MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmgpid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmgpid 21297
Description: The group identity element of nonzero complex number multiplication is one. (Contributed by Steve Rodriguez, 23-Feb-2007.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmgpabl.m 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
Assertion
Ref Expression
cnmgpid (0g𝑀) = 1

Proof of Theorem cnmgpid
StepHypRef Expression
1 cnring 21257 . 2 fld ∈ Ring
2 difss 4131 . 2 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
3 ax-1cn 11174 . . 3 1 ∈ ℂ
4 ax-1ne0 11185 . . 3 1 ≠ 0
5 eldifsn 4790 . . 3 (1 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
63, 4, 5mpbir2an 708 . 2 1 ∈ (ℂ ∖ {0})
7 cnmgpabl.m . . . 4 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
8 cnfldbas 21238 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
9 cnfld1 21260 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
107, 8, 9ringidss 20172 . . 3 ((ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 1 = (0g𝑀))
1110eqcomd 2737 . 2 ((ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (0g𝑀) = 1)
121, 2, 6, 11mp3an 1460 1 (0g𝑀) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  cdif 3945  wss 3948  {csn 4628  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  0cc0 11116  1c1 11117  s cress 17180  0gc0g 17392  mulGrpcmgp 20035  Ringcrg 20134  fldccnfld 21234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-cmn 19698  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-cnfld 21235
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator