Theorem rmspecpos 43344

Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a positive real. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmspecpos	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rmspecpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12799	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	resqcld 14087	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3		1red 11145	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
4	2, 3	resubcld 11578	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
5		sq1 14157	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
6		eluz2b1 12869	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴))
7	6	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
8		0le1 11673	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1)
10		eluzge2nn0 12842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11	10	nn0ge0d 12501	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
12	3, 1, 9, 11	lt2sqd 14218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
13	7, 12	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
14	5, 13	eqbrtrrid 5121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
15	3, 2	posdifd 11737	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
16	14, 15	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
17	4, 16	elrpd 12983	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  2c2 12236  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  rmxycomplete  43345  rmxy1  43350  rmxy0  43351  rmxypos  43375  jm2.23  43424