Theorem rrgsubm 33283

Description: The left regular elements of a ring form a submonoid of the multiplicative group. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgsubm.1	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgsubm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rrgsubm.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
rrgsubm	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem rrgsubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgsubm.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		rrgsubm.2	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3	2	ringmgp 20204	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
5		rrgsubm.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	5, 6	rrgss 20667	. . 3 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅))
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	9, 5, 1	1rrg 33282	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐸)
14	7, 13	sselid 3961	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑦 ∈ 𝐸)
16	7, 15	sselid 3961	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
17	6, 11, 12, 14, 16	ringcld 20225	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
18	15	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝐸)
19		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
20	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐸)
21	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
23	6, 11, 21, 22, 19	ringcld 20225	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
24	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
25	6, 11, 21, 24, 22, 19	ringassd 20222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
26		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
27	25, 26	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅))
28		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	5, 6, 11, 28	rrgeq0i 20664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)))
30	29	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
31	20, 23, 27, 30	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
32	5, 6, 11, 28	rrgeq0i 20664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
33	32	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 = (0g‘𝑅))
34	18, 19, 31, 33	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 = (0g‘𝑅))
35	34	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
36	35	ralrimiva 3133	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
37	5, 6, 11, 28	isrrg 20663	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅))))
38	17, 36, 37	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
39	38	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
40	39	ralrimivva 3188	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
41	2, 6	mgpbas 20110	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
42	2, 9	ringidval 20148	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
43	2, 11	mgpplusg 20109	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
44	41, 42, 43	issubm 18786	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐸 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)))
45	44	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝐸 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)) → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))
46	4, 8, 10, 40, 45	syl13anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458  Mndcmnd 18717  SubMndcsubmnd 18765  mulGrpcmgp 20105  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  RLRegcrlreg 20656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-rlreg 20659

This theorem is referenced by:  fracf1  33306