Theorem unitscyglem5 42638

Description: Lemma for unitscyg . (Contributed by metakunt, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitscyglem5.1	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
unitscyglem5.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
unitscyglem5.3	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
unitscyglem5.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
unitscyglem5.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ (♯‘(Base‘𝐺)))

Assertion

Ref	Expression
unitscyglem5	⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷) ≠ ∅)

Proof of Theorem unitscyglem5

Dummy variables 𝑚 𝑜 𝑤 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitscyglem5.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
2	1	phicld 16742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝐷) ∈ ℕ)
3		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
5		unitscyglem5.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
6	5	idomringd 20705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8		unitscyglem5.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
9	7, 8	unitgrp 20363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
10	6, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
11		unitscyglem5.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ Fin)
12		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
13	8, 12	ressbasss 17209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
15		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
16		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	15, 16	mgpbas 20126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	eqimsscd 3980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ⊆ (Base‘𝑅))
20	14, 19	sstrd 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑅))
21	11, 20	ssfid 9179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ∈ Fin)
22	17	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘𝑅)
23	22, 7	unitss 20356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
27	8, 12	ressbasssg 17207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝐺) ⊆ ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
29		inss1 4178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) ⊆ (Unit‘𝑅)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((Unit‘𝑅) ∩ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) ⊆ (Unit‘𝑅))
31	28, 30	sstrd 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐺) ⊆ (Unit‘𝑅))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (Base‘𝐺) ⊆ (Unit‘𝑅))
33	32	sseld 3921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑅)))
34	33	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑧 ∈ (Unit‘𝑅))
35		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑦 ∈ ℕ)
37	8, 26, 34, 36	ressmulgnnd 19054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧))
38	37	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺) ↔ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)))
39	38	rabbidva 3396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} = {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)})
40	39	fveq2d 6845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) = (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
41		fvex 6854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
42	41	rabex 5281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V)
44		hashxrcl 14319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
46	40, 45	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
47		fvex 6854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
48	47	rabex 5281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V)
50		hashxrcl 14319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ∈ ℝ*)
52		nnre 12181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ)
54	53	rexrd 11195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ*)
55		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
56	20	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → (Base‘𝐺) ⊆ (Base‘𝑅))
57	56	sseld 3921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)))
58	55, 57	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
59	58	rabss3d 4022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ⊆ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)})
60	49, 59	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ({𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V ∧ {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ⊆ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
61		hashss 14371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ∈ V ∧ {𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)} ⊆ {𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}))
63	5	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ IDomn)
64		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
65	7, 8, 64	unitgrpid 20365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
66	6, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (0g‘𝐺))
67	66	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) = (1r‘𝑅))
68	16, 64	ringidcl 20246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
69	6, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
70	67, 69	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝑅))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝑅))
72		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑅)) = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
73	16, 72	idomrootle 26138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ (0g‘𝐺) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
74	63, 71, 35, 73	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝑅) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
75	46, 51, 54, 62, 74	xrletrd 13113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
76	40, 75	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
77	76	ralrimiva 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ (♯‘{𝑧 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝑧) = (0g‘𝐺)}) ≤ 𝑦)
78		unitscyglem5.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∥ (♯‘(Base‘𝐺)))
79	3, 4, 10, 21, 77, 1, 78	unitscyglem4 42637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) = (ϕ‘𝐷))
80	79	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∈ ℕ ↔ (ϕ‘𝐷) ∈ ℕ))
81	2, 80	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∈ ℕ)
82	81	nngt0d 12226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}))
83	41	rabex 5281	. . . . . . 7 ⊢ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ∈ V
84	83	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ∈ V)
85		hashneq0 14326	. . . . . 6 ⊢ ({𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ∈ V → (0 < (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ↔ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅))
86	84, 85	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 < (♯‘{𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ↔ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅))
87	82, 86	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅)
88		n0 4294	. . . 4 ⊢ ({𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷})
89	87, 88	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷})
90		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
91		fveqeq2 6850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷 ↔ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
92	91	elrab 3635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} ↔ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
93	92	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} → (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
94	93	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) → (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
95		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → 𝜑)
96		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → 𝑚 ∈ (Base‘𝐺))
97		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)
98	95, 96, 97	jca31 514	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷))
99	5	idomcringd 20704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
100	15	crngmgp 20222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
102	101	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
103	1	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℕ)
104	14	sselda 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑚 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
105	104	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
106	6	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
107	7, 15	unitsubm 20366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
109	105, 22	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Base‘𝑅))
110	102	cmnmndd 19779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
111	1	nnzd 12550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
112		1zzd 12558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
113	111, 112	zsubcld 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 1) ∈ ℤ)
114		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
115	114	addridd 11346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) = 1)
116	1	nnge1d 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐷)
117	115, 116	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 + 0) ≤ 𝐷)
118		1red 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
119		0red 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
120	1	nnred 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
121	118, 119, 120	leaddsub2d 11752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((1 + 0) ≤ 𝐷 ↔ 0 ≤ (𝐷 − 1)))
122	117, 121	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐷 − 1))
123	113, 122	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐷 − 1)))
124		elnn0z 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 − 1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐷 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐷 − 1)))
125	123, 124	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 1) ∈ ℕ0)
126	125	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐷 − 1) ∈ ℕ0)
127	126	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷 − 1) ∈ ℕ0)
128	17, 72, 110, 127, 109	mulgnn0cld 19071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) ∈ (Base‘𝑅))
129		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) ∧ 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)) → 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
130	129	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) ∧ 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)) → (𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚))
131	130	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) ∧ 𝑜 = ((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)) → ((𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅) ↔ (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅)))
132		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
133	15, 132	mgpplusg 20125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
135	134	oveqd 7384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
136	103	nncnd 12190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
137		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 1 ∈ ℂ)
138	136, 137	npcand 11509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((𝐷 − 1) + 1) = 𝐷)
139	138	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 = ((𝐷 − 1) + 1))
140	139	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (((𝐷 − 1) + 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
141		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
142	12, 72, 141	mulgnn0p1 19061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (𝐷 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (((𝐷 − 1) + 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
143	110, 127, 105, 142	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1) + 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
144	140, 143	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
145	15, 64	ringidval 20164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
147	146	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
148	7, 64	1unit 20354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
149	6, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
150	147, 149	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
151	150	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
152	151	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
153	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
154		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
155	8, 12, 154	ress0g 18730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝑅))) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘𝐺))
156	110, 152, 153, 155	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘𝐺))
157		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)
158	157	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝐷 = ((od‘𝐺)‘𝑚))
159	158	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘𝐺)𝑚) = (((od‘𝐺)‘𝑚)(.g‘𝐺)𝑚))
160		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
161		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
162	3, 160, 4, 161	odid 19513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) → (((od‘𝐺)‘𝑚)(.g‘𝐺)𝑚) = (0g‘𝐺))
163	162	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((od‘𝐺)‘𝑚)(.g‘𝐺)𝑚) = (0g‘𝐺))
164	159, 163	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘𝐺)𝑚) = (0g‘𝐺))
165	164	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘𝐺) = (𝐷(.g‘𝐺)𝑚))
166	156, 165	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (𝐷(.g‘𝐺)𝑚))
167	31	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅))
168	167	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅))
169	8, 153, 168, 103	ressmulgnnd 19054	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘𝐺)𝑚) = (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚))
170	166, 169	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝐷(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
171	144, 170	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
172	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
173	172	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
174	171, 173	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚) = (1r‘𝑅))
175	135, 174	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (((𝐷 − 1)(.g‘(mulGrp‘𝑅))𝑚)(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅))
176	128, 131, 175	rspcedvd 3567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ∃𝑜 ∈ (Base‘𝑅)(𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅))
177	109, 176	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑜 ∈ (Base‘𝑅)(𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅)))
178		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
179	16, 178, 132	dvdsr 20342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ↔ (𝑚 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∃𝑜 ∈ (Base‘𝑅)(𝑜(.r‘𝑅)𝑚) = (1r‘𝑅)))
180	177, 179	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
181	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
182	181	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑅 ∈ CRing)
183	7, 64, 178	crngunit 20358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑚 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → (𝑚 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ 𝑚(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
185	180, 184	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅))
186		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (od‘(mulGrp‘𝑅)) = (od‘(mulGrp‘𝑅))
187	8, 186, 160	submod 19544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((od‘(mulGrp‘𝑅))‘𝑚) = ((od‘𝐺)‘𝑚))
188	108, 185, 187	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((od‘(mulGrp‘𝑅))‘𝑚) = ((od‘𝐺)‘𝑚))
189	188, 157	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → ((od‘(mulGrp‘𝑅))‘𝑚) = 𝐷)
190	102, 103, 105, 189	isprimroot2 42533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (Base‘𝐺)) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
191	98, 190	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) ∧ (𝑚 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((od‘𝐺)‘𝑚) = 𝐷)) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
192	94, 191	mpdan 688	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷}) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
193	192	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷)))
194	90, 193	eximd 2224	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚 𝑚 ∈ {𝑤 ∈ (Base‘𝐺) ∣ ((od‘𝐺)‘𝑤) = 𝐷} → ∃𝑚 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷)))
195	89, 194	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
196		n0 4294	. 2 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷) ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷))
197	195, 196	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝑅) PrimRoots 𝐷) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ♯chash 14292   ∥ cdvds 16221  ϕcphi 16734  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702  SubMndcsubmnd 18750  Grpcgrp 18909  ._gcmg 19043  odcod 19499  CMndccmn 19755  mulGrpcmgp 20121  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  CRingccrg 20215  ∥_rcdsr 20334  Unitcui 20335  IDomncidom 20670   PrimRoots cprimroots 42530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-phi 16736  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-eqg 19101  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-od 19503  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-srg 20168  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-rhm 20452  df-nzr 20490  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-rlreg 20671  df-domn 20672  df-idom 20673  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-cnfld 21353  df-assa 21833  df-asp 21834  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mvr 21890  df-mpl 21891  df-opsr 21893  df-evls 22052  df-evl 22053  df-psr1 22143  df-vr1 22144  df-ply1 22145  df-coe1 22146  df-evl1 22281  df-mdeg 26020  df-deg1 26021  df-mon1 26096  df-uc1p 26097  df-q1p 26098  df-r1p 26099  df-primroots 42531

This theorem is referenced by:  aks5lem7  42639