Theorem rnasclassa 22215

Description: The scalar multiples of the unit vector form a subalgebra of the vectors. (Contributed by SN, 16-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnasclassa.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
rnasclassa.u	⊢ 𝑈 = (𝑊 ↾s ran 𝐴)
rnasclassa.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)

Assertion

Ref	Expression
rnasclassa	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem rnasclassa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3935	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐴)
2		rnasclassa.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
3		rnasclassa.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
4	3, 2	rnasclsubrg 22213	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊))
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
6	3, 5	issubassa2 22212	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (ran 𝐴 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ ran 𝐴 ⊆ ran 𝐴))
7		rnasclassa.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑊 ↾s ran 𝐴)
8	7, 5	issubassa3 22186	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ ran 𝐴 ∈ (LSubSp‘𝑊))) → 𝑈 ∈ AssAlg)
9	8	expr 462	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (ran 𝐴 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑈 ∈ AssAlg))
10	6, 9	sylbird 263	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (ran 𝐴 ⊆ ran 𝐴 → 𝑈 ∈ AssAlg))
11	2, 4, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐴 ⊆ ran 𝐴 → 𝑈 ∈ AssAlg))
12	1, 11	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ AssAlg)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899  ran crn 5655  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ↾_s cress 17420  SubRingcsubrg 20833  LSubSpclss 21218  AssAlgcasa 22170  algSccascl 22172

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-0g 17624  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-subg 19345  df-ghm 19440  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-rhm 20714  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-assa 22173  df-ascl 22175

This theorem is used by: (None)