Theorem rrgsubm 33366

Description: The left regular elements of a ring form a submonoid of the multiplicative group. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgsubm.1	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgsubm.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
rrgsubm.3	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
rrgsubm	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem rrgsubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgsubm.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		rrgsubm.2	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
3	2	ringmgp 20174	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
5		rrgsubm.1	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	5, 6	rrgss 20635	. . 3 ⊢ 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ (Base‘𝑅))
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	9, 5, 1	1rrg 33365	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐸)
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ 𝐸)
14	7, 13	sselid 3931	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑦 ∈ 𝐸)
16	7, 15	sselid 3931	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
17	6, 11, 12, 14, 16	ringcld 20195	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
18	15	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝐸)
19		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝑅))
20	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝐸)
21	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
22	16	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
23	6, 11, 21, 22, 19	ringcld 20195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
24	14	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
25	6, 11, 21, 24, 22, 19	ringassd 20192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))
26		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
27	25, 26	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅))
28		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
29	5, 6, 11, 28	rrgeq0i 20632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)))
30	29	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐸 ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
31	20, 23, 27, 30	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅))
32	5, 6, 11, 28	rrgeq0i 20632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
33	32	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 = (0g‘𝑅))
34	18, 19, 31, 33	syl21anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅)) → 𝑧 = (0g‘𝑅))
35	34	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
36	35	ralrimiva 3128	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅)))
37	5, 6, 11, 28	isrrg 20631	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸 ↔ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)(((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = (0g‘𝑅) → 𝑧 = (0g‘𝑅))))
38	17, 36, 37	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐸) ∧ 𝑦 ∈ 𝐸) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
39	38	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐸 ∧ 𝑦 ∈ 𝐸)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
40	39	ralrimivva 3179	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)
41	2, 6	mgpbas 20080	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
42	2, 9	ringidval 20118	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
43	2, 11	mgpplusg 20079	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
44	41, 42, 43	issubm 18728	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐸 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)))
45	44	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝐸 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐸)) → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))
46	4, 8, 10, 40, 45	syl13anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  Mndcmnd 18659  SubMndcsubmnd 18707  mulGrpcmgp 20075  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  RLRegcrlreg 20624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-rlreg 20627

This theorem is referenced by:  fracf1  33389