Theorem rnasclassa 21821

Description: The scalar multiples of the unit vector form a subalgebra of the vectors. (Contributed by SN, 16-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnasclassa.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
rnasclassa.u	⊢ 𝑈 = (𝑊 ↾s ran 𝐴)
rnasclassa.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)

Assertion

Ref	Expression
rnasclassa	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem rnasclassa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3961	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐴)
2		rnasclassa.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
3		rnasclassa.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
4	3, 2	rnasclsubrg 21819	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊))
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
6	3, 5	issubassa2 21818	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (ran 𝐴 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ ran 𝐴 ⊆ ran 𝐴))
7		rnasclassa.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑊 ↾s ran 𝐴)
8	7, 5	issubassa3 21792	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ ran 𝐴 ∈ (LSubSp‘𝑊))) → 𝑈 ∈ AssAlg)
9	8	expr 456	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (ran 𝐴 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑈 ∈ AssAlg))
10	6, 9	sylbird 260	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (ran 𝐴 ⊆ ran 𝐴 → 𝑈 ∈ AssAlg))
11	2, 4, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐴 ⊆ ran 𝐴 → 𝑈 ∈ AssAlg))
12	1, 11	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  ran crn 5624  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↾_s cress 17160  SubRingcsubrg 20473  LSubSpclss 20853  AssAlgcasa 21776  algSccascl 21778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18676  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-subg 19021  df-ghm 19111  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-rhm 20376  df-subrng 20450  df-subrg 20474  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894  df-assa 21779  df-ascl 21781

This theorem is referenced by: (None)