Theorem rrgsubm 33545

Description: The left regular elements of a ring form a submonoid of the multiplicative group. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgsubm.1	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgsubm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rrgsubm.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
rrgsubm	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem rrgsubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgsubm.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		rrgsubm.2	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3	2	ringmgp 20321	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
5		rrgsubm.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
6		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	5, 6	rrgss 20787	. . 3 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅))
9		eqid 2769	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	9, 5, 1	1rrg 33544	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
11		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	1	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐸)
14	7, 13	sselid 3943	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
15		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑦 ∈ 𝐸)
16	7, 15	sselid 3943	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
17	6, 11, 12, 14, 16	ringcld 20342	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
18	15	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝐸)
19		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
20	13	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐸)
21	12	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	16	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
23	6, 11, 21, 22, 19	ringcld 20342	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
24	14	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
25	6, 11, 21, 24, 22, 19	ringassd 20339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
26		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
27	25, 26	eqtr3d 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅))
28		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	5, 6, 11, 28	rrgeq0i 20784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)))
30	29	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
31	20, 23, 27, 30	syl21anc 850	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
32	5, 6, 11, 28	rrgeq0i 20784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
33	32	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 = (0g‘𝑅))
34	18, 19, 31, 33	syl21anc 850	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 = (0g‘𝑅))
35	34	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
36	35	ralrimiva 3163	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
37	5, 6, 11, 28	isrrg 20783	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅))))
38	17, 36, 37	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
39	38	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
40	39	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
41	2, 6	mgpbas 20221	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
42	2, 9	ringidval 20265	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
43	2, 11	mgpplusg 20220	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
44	41, 42, 43	issubm 18861	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐸 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)))
45	44	biimpar 482	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝐸 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)) → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))
46	4, 8, 10, 40, 45	syl13anc 1397	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  ._rcmulr 17311  0_gc0g 17492  Mndcmnd 18792  SubMndcsubmnd 18840  mulGrpcmgp 20216  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  RLRegcrlreg 20776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-rlreg 20779

This theorem is referenced by:  fracf1  33571