Theorem unitscyglem5 42181

Description: Lemma for unitscyg (Contributed by metakunt, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitscyglem5.1	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
unitscyglem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
unitscyglem5.3	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
unitscyglem5.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
unitscyglem5.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ (♯‘(Base‘𝐺)))

Assertion

Ref	Expression
unitscyglem5	⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷) ≠ ∅)

Proof of Theorem unitscyglem5

Dummy variables 𝑚 𝑜 𝑤 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitscyglem5.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
2	1	phicld 16806	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝐷) ∈ ℕ)
3		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
5		unitscyglem5.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
6	5	idomringd 20745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8		unitscyglem5.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
9	7, 8	unitgrp 20400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
11		unitscyglem5.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
12		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
13	8, 12	ressbasss 17284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
15		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	15, 16	mgpbas 20158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	eqimsscd 4053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ⊆ (Base‘𝑅))
20	14, 19	sstrd 4006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑅))
21	11, 20	ssfid 9299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ Fin)
22	17	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅)
23	22, 7	unitss 20393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
27	8, 12	ressbasssg 17282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝐺) ⊆ ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
29		inss1 4245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) ⊆ (Unit‘𝑅)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) ⊆ (Unit‘𝑅))
31	28, 30	sstrd 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ (Unit‘𝑅))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (Base‘𝐺) ⊆ (Unit‘𝑅))
33	32	sseld 3994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑅)))
34	33	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑅))
35		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦 ∈ ℕ)
37	8, 26, 34, 36	ressmulgnnd 19109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧))
38	37	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺) ↔ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)))
39	38	rabbidva 3440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} = {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)})
40	39	fveq2d 6911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) = (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
41		fvex 6920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
42	41	rabex 5345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V)
44		hashxrcl 14393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
46	40, 45	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
47		fvex 6920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
48	47	rabex 5345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V)
50		hashxrcl 14393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
52		nnre 12271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
54	53	rexrd 11309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
55		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
56	20	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑅))
57	56	sseld 3994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
58	55, 57	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
59	58	rabss3d 4091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ⊆ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)})
60	49, 59	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ({𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V ∧ {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ⊆ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
61		hashss 14445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V ∧ {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ⊆ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
63	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
64		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
65	7, 8, 64	unitgrpid 20402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
66	6, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
67	66	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅))
68	16, 64	ringidcl 20280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
69	6, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
70	67, 69	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝑅))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝑅))
72		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
73	16, 72	idomrootle 26227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
74	63, 71, 35, 73	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
75	46, 51, 54, 62, 74	xrletrd 13201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
76	40, 75	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
77	76	ralrimiva 3144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
78		unitscyglem5.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ (♯‘(Base‘𝐺)))
79	3, 4, 10, 21, 77, 1, 78	unitscyglem4 42180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))
80	79	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∈ ℕ ↔ (ϕ‘𝐷) ∈ ℕ))
81	2, 80	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∈ ℕ)
82	81	nngt0d 12313	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}))
83	41	rabex 5345	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ∈ V)
85		hashneq0 14400	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ∈ V → (0 < (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ↔ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅))
86	84, 85	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ↔ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅))
87	82, 86	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅)
88		n0 4359	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷})
89	87, 88	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷})
90		nfv 1912	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
91		fveqeq2 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
92	91	elrab 3695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ↔ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
93	92	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} → (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
94	93	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) → (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
95		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → 𝜑)
96		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → 𝑚 ∈ (Base‘𝐺))
97		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)
98	95, 96, 97	jca31 514	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
99	5	idomcringd 20744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
100	15	crngmgp 20259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
102	101	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
103	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ)
104	14	sselda 3995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑚 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
105	104	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
106	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
107	7, 15	unitsubm 20403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
109	105, 22	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
110	102	cmnmndd 19837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
111	1	nnzd 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
112		1zzd 12646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
113	111, 112	zsubcld 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 1) ∈ ℤ)
114		1cnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
115	114	addridd 11459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) = 1)
116	1	nnge1d 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐷)
117	115, 116	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) ≤ 𝐷)
118		1red 11260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
119		0red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
120	1	nnred 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
121	118, 119, 120	leaddsub2d 11863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((1 + 0) ≤ 𝐷 ↔ 0 ≤ (𝐷 − 1)))
122	117, 121	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐷 − 1))
123	113, 122	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐷 − 1)))
124		elnn0z 12624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐷 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐷 − 1)))
125	123, 124	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 1) ∈ ℕ0)
126	125	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐷 − 1) ∈ ℕ0)
127	126	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷 − 1) ∈ ℕ0)
128	17, 72, 110, 127, 109	mulgnn0cld 19126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) ∈ (Base‘𝑅))
129		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) ∧ 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)) → 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
130	129	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) ∧ 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)) → (𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚))
131	130	eqeq1d 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) ∧ 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)) → ((𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅) ↔ (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅)))
132		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
133	15, 132	mgpplusg 20156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
135	134	oveqd 7448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
136	103	nncnd 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
137		1cnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
138	136, 137	npcand 11622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((𝐷 − 1) + 1) = 𝐷)
139	138	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 = ((𝐷 − 1) + 1))
140	139	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (((𝐷 − 1) + 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
141		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
142	12, 72, 141	mulgnn0p1 19116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (𝐷 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (((𝐷 − 1) + 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
143	110, 127, 105, 142	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1) + 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
144	140, 143	eqtr2d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
145	15, 64	ringidval 20201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
147	146	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
148	7, 64	1unit 20391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
149	6, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
150	147, 149	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
151	150	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
152	151	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
153	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
154		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
155	8, 12, 154	ress0g 18788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘𝐺))
156	110, 152, 153, 155	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘𝐺))
157		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)
158	157	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 = ((od‘𝐺)‘𝑚))
159	158	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘𝐺)𝑚) = (((od‘𝐺)‘𝑚)(.g‘𝐺)𝑚))
160		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
161		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
162	3, 160, 4, 161	odid 19571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) → (((od‘𝐺)‘𝑚)(.g‘𝐺)𝑚) = (0g‘𝐺))
163	162	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((od‘𝐺)‘𝑚)(.g‘𝐺)𝑚) = (0g‘𝐺))
164	159, 163	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘𝐺)𝑚) = (0g‘𝐺))
165	164	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘𝐺) = (𝐷(.g‘𝐺)𝑚))
166	156, 165	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝐷(.g‘𝐺)𝑚))
167	31	sselda 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅))
168	167	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅))
169	8, 153, 168, 103	ressmulgnnd 19109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘𝐺)𝑚) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
170	166, 169	eqtr2d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
171	144, 170	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
172	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
173	172	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
174	171, 173	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (1r‘𝑅))
175	135, 174	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅))
176	128, 131, 175	rspcedvd 3624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ∃𝑜 ∈ (Base‘𝑅)(𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅))
177	109, 176	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑜 ∈ (Base‘𝑅)(𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅)))
178		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
179	16, 178, 132	dvdsr 20379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑜 ∈ (Base‘𝑅)(𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅)))
180	177, 179	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
181	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
182	181	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑅 ∈ CRing)
183	7, 64, 178	crngunit 20395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝑚 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
185	180, 184	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅))
186		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (od‘(mulGrp‘𝑅)) = (od‘(mulGrp‘𝑅))
187	8, 186, 160	submod 19602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((od‘(mulGrp‘𝑅))‘𝑚) = ((od‘𝐺)‘𝑚))
188	108, 185, 187	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((od‘(mulGrp‘𝑅))‘𝑚) = ((od‘𝐺)‘𝑚))
189	188, 157	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((od‘(mulGrp‘𝑅))‘𝑚) = 𝐷)
190	102, 103, 105, 189	isprimroot2 42076	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
191	98, 190	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
192	94, 191	mpdan 687	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
193	192	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷)))
194	90, 193	eximd 2214	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} → ∃𝑚 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷)))
195	89, 194	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
196		n0 4359	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷) ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
197	195, 196	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ♯chash 14366   ∥ cdvds 16287  ϕcphi 16798  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  Grpcgrp 18964  ._gcmg 19098  odcod 19557  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  ∥_rcdsr 20371  Unitcui 20372  IDomncidom 20710   PrimRoots cprimroots 42073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-phi 16800  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-od 19561  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-rhm 20489  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-idom 20713  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-cnfld 21383  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-evl1 22336  df-mdeg 26109  df-deg1 26110  df-mon1 26185  df-uc1p 26186  df-q1p 26187  df-r1p 26188  df-primroots 42074

This theorem is referenced by:  aks5lem7  42182