Theorem rnrhmsubrg 19971

Description: The range of a ring homomorphism is a subring. (Contributed by SN, 18-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rnrhmsubrg	⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑁))

Proof of Theorem rnrhmsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5593	. . 3 ⊢ (𝐹 “ (Base‘𝑀)) = ran (𝐹 ↾ (Base‘𝑀))
2		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
4	2, 3	rhmf 19885	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
5	4	ffnd 6585	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹 Fn (Base‘𝑀))
6		fnresdm 6535	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝑀) → (𝐹 ↾ (Base‘𝑀)) = 𝐹)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (𝐹 ↾ (Base‘𝑀)) = 𝐹)
8	7	rneqd 5836	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran (𝐹 ↾ (Base‘𝑀)) = ran 𝐹)
9	1, 8	eqtr2id 2792	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran 𝐹 = (𝐹 “ (Base‘𝑀)))
10		rhmrcl1 19878	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Ring)
11	2	subrgid 19941	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Ring → (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀))
13		rhmima 19970	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀)) → (𝐹 “ (Base‘𝑀)) ∈ (SubRing‘𝑁))
14	12, 13	mpdan 683	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (𝐹 “ (Base‘𝑀)) ∈ (SubRing‘𝑁))
15	9, 14	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ran crn 5581   ↾ cres 5582   “ cima 5583   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Ringcrg 19698   RingHom crh 19871  SubRingcsubrg 19935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-rnghom 19874  df-subrg 19937

This theorem is referenced by:  rnasclsubrg  21007  selvval2lem3  40152