Theorem rnasclassa 22113

Description: The scalar multiples of the unit vector form a subalgebra of the vectors. (Contributed by SN, 16-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnasclassa.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
rnasclassa.u	⊢ 𝑈 = (𝑊 ↾s ran 𝐴)
rnasclassa.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)

Assertion

Ref	Expression
rnasclassa	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem rnasclassa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssidd 3954	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ⊆ ran 𝐴)
2		rnasclassa.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
3		rnasclassa.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
4	3, 2	rnasclsubrg 22111	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊))
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
6	3, 5	issubassa2 22110	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (ran 𝐴 ∈ (LSubSp‘𝑊) ↔ ran 𝐴 ⊆ ran 𝐴))
7		rnasclassa.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑊 ↾s ran 𝐴)
8	7, 5	issubassa3 22084	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ (ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊) ∧ ran 𝐴 ∈ (LSubSp‘𝑊))) → 𝑈 ∈ AssAlg)
9	8	expr 462	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (ran 𝐴 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑈 ∈ AssAlg))
10	6, 9	sylbird 263	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ AssAlg ∧ ran 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑊)) → (ran 𝐴 ⊆ ran 𝐴 → 𝑈 ∈ AssAlg))
11	2, 4, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐴 ⊆ ran 𝐴 → 𝑈 ∈ AssAlg))
12	1, 11	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ AssAlg)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↾_s cress 17325  SubRingcsubrg 20734  LSubSpclss 21118  AssAlgcasa 22068  algSccascl 22070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-sca 17361  df-vsca 17362  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-submnd 18895  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-rhm 20616  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-lmod 21049  df-lss 21119  df-lsp 21159  df-assa 22071  df-ascl 22073

This theorem is used by: (None)