Theorem zrhpsgnmhm 20789

Description: Embedding of permutation signs into an arbitrary ring is a homomorphism. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnmhm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))

Proof of Theorem zrhpsgnmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
2	1	zrhrhm 20713	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℤring) = (mulGrp‘ℤring)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	3, 4	rhmmhm 19966	. . 3 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (pmSgn‘𝐴) = (pmSgn‘𝐴)
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
10	7, 8, 9	psgnghm2 20786	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
11		ghmmhm 18844	. . . 4 ⊢ ((pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
13		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
14	13	cnmsgnsubg 20782	. . . . . . 7 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
15		subgsubm 18777	. . . . . . 7 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → {1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
17		cnring 20620	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
18		cnfldbas 20601	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19		cnfld0 20622	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
20		cndrng 20627	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
21	18, 19, 20	drngui 19997	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
22		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
23	21, 22	unitsubm 19912	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
24	13	subsubm 18455	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ({1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
25	17, 23, 24	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})))
26	16, 25	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
27	26	simpli 484	. . . 4 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
28		1z 12350	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
29		neg1z 12356	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
30		prssi 4754	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
31	28, 29, 30	mp2an 689	. . . 4 ⊢ {1, -1} ⊆ ℤ
32		zsubrg 20651	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
33	22	subrgsubm 20037	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
34		zringmpg 20693	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
35	34	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℤring) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
36	35	subsubm 18455	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring)) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ ℤ)))
37	32, 33, 36	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring)) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ ℤ))
38	27, 31, 37	mpbir2an 708	. . 3 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring))
39		zex 12328	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
40		ressabs 16959	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ ℤ) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
41	39, 31, 40	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
42	34	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℤring) ↾s {1, -1})
43	41, 42	eqtr3i 2768	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℤring) ↾s {1, -1})
44	43	resmhm2 18460	. . 3 ⊢ (((pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring))) → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring)))
45	12, 38, 44	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring)))
46		mhmco 18462	. 2 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ∧ (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring))) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
47	6, 45, 46	syl2an 596	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561  {cpr 4563   ∘ ccom 5593  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872  -cneg 11206  ℤcz 12319   ↾_s cress 16941   MndHom cmhm 18428  SubMndcsubmnd 18429  SubGrpcsubg 18749   GrpHom cghm 18831  SymGrpcsymg 18974  pmSgncpsgn 19097  mulGrpcmgp 19720  Ringcrg 19783   RingHom crh 19956  SubRingcsubrg 20020  ℂ_fldccnfld 20597  ℤ_ringczring 20670  ℤRHomczrh 20701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-concat 14274  df-s1 14301  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-splice 14463  df-reverse 14472  df-s2 14561  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-efmnd 18508  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-gim 18875  df-oppg 18950  df-symg 18975  df-pmtr 19050  df-psgn 19099  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705

This theorem is referenced by:  madetsumid  21610  mdetleib2  21737  mdetf  21744  mdetdiaglem  21747  mdetrlin  21751  mdetrsca  21752  mdetralt  21757  mdetunilem7  21767  mdetunilem8  21768