Theorem rrgsubm 33072

Description: The left regular elements of a ring form a submonoid of the multiplicative group. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgsubm.1	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgsubm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rrgsubm.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
rrgsubm	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem rrgsubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgsubm.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		rrgsubm.2	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3	2	ringmgp 20191	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
5		rrgsubm.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
6		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	5, 6	rrgss 21256	. . 3 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅))
9		eqid 2725	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	9, 5, 1	1rrg 33069	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
11		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	1	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐸)
14	7, 13	sselid 3974	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
15		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑦 ∈ 𝐸)
16	7, 15	sselid 3974	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
17	6, 11, 12, 14, 16	ringcld 20211	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
18	15	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝐸)
19		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
20	13	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐸)
21	12	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
23	6, 11, 21, 22, 19	ringcld 20211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
24	14	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
25	6, 11, 21, 24, 22, 19	ringassd 20209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
26		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
27	25, 26	eqtr3d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅))
28		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	5, 6, 11, 28	rrgeq0i 21253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)))
30	29	imp 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
31	20, 23, 27, 30	syl21anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
32	5, 6, 11, 28	rrgeq0i 21253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
33	32	imp 405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 = (0g‘𝑅))
34	18, 19, 31, 33	syl21anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 = (0g‘𝑅))
35	34	ex 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
36	35	ralrimiva 3135	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
37	5, 6, 11, 28	isrrg 21252	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅))))
38	17, 36, 37	sylanbrc 581	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
39	38	anasss 465	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
40	39	ralrimivva 3190	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
41	2, 6	mgpbas 20092	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
42	2, 9	ringidval 20135	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
43	2, 11	mgpplusg 20090	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
44	41, 42, 43	issubm 18763	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐸 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)))
45	44	biimpar 476	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝐸 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)) → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))
46	4, 8, 10, 40, 45	syl13anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  ._rcmulr 17237  0_gc0g 17424  Mndcmnd 18697  SubMndcsubmnd 18742  mulGrpcmgp 20086  1_rcur 20133  Ringcrg 20185  RLRegcrlreg 21243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-rlreg 21247

This theorem is referenced by:  fracf1  33093