Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmspecpos 42402
Description: The discriminant used to define the X and Y sequences is a positive real. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmspecpos (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rmspecpos
StepHypRef Expression
1 eluzelre 12863 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
21resqcld 14121 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3 1red 11245 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
42, 3resubcld 11672 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
5 sq1 14190 . . . 4 (1↑2) = 1
6 eluz2b1 12933 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐴))
76simprbi 495 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
8 0le1 11767 . . . . . . 7 0 ≤ 1
98a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 1)
10 eluzge2nn0 12901 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
1110nn0ge0d 12565 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐴)
123, 1, 9, 11lt2sqd 14250 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
137, 12mpbid 231 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
145, 13eqbrtrrid 5179 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (𝐴↑2))
153, 2posdifd 11831 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
1614, 15mpbid 231 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
174, 16elrpd 13045 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   < clt 11278  cle 11279  cmin 11474  2c2 12297  cz 12588  cuz 12852  +crp 13006  cexp 14058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059
This theorem is referenced by:  rmxycomplete  42403  rmxy1  42408  rmxy0  42409  rmxypos  42433  jm2.23  42482
  Copyright terms: Public domain W3C validator