Theorem cayley 19395

Description: Cayley's Theorem (constructive version): given group 𝐺, 𝐹 is an isomorphism between 𝐺 and the subgroup 𝑆 of the symmetric group 𝐻 on the underlying set 𝑋 of 𝐺. See also Theorem 3.15 in [Rotman] p. 42. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayley.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayley.h	⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayley.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
cayley.f	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
cayley.s	⊢ 𝑆 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cayley	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)) ∧ 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑎,𝐺   𝑔,𝐻   + ,𝑎,𝑔   𝑋,𝑎,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑔,𝑎)   𝐻(𝑎)

Proof of Theorem cayley

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cayley.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran 𝐹
2		cayley.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		cayley.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		cayley.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
7		cayley.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	cayleylem1 19393	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
9		ghmrn 19212	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐻))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐻))
11	1, 10	eqeltrid 2838	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻))
12	1	eqimss2i 4020	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 ⊆ 𝑆
13		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ↾s 𝑆) = (𝐻 ↾s 𝑆)
14	13	resghm2b 19217	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ↔ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆))))
15	11, 12, 14	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ↔ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆))))
16	8, 15	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)))
17	2, 3, 4, 5, 6, 7	cayleylem2 19394	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1→(Base‘𝐻))
18		f1f1orn 6829	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1→(Base‘𝐻) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
19	17, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
20		f1oeq3 6808	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ran 𝐹 → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹))
21	1, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
22	19, 21	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆)
23	11, 16, 22	3jca 1128	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)) ∧ 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655  –1-1→wf1 6528  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  +_gcplusg 17271  0_gc0g 17453  Grpcgrp 18916  SubGrpcsubg 19103   GrpHom cghm 19195  SymGrpcsymg 19350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-tset 17290  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-efmnd 18847  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-ga 19273  df-symg 19351

This theorem is referenced by:  cayleyth  19396