Theorem cayley 19621

Description: Cayley's Theorem (constructive version): given group 𝐺, 𝐹 is an isomorphism between 𝐺 and the subgroup 𝑆 of the symmetric group 𝐻 on the underlying set 𝑋 of 𝐺. See also Theorem 3.15 in [Rotman] p. 42. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayley.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayley.h	⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayley.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
cayley.f	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
cayley.s	⊢ 𝑆 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cayley	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)) ∧ 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑎,𝐺   𝑔,𝐻   + ,𝑎,𝑔   𝑋,𝑎,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔, 𝑎)   𝐹(𝑔, 𝑎)   𝐻(𝑎)

Proof of Theorem cayley

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cayley.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ran 𝐹
2		cayley.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		cayley.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
5		cayley.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
7		cayley.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	cayleylem1 19619	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
9		ghmrn 19436	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐻))
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐻))
11	1, 10	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻))
12	1	eqimss2i 3992	. . . 4 ⊢ ran 𝐹 ⊆ 𝑆
13		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ↾s 𝑆) = (𝐻 ↾s 𝑆)
14	13	resghm2b 19441	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ ran 𝐹 ⊆ 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ↔ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆))))
15	11, 12, 14	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ↔ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆))))
16	8, 15	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)))
17	2, 3, 4, 5, 6, 7	cayleylem2 19620	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1→(Base‘𝐻))
18		f1f1orn 6834	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1→(Base‘𝐻) → 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
19	17, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
20		f1oeq3 6812	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ran 𝐹 → (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹))
21	1, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-onto→ran 𝐹)
22	19, 21	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆)
23	11, 16, 22	3jca 1146	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐻) ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 ↾s 𝑆)) ∧ 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652  –1-1→wf1 6534  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380   ↾_s cress 17401  +_gcplusg 17421  0_gc0g 17603  Grpcgrp 19137  SubGrpcsubg 19323   GrpHom cghm 19420  SymGrpcsymg 19576

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-tset 17440  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-efmnd 19058  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-ga 19497  df-symg 19577

This theorem is used by:  cayleyth  19622