Theorem zrhpsgnmhm 21636

Description: Embedding of permutation signs into an arbitrary ring is a homomorphism. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnmhm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))

Proof of Theorem zrhpsgnmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
2	1	zrhrhm 21563	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℤring) = (mulGrp‘ℤring)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	3, 4	rhmmhm 20528	. . 3 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (pmSgn‘𝐴) = (pmSgn‘𝐴)
9		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
10	7, 8, 9	psgnghm2 21633	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
11		ghmmhm 19266	. . . 4 ⊢ ((pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
13		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
14	13	cnmsgnsubg 21629	. . . . . . 7 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
15		subgsubm 19190	. . . . . . 7 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → {1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
17		cnring 21446	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
18		cnfldbas 21428	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19		cnfld0 21448	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
20		cndrng 21453	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
21	18, 19, 20	drngui 20785	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
22		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
23	21, 22	unitsubm 20435	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
24	13	subsubm 18850	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ({1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
25	17, 23, 24	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})))
26	16, 25	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
27	26	simpli 487	. . . 4 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
28		1z 12601	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
29		neg1z 12607	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
30		prssi 4779	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
31	28, 29, 30	mp2an 702	. . . 4 ⊢ {1, -1} ⊆ ℤ
32		zsubrg 21472	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
33	22	subrgsubm 20635	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
34		zringmpg 21523	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
35	34	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℤring) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
36	35	subsubm 18850	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring)) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ ℤ)))
37	32, 33, 36	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring)) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ ℤ))
38	27, 31, 37	mpbir2an 721	. . 3 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring))
39		zex 12577	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
40		ressabs 17284	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ ℤ) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
41	39, 31, 40	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
42	34	oveq1i 7406	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℤring) ↾s {1, -1})
43	41, 42	eqtr3i 2787	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℤring) ↾s {1, -1})
44	43	resmhm2 18855	. . 3 ⊢ (((pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring))) → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring)))
45	12, 38, 44	sylancl 595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring)))
46		mhmco 18857	. 2 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ∧ (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring))) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
47	6, 45, 46	syl2an 605	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  {csn 4582  {cpr 4584   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  ℂcc 11071  0cc0 11073  1c1 11074  -cneg 11415  ℤcz 12568   ↾_s cress 17266   MndHom cmhm 18815  SubMndcsubmnd 18816  SubGrpcsubg 19162   GrpHom cghm 19253  SymGrpcsymg 19409  pmSgncpsgn 19529  mulGrpcmgp 20186  Ringcrg 20283   RingHom crh 20518  SubRingcsubrg 20619  ℂ_fldccnfld 21424  ℤ_ringczring 21498  ℤRHomczrh 21551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-addf 11152  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-xor 1532  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-word 14527  df-lsw 14576  df-concat 14584  df-s1 14610  df-substr 14655  df-pfx 14685  df-splice 14763  df-reverse 14772  df-s2 14861  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-efmnd 18903  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-gim 19299  df-oppg 19386  df-symg 19410  df-pmtr 19482  df-psgn 19531  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-cring 20286  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-dvr 20450  df-rhm 20521  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-drng 20781  df-cnfld 21425  df-zring 21499  df-zrh 21555

This theorem is referenced by:  madetsumid  22521  mdetleib2  22648  mdetf  22655  mdetdiaglem  22658  mdetrlin  22662  mdetrsca  22663  mdetralt  22668  mdetunilem7  22678  mdetunilem8  22679