Theorem zrhpsgnmhm 21136

Description: Embedding of permutation signs into an arbitrary ring is a homomorphism. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zrhpsgnmhm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))

Proof of Theorem zrhpsgnmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
2	1	zrhrhm 21060	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘ℤring) = (mulGrp‘ℤring)
4		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	3, 4	rhmmhm 20257	. . 3 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
7		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (SymGrp‘𝐴) = (SymGrp‘𝐴)
8		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (pmSgn‘𝐴) = (pmSgn‘𝐴)
9		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
10	7, 8, 9	psgnghm2 21133	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
11		ghmmhm 19101	. . . 4 ⊢ ((pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) GrpHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})))
13		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
14	13	cnmsgnsubg 21129	. . . . . . 7 ⊢ {1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
15		subgsubm 19027	. . . . . . 7 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubGrp‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) → {1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0})))
17		cnring 20966	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
18		cnfldbas 20947	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
19		cnfld0 20968	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
20		cndrng 20973	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
21	18, 19, 20	drngui 20362	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
22		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
23	21, 22	unitsubm 20199	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
24	13	subsubm 18696	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ({1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))))
25	17, 23, 24	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0})))
26	16, 25	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ (ℂ ∖ {0}))
27	26	simpli 484	. . . 4 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld))
28		1z 12591	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
29		neg1z 12597	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℤ
30		prssi 4824	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
31	28, 29, 30	mp2an 690	. . . 4 ⊢ {1, -1} ⊆ ℤ
32		zsubrg 20997	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
33	22	subrgsubm 20331	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
34		zringmpg 21040	. . . . . . 7 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
35	34	eqcomi 2741	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘ℤring) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
36	35	subsubm 18696	. . . . 5 ⊢ (ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) → ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring)) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ ℤ)))
37	32, 33, 36	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring)) ↔ ({1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ {1, -1} ⊆ ℤ))
38	27, 31, 37	mpbir2an 709	. . 3 ⊢ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring))
39		zex 12566	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
40		ressabs 17193	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ {1, -1} ⊆ ℤ) → (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}))
41	39, 31, 40	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})
42	34	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℤring) ↾s {1, -1})
43	41, 42	eqtr3i 2762	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1}) = ((mulGrp‘ℤring) ↾s {1, -1})
44	43	resmhm2 18701	. . 3 ⊢ (((pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom ((mulGrp‘ℂfld) ↾s {1, -1})) ∧ {1, -1} ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℤring))) → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring)))
45	12, 38, 44	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring)))
46		mhmco 18703	. 2 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) ∈ ((mulGrp‘ℤring) MndHom (mulGrp‘𝑅)) ∧ (pmSgn‘𝐴) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘ℤring))) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))
47	6, 45, 46	syl2an 596	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝐴)) ∈ ((SymGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110  -cneg 11444  ℤcz 12557   ↾_s cress 17172   MndHom cmhm 18668  SubMndcsubmnd 18669  SubGrpcsubg 18999   GrpHom cghm 19088  SymGrpcsymg 19233  pmSgncpsgn 19356  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055   RingHom crh 20247  SubRingcsubrg 20314  ℂ_fldccnfld 20943  ℤ_ringczring 21016  ℤRHomczrh 21048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-word 14464  df-lsw 14512  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-splice 14699  df-reverse 14708  df-s2 14798  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-efmnd 18749  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-gim 19132  df-oppg 19209  df-symg 19234  df-pmtr 19309  df-psgn 19358  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052

This theorem is referenced by:  madetsumid  21962  mdetleib2  22089  mdetf  22096  mdetdiaglem  22099  mdetrlin  22103  mdetrsca  22104  mdetralt  22109  mdetunilem7  22119  mdetunilem8  22120