Theorem zrhpsgnmhm 21734

Description: Embedding of permutation signs into an arbitrary ring is a homomorphism. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnmhm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))

Proof of Theorem zrhpsgnmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
2	1	zrhrhm 21661	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℤring) = (mulGrp‘ℤring)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	3, 4	rhmmhm 20558	. . 3 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (pmSgn‘𝐴) = (pmSgn‘𝐴)
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
10	7, 8, 9	psgnghm2 21731	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
11		ghmmhm 19291	. . . 4 ⊢ ((pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
13		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
14	13	cnmsgnsubg 21727	. . . . . . 7 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
15		subgsubm 19210	. . . . . . 7 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → {1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
17		cnring 21544	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
18		cnfldbas 21526	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19		cnfld0 21546	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
20		cndrng 21551	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
21	18, 19, 20	drngui 20833	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
22		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
23	21, 22	unitsubm 20464	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
24	13	subsubm 18870	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ({1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
25	17, 23, 24	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})))
26	16, 25	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
27	26	simpli 488	. . . 4 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
28		1z 12619	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
29		neg1z 12625	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
30		prssi 4787	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
31	28, 29, 30	mp2an 704	. . . 4 ⊢ {1, -1} ⊆ ℤ
32		zsubrg 21570	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
33	22	subrgsubm 20684	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
34		zringmpg 21621	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
35	34	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℤring) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
36	35	subsubm 18870	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring)) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ ℤ)))
37	32, 33, 36	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring)) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ ℤ))
38	27, 31, 37	mpbir2an 723	. . 3 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring))
39		zex 12595	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
40		ressabs 17303	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ ℤ) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
41	39, 31, 40	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
42	34	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℤring) ↾s {1, -1})
43	41, 42	eqtr3i 2788	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℤring) ↾s {1, -1})
44	43	resmhm2 18875	. . 3 ⊢ (((pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring))) → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring)))
45	12, 38, 44	sylancl 597	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring)))
46		mhmco 18877	. 2 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ∧ (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring))) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
47	6, 45, 46	syl2an 607	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4589  {cpr 4591   ∘ ccom 5665  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096  -cneg 11437  ℤcz 12586   ↾_s cress 17285   MndHom cmhm 18834  SubMndcsubmnd 18835  SubGrpcsubg 19181   GrpHom cghm 19278  SymGrpcsymg 19434  pmSgncpsgn 19554  mulGrpcmgp 20211  Ringcrg 20310   RingHom crh 20547  SubRingcsubrg 20668  ℂ_fldccnfld 21522  ℤ_ringczring 21596  ℤRHomczrh 21649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-addf 11174  ax-mulf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-splice 14783  df-reverse 14792  df-s2 14881  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-efmnd 18923  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-gim 19324  df-oppg 19411  df-symg 19435  df-pmtr 19507  df-psgn 19556  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-cring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-dvr 20479  df-rhm 20550  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-drng 20829  df-cnfld 21523  df-zring 21597  df-zrh 21653

This theorem is referenced by:  madetsumid  22618  mdetleib2  22745  mdetf  22752  mdetdiaglem  22755  mdetrlin  22759  mdetrsca  22760  mdetralt  22765  mdetunilem7  22775  mdetunilem8  22776