MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cayley Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cayley 19204
Description: Cayley's Theorem (constructive version): given group 𝐺, 𝐹 is an isomorphism between 𝐺 and the subgroup 𝑆 of the symmetric group 𝐻 on the underlying set 𝑋 of 𝐺. See also Theorem 3.15 in [Rotman] p. 42. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cayley.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
cayley.h 𝐻 = (SymGrpβ€˜π‘‹)
cayley.p + = (+gβ€˜πΊ)
cayley.f 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (π‘Ž ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + π‘Ž)))
cayley.s 𝑆 = ran 𝐹
Assertion
Ref Expression
cayley (𝐺 ∈ Grp β†’ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π») ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 β†Ύs 𝑆)) ∧ 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆))
Distinct variable groups:   𝑔,π‘Ž,𝐺   𝑔,𝐻   + ,π‘Ž,𝑔   𝑋,π‘Ž,𝑔
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,π‘Ž)   𝐹(𝑔,π‘Ž)   𝐻(π‘Ž)

Proof of Theorem cayley
StepHypRef Expression
1 cayley.s . . 3 𝑆 = ran 𝐹
2 cayley.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
3 cayley.p . . . . 5 + = (+gβ€˜πΊ)
4 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
5 cayley.h . . . . 5 𝐻 = (SymGrpβ€˜π‘‹)
6 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
7 cayley.f . . . . 5 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (π‘Ž ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + π‘Ž)))
82, 3, 4, 5, 6, 7cayleylem1 19202 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
9 ghmrn 19029 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) β†’ ran 𝐹 ∈ (SubGrpβ€˜π»))
108, 9syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ ran 𝐹 ∈ (SubGrpβ€˜π»))
111, 10eqeltrid 2838 . 2 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π»))
121eqimss2i 4007 . . . 4 ran 𝐹 βŠ† 𝑆
13 eqid 2733 . . . . 5 (𝐻 β†Ύs 𝑆) = (𝐻 β†Ύs 𝑆)
1413resghm2b 19034 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π») ∧ ran 𝐹 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ↔ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 β†Ύs 𝑆))))
1511, 12, 14sylancl 587 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) ↔ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 β†Ύs 𝑆))))
168, 15mpbid 231 . 2 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 β†Ύs 𝑆)))
172, 3, 4, 5, 6, 7cayleylem2 19203 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐹:𝑋–1-1β†’(Baseβ€˜π»))
18 f1f1orn 6799 . . . 4 (𝐹:𝑋–1-1β†’(Baseβ€˜π») β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
1917, 18syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
20 f1oeq3 6778 . . . 4 (𝑆 = ran 𝐹 β†’ (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝐹))
211, 20ax-mp 5 . . 3 (𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆 ↔ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝐹)
2219, 21sylibr 233 . 2 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆)
2311, 16, 223jca 1129 1 (𝐺 ∈ Grp β†’ (𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π») ∧ 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom (𝐻 β†Ύs 𝑆)) ∧ 𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914   ↦ cmpt 5192  ran crn 5638  β€“1-1β†’wf1 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  +gcplusg 17141  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  SubGrpcsubg 18930   GrpHom cghm 19013  SymGrpcsymg 19156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-ga 19078  df-symg 19157
This theorem is referenced by:  cayleyth  19205
  Copyright terms: Public domain W3C validator