Theorem unitscyglem5 42172

Description: Lemma for unitscyg (Contributed by metakunt, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitscyglem5.1	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
unitscyglem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
unitscyglem5.3	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
unitscyglem5.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
unitscyglem5.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ (♯‘(Base‘𝐺)))

Assertion

Ref	Expression
unitscyglem5	⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷) ≠ ∅)

Proof of Theorem unitscyglem5

Dummy variables 𝑚 𝑜 𝑤 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitscyglem5.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
2	1	phicld 16701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝐷) ∈ ℕ)
3		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
5		unitscyglem5.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
6	5	idomringd 20631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8		unitscyglem5.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
9	7, 8	unitgrp 20286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
11		unitscyglem5.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
12		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
13	8, 12	ressbasss 17168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
15		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	15, 16	mgpbas 20048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	eqimsscd 3995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ⊆ (Base‘𝑅))
20	14, 19	sstrd 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑅))
21	11, 20	ssfid 9170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ Fin)
22	17	eqcomi 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅)
23	22, 7	unitss 20279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
27	8, 12	ressbasssg 17166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝐺) ⊆ ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
29		inss1 4190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) ⊆ (Unit‘𝑅)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) ⊆ (Unit‘𝑅))
31	28, 30	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ (Unit‘𝑅))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (Base‘𝐺) ⊆ (Unit‘𝑅))
33	32	sseld 3936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑅)))
34	33	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑅))
35		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦 ∈ ℕ)
37	8, 26, 34, 36	ressmulgnnd 18975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧))
38	37	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺) ↔ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)))
39	38	rabbidva 3403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} = {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)})
40	39	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) = (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
41		fvex 6839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
42	41	rabex 5281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V)
44		hashxrcl 14282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
46	40, 45	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
47		fvex 6839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
48	47	rabex 5281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V)
50		hashxrcl 14282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
52		nnre 12153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
54	53	rexrd 11184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
55		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
56	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑅))
57	56	sseld 3936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
58	55, 57	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
59	58	rabss3d 4034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ⊆ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)})
60	49, 59	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ({𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V ∧ {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ⊆ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
61		hashss 14334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V ∧ {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ⊆ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
63	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
64		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
65	7, 8, 64	unitgrpid 20288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
66	6, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
67	66	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅))
68	16, 64	ringidcl 20168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
69	6, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
70	67, 69	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝑅))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝑅))
72		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
73	16, 72	idomrootle 26094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
74	63, 71, 35, 73	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
75	46, 51, 54, 62, 74	xrletrd 13082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
76	40, 75	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
77	76	ralrimiva 3121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
78		unitscyglem5.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ (♯‘(Base‘𝐺)))
79	3, 4, 10, 21, 77, 1, 78	unitscyglem4 42171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))
80	79	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∈ ℕ ↔ (ϕ‘𝐷) ∈ ℕ))
81	2, 80	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∈ ℕ)
82	81	nngt0d 12195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}))
83	41	rabex 5281	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ∈ V)
85		hashneq0 14289	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ∈ V → (0 < (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ↔ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅))
86	84, 85	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ↔ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅))
87	82, 86	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅)
88		n0 4306	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷})
89	87, 88	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷})
90		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
91		fveqeq2 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
92	91	elrab 3650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ↔ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
93	92	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} → (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
94	93	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) → (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
95		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → 𝜑)
96		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → 𝑚 ∈ (Base‘𝐺))
97		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)
98	95, 96, 97	jca31 514	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
99	5	idomcringd 20630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
100	15	crngmgp 20144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
102	101	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
103	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ)
104	14	sselda 3937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑚 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
105	104	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
106	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
107	7, 15	unitsubm 20289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
109	105, 22	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
110	102	cmnmndd 19701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
111	1	nnzd 12516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
112		1zzd 12524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
113	111, 112	zsubcld 12603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 1) ∈ ℤ)
114		1cnd 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
115	114	addridd 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) = 1)
116	1	nnge1d 12194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐷)
117	115, 116	eqbrtrd 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) ≤ 𝐷)
118		1red 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
119		0red 11137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
120	1	nnred 12161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
121	118, 119, 120	leaddsub2d 11740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((1 + 0) ≤ 𝐷 ↔ 0 ≤ (𝐷 − 1)))
122	117, 121	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐷 − 1))
123	113, 122	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐷 − 1)))
124		elnn0z 12502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐷 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐷 − 1)))
125	123, 124	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 1) ∈ ℕ0)
126	125	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐷 − 1) ∈ ℕ0)
127	126	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷 − 1) ∈ ℕ0)
128	17, 72, 110, 127, 109	mulgnn0cld 18992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) ∈ (Base‘𝑅))
129		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) ∧ 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)) → 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
130	129	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) ∧ 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)) → (𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚))
131	130	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) ∧ 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)) → ((𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅) ↔ (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅)))
132		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
133	15, 132	mgpplusg 20047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
135	134	oveqd 7370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
136	103	nncnd 12162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
137		1cnd 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
138	136, 137	npcand 11497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((𝐷 − 1) + 1) = 𝐷)
139	138	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 = ((𝐷 − 1) + 1))
140	139	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (((𝐷 − 1) + 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
141		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
142	12, 72, 141	mulgnn0p1 18982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (𝐷 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (((𝐷 − 1) + 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
143	110, 127, 105, 142	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1) + 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
144	140, 143	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
145	15, 64	ringidval 20086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
147	146	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
148	7, 64	1unit 20277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
149	6, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
150	147, 149	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
151	150	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
152	151	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
153	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
154		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
155	8, 12, 154	ress0g 18654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘𝐺))
156	110, 152, 153, 155	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘𝐺))
157		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)
158	157	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 = ((od‘𝐺)‘𝑚))
159	158	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘𝐺)𝑚) = (((od‘𝐺)‘𝑚)(.g‘𝐺)𝑚))
160		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
161		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
162	3, 160, 4, 161	odid 19435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) → (((od‘𝐺)‘𝑚)(.g‘𝐺)𝑚) = (0g‘𝐺))
163	162	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((od‘𝐺)‘𝑚)(.g‘𝐺)𝑚) = (0g‘𝐺))
164	159, 163	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘𝐺)𝑚) = (0g‘𝐺))
165	164	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘𝐺) = (𝐷(.g‘𝐺)𝑚))
166	156, 165	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝐷(.g‘𝐺)𝑚))
167	31	sselda 3937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅))
168	167	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅))
169	8, 153, 168, 103	ressmulgnnd 18975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘𝐺)𝑚) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
170	166, 169	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
171	144, 170	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
172	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
173	172	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
174	171, 173	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (1r‘𝑅))
175	135, 174	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅))
176	128, 131, 175	rspcedvd 3581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ∃𝑜 ∈ (Base‘𝑅)(𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅))
177	109, 176	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑜 ∈ (Base‘𝑅)(𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅)))
178		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
179	16, 178, 132	dvdsr 20265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑜 ∈ (Base‘𝑅)(𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅)))
180	177, 179	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
181	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
182	181	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑅 ∈ CRing)
183	7, 64, 178	crngunit 20281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝑚 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
185	180, 184	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅))
186		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (od‘(mulGrp‘𝑅)) = (od‘(mulGrp‘𝑅))
187	8, 186, 160	submod 19466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((od‘(mulGrp‘𝑅))‘𝑚) = ((od‘𝐺)‘𝑚))
188	108, 185, 187	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((od‘(mulGrp‘𝑅))‘𝑚) = ((od‘𝐺)‘𝑚))
189	188, 157	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((od‘(mulGrp‘𝑅))‘𝑚) = 𝐷)
190	102, 103, 105, 189	isprimroot2 42067	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
191	98, 190	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
192	94, 191	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
193	192	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷)))
194	90, 193	eximd 2217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} → ∃𝑚 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷)))
195	89, 194	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
196		n0 4306	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷) ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
197	195, 196	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3396  Vcvv 3438   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ♯chash 14255   ∥ cdvds 16181  ϕcphi 16693  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361  Mndcmnd 18626  SubMndcsubmnd 18674  Grpcgrp 18830  ._gcmg 18964  odcod 19421  CMndccmn 19677  mulGrpcmgp 20043  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137  ∥_rcdsr 20257  Unitcui 20258  IDomncidom 20596   PrimRoots cprimroots 42064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5063  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-ico 13272  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-phi 16695  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-eqg 19022  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-od 19425  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-rhm 20375  df-nzr 20416  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-rlreg 20597  df-domn 20598  df-idom 20599  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-cnfld 21280  df-assa 21778  df-asp 21779  df-ascl 21780  df-psr 21834  df-mvr 21835  df-mpl 21836  df-opsr 21838  df-evls 21997  df-evl 21998  df-psr1 22080  df-vr1 22081  df-ply1 22082  df-coe1 22083  df-evl1 22219  df-mdeg 25976  df-deg1 25977  df-mon1 26052  df-uc1p 26053  df-q1p 26054  df-r1p 26055  df-primroots 42065

This theorem is referenced by:  aks5lem7  42173