Theorem cayley 19311

Description: Cayley's Theorem (constructive version): given group 𝐺, 𝐹 is an isomorphism between 𝐺 and the subgroup 𝑆 of the symmetric group 𝐻 on the underlying set 𝑋 of 𝐺. See also Theorem 3.15 in [Rotman] p. 42. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayley.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayley.h	⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayley.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
cayley.f	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
cayley.s	⊢ 𝑆 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cayley	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)) ∧ 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑎,𝐺   𝑔,𝐻   + ,𝑎,𝑔   𝑋,𝑎,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑔,𝑎)   𝐻(𝑎)

Proof of Theorem cayley

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cayley.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran 𝐹
2		cayley.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		cayley.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		cayley.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
7		cayley.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	cayleylem1 19309	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
9		ghmrn 19126	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐻))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐻))
11	1, 10	eqeltrid 2832	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻))
12	1	eqimss2i 3999	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 ⊆ 𝑆
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ↾s 𝑆) = (𝐻 ↾s 𝑆)
14	13	resghm2b 19131	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ↔ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆))))
15	11, 12, 14	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ↔ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆))))
16	8, 15	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)))
17	2, 3, 4, 5, 6, 7	cayleylem2 19310	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1→(Base‘𝐻))
18		f1f1orn 6779	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1→(Base‘𝐻) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
20		f1oeq3 6758	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ran 𝐹 → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹))
21	1, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
22	19, 21	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆)
23	11, 16, 22	3jca 1128	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)) ∧ 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5176  ran crn 5624  –1-1→wf1 6483  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17361  Grpcgrp 18830  SubGrpcsubg 19017   GrpHom cghm 19109  SymGrpcsymg 19266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-tset 17198  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-efmnd 18761  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-ga 19187  df-symg 19267

This theorem is referenced by:  cayleyth  19312