Theorem unitscyglem5 43169

Description: Lemma for unitscyg . (Contributed by metakunt, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitscyglem5.1	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
unitscyglem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
unitscyglem5.3	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
unitscyglem5.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
unitscyglem5.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ (♯‘(Base‘𝐺)))

Assertion

Ref	Expression
unitscyglem5	⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷) ≠ ∅)

Proof of Theorem unitscyglem5

Dummy variables 𝑚 𝑜 𝑤 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitscyglem5.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
2	1	phicld 16910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝐷) ∈ ℕ)
3		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
5		unitscyglem5.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
6	5	idomringd 20940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8		unitscyglem5.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
9	7, 8	unitgrp 20574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
10	6, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
11		unitscyglem5.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
12		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
13	8, 12	ressbasss 17378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
15		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	15, 16	mgpbas 20326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	eqimsscd 3987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ⊆ (Base‘𝑅))
20	14, 19	sstrd 3940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑅))
21	11, 20	ssfid 9238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ Fin)
22	17	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅)
23	22, 7	unitss 20567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
27	8, 12	ressbasssg 17376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝐺) ⊆ ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
29		inss1 4181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) ⊆ (Unit‘𝑅)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) ⊆ (Unit‘𝑅))
31	28, 30	sstrd 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ (Unit‘𝑅))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (Base‘𝐺) ⊆ (Unit‘𝑅))
33	32	sseld 3929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑅)))
34	33	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑅))
35		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦 ∈ ℕ)
37	8, 26, 34, 36	ressmulgnnd 19249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧))
38	37	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺) ↔ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)))
39	38	rabbidva 3418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} = {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)})
40	39	fveq2d 6877	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) = (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
41		fvex 6886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
42	41	rabex 5299	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V)
44		hashxrcl 14468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
45	43, 44	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
46	40, 45	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
47		fvex 6886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
48	47	rabex 5299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V)
50		hashxrcl 14468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
51	49, 50	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
52		nnre 12311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
54	53	rexrd 11330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
55		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
56	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑅))
57	56	sseld 3929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
58	55, 57	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
59	58	rabss3d 4028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ⊆ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)})
60	49, 59	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ({𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V ∧ {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ⊆ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
61		hashss 14520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V ∧ {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ⊆ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
62	60, 61	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
63	5	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
64		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
65	7, 8, 64	unitgrpid 20576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
66	6, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
67	66	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅))
68	16, 64	ringidcl 20455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
69	6, 68	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
70	67, 69	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝑅))
71	70	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝑅))
72		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
73	16, 72	idomrootle 26452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
74	63, 71, 35, 73	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
75	46, 51, 54, 62, 74	xrletrd 13260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
76	40, 75	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
77	76	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
78		unitscyglem5.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ (♯‘(Base‘𝐺)))
79	3, 4, 10, 21, 77, 1, 78	unitscyglem4 43168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))
80	79	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∈ ℕ ↔ (ϕ‘𝐷) ∈ ℕ))
81	2, 80	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∈ ℕ)
82	81	nngt0d 12356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}))
83	41	rabex 5299	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ∈ V)
85		hashneq0 14475	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ∈ V → (0 < (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ↔ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅))
86	84, 85	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ↔ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅))
87	82, 86	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅)
88		n0 4299	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷})
89	87, 88	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷})
90		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
91		fveqeq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
92	91	elrab 3644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ↔ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
93	92	bilani 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) → (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
94		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → 𝜑)
95		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → 𝑚 ∈ (Base‘𝐺))
96		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)
97	94, 95, 96	jca31 524	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
98	5	idomcringd 20939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
99	15	crngmgp 20428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
100	98, 99	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
101	100	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
102	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ)
103	14	sselda 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑚 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
104	103	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
105	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
106	7, 15	unitsubm 20577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
107	105, 106	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
108	104, 22	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
109	101	cmnmndd 19979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
110	1	nnzd 12688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
111		1zzd 12696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
112	110, 111	zsubcld 12777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 1) ∈ ℤ)
113		1cnd 11273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
114	113	addridd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) = 1)
115	1	nnge1d 12355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐷)
116	114, 115	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) ≤ 𝐷)
117		1red 11280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
118		0red 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
119	1	nnred 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
120	117, 118, 119	leaddsub2d 11887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((1 + 0) ≤ 𝐷 ↔ 0 ≤ (𝐷 − 1)))
121	116, 120	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐷 − 1))
122	112, 121	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐷 − 1)))
123		elnn0z 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐷 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐷 − 1)))
124	122, 123	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 1) ∈ ℕ0)
125	124	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐷 − 1) ∈ ℕ0)
126	125	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷 − 1) ∈ ℕ0)
127	17, 72, 109, 126, 108	mulgnn0cld 19266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) ∈ (Base‘𝑅))
128		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) ∧ 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)) → 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
129	128	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) ∧ 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)) → (𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚))
130	129	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) ∧ 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)) → ((𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅) ↔ (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅)))
131		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
132	15, 131	mgpplusg 20325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
134	133	oveqd 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
135	102	nncnd 12320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
136		1cnd 11273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
137	135, 136	npcand 11644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((𝐷 − 1) + 1) = 𝐷)
138	137	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 = ((𝐷 − 1) + 1))
139	138	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (((𝐷 − 1) + 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
140		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
141	12, 72, 140	mulgnn0p1 19256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (𝐷 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (((𝐷 − 1) + 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
142	109, 126, 104, 141	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1) + 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
143	139, 142	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
144	15, 64	ringidval 20370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
146	145	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
147	7, 64	1unit 20565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
148	6, 147	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
149	146, 148	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
150	149	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
151	150	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
152	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
153		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
154	8, 12, 153	ress0g 18915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘𝐺))
155	109, 151, 152, 154	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘𝐺))
156		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)
157	156	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 = ((od‘𝐺)‘𝑚))
158	157	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘𝐺)𝑚) = (((od‘𝐺)‘𝑚)(.g‘𝐺)𝑚))
159		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
160		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
161	3, 159, 4, 160	odid 19713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) → (((od‘𝐺)‘𝑚)(.g‘𝐺)𝑚) = (0g‘𝐺))
162	161	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((od‘𝐺)‘𝑚)(.g‘𝐺)𝑚) = (0g‘𝐺))
163	158, 162	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘𝐺)𝑚) = (0g‘𝐺))
164	163	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘𝐺) = (𝐷(.g‘𝐺)𝑚))
165	155, 164	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝐷(.g‘𝐺)𝑚))
166	31	sselda 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅))
167	166	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅))
168	8, 152, 167, 102	ressmulgnnd 19249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘𝐺)𝑚) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
169	165, 168	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
170	143, 169	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
171	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
172	171	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
173	170, 172	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (1r‘𝑅))
174	134, 173	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅))
175	127, 130, 174	rspcedvd 3578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ∃𝑜 ∈ (Base‘𝑅)(𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅))
176	108, 175	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑜 ∈ (Base‘𝑅)(𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅)))
177		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
178	16, 177, 131	dvdsr 20553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑜 ∈ (Base‘𝑅)(𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅)))
179	176, 178	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
180	98	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
181	180	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑅 ∈ CRing)
182	7, 64, 177	crngunit 20569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
183	181, 182	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝑚 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
184	179, 183	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅))
185		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (od‘(mulGrp‘𝑅)) = (od‘(mulGrp‘𝑅))
186	8, 185, 159	submod 19744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((od‘(mulGrp‘𝑅))‘𝑚) = ((od‘𝐺)‘𝑚))
187	107, 184, 186	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((od‘(mulGrp‘𝑅))‘𝑚) = ((od‘𝐺)‘𝑚))
188	187, 156	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((od‘(mulGrp‘𝑅))‘𝑚) = 𝐷)
189	101, 102, 104, 188	isprimroot2 43064	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
190	97, 189	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
191	93, 190	mpdan 700	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
192	191	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷)))
193	90, 192	eximd 2252	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} → ∃𝑚 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷)))
194	89, 193	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
195		n0 4299	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷) ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
196	194, 195	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Fincfn 8951  ℝcr 11170  0cc0 11171  1c1 11172   + caddc 11174  ℝ^*cxr 11313   < clt 11314   ≤ cle 11315   − cmin 11512  ℕcn 12304  ℕ₀cn0 12575  ℤcz 12662  ♯chash 14441   ∥ cdvds 16389  ϕcphi 16902  Basecbs 17348   ↾_s cress 17369  +_gcplusg 17389  ._rcmulr 17390  0_gc0g 17571  Mndcmnd 18884  SubMndcsubmnd 18938  Grpcgrp 19105  ._gcmg 19238  odcod 19699  CMndccmn 19955  mulGrpcmgp 20321  1_rcur 20368  Ringcrg 20420  CRingccrg 20421  ∥_rcdsr 20545  Unitcui 20546  IDomncidom 20906   PrimRoots cprimroots 43061

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9953  df-card 9991  df-acn 9994  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-rp 13090  df-ico 13451  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-hash 14442  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-clim 15622  df-sum 15821  df-dvds 16390  df-gcd 16632  df-phi 16904  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-eqg 19296  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-od 19703  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-srg 20374  df-ring 20422  df-cring 20423  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-unit 20549  df-invr 20579  df-rhm 20663  df-nzr 20724  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-rlreg 20907  df-domn 20908  df-idom 20909  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-cnfld 21640  df-assa 22122  df-asp 22123  df-ascl 22124  df-psr 22178  df-mvr 22179  df-mpl 22180  df-opsr 22182  df-evls 22344  df-evl 22345  df-psr1 22459  df-vr1 22460  df-ply1 22461  df-coe1 22462  df-evl1 22595  df-mdeg 26334  df-deg1 26335  df-mon1 26410  df-uc1p 26411  df-q1p 26412  df-r1p 26413  df-primroots 43062

This theorem is used by:  aks5lem7  43170