Theorem zrhpsgnmhm 21549

Description: Embedding of permutation signs into an arbitrary ring is a homomorphism. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnmhm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))

Proof of Theorem zrhpsgnmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
2	1	zrhrhm 21477	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℤring) = (mulGrp‘ℤring)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	3, 4	rhmmhm 20444	. . 3 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (pmSgn‘𝐴) = (pmSgn‘𝐴)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
10	7, 8, 9	psgnghm2 21546	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
11		ghmmhm 19214	. . . 4 ⊢ ((pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
13		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
14	13	cnmsgnsubg 21542	. . . . . . 7 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
15		subgsubm 19136	. . . . . . 7 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → {1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
17		cnring 21358	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
18		cnfldbas 21324	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19		cnfld0 21360	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
20		cndrng 21366	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
21	18, 19, 20	drngui 20700	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
22		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
23	21, 22	unitsubm 20351	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
24	13	subsubm 18799	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ({1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
25	17, 23, 24	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})))
26	16, 25	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
27	26	simpli 483	. . . 4 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
28		1z 12627	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
29		neg1z 12633	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
30		prssi 4802	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
31	28, 29, 30	mp2an 692	. . . 4 ⊢ {1, -1} ⊆ ℤ
32		zsubrg 21393	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
33	22	subrgsubm 20550	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
34		zringmpg 21437	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
35	34	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℤring) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
36	35	subsubm 18799	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring)) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ ℤ)))
37	32, 33, 36	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring)) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ ℤ))
38	27, 31, 37	mpbir2an 711	. . 3 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring))
39		zex 12602	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
40		ressabs 17274	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ ℤ) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
41	39, 31, 40	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
42	34	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℤring) ↾s {1, -1})
43	41, 42	eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℤring) ↾s {1, -1})
44	43	resmhm2 18804	. . 3 ⊢ (((pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring))) → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring)))
45	12, 38, 44	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring)))
46		mhmco 18806	. 2 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ∧ (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring))) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
47	6, 45, 46	syl2an 596	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  {csn 4606  {cpr 4608   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135  -cneg 11472  ℤcz 12593   ↾_s cress 17256   MndHom cmhm 18764  SubMndcsubmnd 18765  SubGrpcsubg 19108   GrpHom cghm 19200  SymGrpcsymg 19355  pmSgncpsgn 19475  mulGrpcmgp 20105  Ringcrg 20198   RingHom crh 20434  SubRingcsubrg 20534  ℂ_fldccnfld 21320  ℤ_ringczring 21412  ℤRHomczrh 21465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-addf 11213  ax-mulf 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-word 14537  df-lsw 14586  df-concat 14594  df-s1 14619  df-substr 14664  df-pfx 14694  df-splice 14773  df-reverse 14782  df-s2 14872  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-efmnd 18852  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-gim 19247  df-oppg 19334  df-symg 19356  df-pmtr 19428  df-psgn 19477  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366  df-rhm 20437  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-drng 20696  df-cnfld 21321  df-zring 21413  df-zrh 21469

This theorem is referenced by:  madetsumid  22404  mdetleib2  22531  mdetf  22538  mdetdiaglem  22541  mdetrlin  22545  mdetrsca  22546  mdetralt  22551  mdetunilem7  22561  mdetunilem8  22562