theorem 3.15 in [Rotman] p. 42. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayley.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayley.h	⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayley.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
cayley.f	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
cayley.s	⊢ 𝑆 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cayley	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)) ∧ 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑎,𝐺   𝑔,𝐻   + ,𝑎,𝑔   𝑋,𝑎,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑔,𝑎)   𝐻(𝑎)

Proof of Theorem cayley

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cayley.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran 𝐹
2		cayley.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		cayley.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		cayley.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
7		cayley.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	cayleylem1 19319	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
9		ghmrn 19136	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐻))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐻))
11	1, 10	eqeltrid 2835	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻))
12	1	eqimss2i 3991	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 ⊆ 𝑆
13		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ↾s 𝑆) = (𝐻 ↾s 𝑆)
14	13	resghm2b 19141	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ↔ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆))))
15	11, 12, 14	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ↔ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆))))
16	8, 15	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)))
17	2, 3, 4, 5, 6, 7	cayleylem2 19320	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1→(Base‘𝐻))
18		f1f1orn 6769	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1→(Base‘𝐻) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
20		f1oeq3 6748	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ran 𝐹 → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹))
21	1, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
22	19, 21	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆)
23	11, 16, 22	3jca 1128	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)) ∧ 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   ↦ cmpt 5167  ran crn 5612  –1-1→wf1 6473  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115   ↾_s cress 17136  +_gcplusg 17156  0_gc0g 17338  Grpcgrp 18841  SubGrpcsubg 19028   GrpHom cghm 19119  SymGrpcsymg 19276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-tset 17175  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-efmnd 18772  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-ga 19197  df-symg 19277

This theorem is referenced by:  cayleyth  19322