Theorem rnrhmsubrg 20576

Description: The range of a ring homomorphism is a subring. (Contributed by SN, 18-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rnrhmsubrg	⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑁))

Proof of Theorem rnrhmsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑁) = (Base‘𝑁)
3	1, 2	rhmf 20458	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹:(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑁))
4	3	ffnd 6664	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝐹 Fn (Base‘𝑀))
5		fnima 6623	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝑀) → (𝐹 “ (Base‘𝑀)) = ran 𝐹)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (𝐹 “ (Base‘𝑀)) = ran 𝐹)
7		rhmrcl1 20450	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → 𝑀 ∈ Ring)
8	1	subrgid 20544	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Ring → (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀))
10		rhmima 20575	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) ∧ (Base‘𝑀) ∈ (SubRing‘𝑀)) → (𝐹 “ (Base‘𝑀)) ∈ (SubRing‘𝑁))
11	9, 10	mpdan 688	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → (𝐹 “ (Base‘𝑀)) ∈ (SubRing‘𝑁))
12	6, 11	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 RingHom 𝑁) → ran 𝐹 ∈ (SubRing‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ran crn 5626   “ cima 5628   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  Ringcrg 20208   RingHom crh 20443  SubRingcsubrg 20540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541

This theorem is referenced by:  rnasclsubrg  21886  idomsubr  33388  algextdeglem4  33883  selvcllem3  43029