Theorem rrgsubm 33604

Description: The left regular elements of a ring form a submonoid of the multiplicative group. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgsubm.1	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgsubm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rrgsubm.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
rrgsubm	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem rrgsubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgsubm.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		rrgsubm.2	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3	2	ringmgp 20316	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
5		rrgsubm.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	5, 6	rrgss 20801	. . 3 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅))
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	9, 5, 1	1rrg 33603	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
11		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	1	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐸)
14	7, 13	sselid 3935	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
15		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑦 ∈ 𝐸)
16	7, 15	sselid 3935	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
17	6, 11, 12, 14, 16	ringcld 20334	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
18	15	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝐸)
19		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
20	13	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐸)
21	12	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	16	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
23	6, 11, 21, 22, 19	ringcld 20334	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
24	14	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
25	6, 11, 21, 24, 22, 19	ringassd 20335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
26		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
27	25, 26	eqtr3d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅))
28		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	5, 6, 11, 28	rrgeq0i 20798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)))
30	29	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
31	20, 23, 27, 30	syl21anc 850	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
32	5, 6, 11, 28	rrgeq0i 20798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
33	32	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 = (0g‘𝑅))
34	18, 19, 31, 33	syl21anc 850	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 = (0g‘𝑅))
35	34	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
36	35	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
37	5, 6, 11, 28	isrrg 20797	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅))))
38	17, 36, 37	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
39	38	anasss 471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
40	39	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
41	2, 6	mgpbas 20216	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
42	2, 9	ringidval 20260	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
43	2, 11	mgpplusg 20215	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
44	41, 42, 43	issubm 18856	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐸 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)))
45	44	biimpar 482	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝐸 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)) → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))
46	4, 8, 10, 40, 45	syl13anc 1399	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  ._rcmulr 17306  0_gc0g 17487  Mndcmnd 18787  SubMndcsubmnd 18835  mulGrpcmgp 20211  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  RLRegcrlreg 20790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-rlreg 20793

This theorem is referenced by:  fracf1  33628