Theorem rmspecpos 42928

Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a positive real. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmspecpos	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rmspecpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 12889	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	resqcld 14165	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3		1red 11262	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
4	2, 3	resubcld 11691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
5		sq1 14234	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
6		eluz2b1 12961	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴))
7	6	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐴)
8		0le1 11786	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 1)
10		eluzge2nn0 12929	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
11	10	nn0ge0d 12590	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐴)
12	3, 1, 9, 11	lt2sqd 14295	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
13	7, 12	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
14	5, 13	eqbrtrrid 5179	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
15	3, 2	posdifd 11850	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
16	14, 15	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
17	4, 16	elrpd 13074	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  2c2 12321  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  rmxycomplete  42929  rmxy1  42934  rmxy0  42935  rmxypos  42959  jm2.23  43008