MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprod 15918
Description: The value of a product over a nonempty finite set. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod.1 (๐‘˜ = (๐นโ€˜๐‘›) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
fprod.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
fprod.3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
fprod.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fprod.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
fprod (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘›   ๐ต,๐‘›   ๐ถ,๐‘˜   ๐‘˜,๐น,๐‘›   ๐‘˜,๐บ,๐‘›   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€,๐‘›   ๐œ‘,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘›)

Proof of Theorem fprod
Dummy variables ๐‘“ ๐‘– ๐‘— ๐‘š ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-prod 15883 . 2 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
2 fvex 6910 . . 3 (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โˆˆ V
3 nfcv 2899 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘—if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)
4 nfv 1910 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘— โˆˆ ๐ด
5 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต
6 nfcv 2899 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜1
74, 5, 6nfif 4559 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘— โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
8 eleq1w 2812 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘— โˆˆ ๐ด))
9 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
108, 9ifbieq1d 4553 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘— โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
113, 7, 10cbvmpt 5259 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)) = (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘— โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
12 fprod.4 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1312ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
145nfel1 2916 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
159eleq1d 2814 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
1614, 15rspc 3597 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
1713, 16mpan9 506 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
18 fveq2 6897 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘– โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = (๐‘“โ€˜๐‘–))
1918csbeq1d 3896 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘– โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘–) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
20 csbcow 3907 . . . . . . . . . 10 โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘–) / ๐‘—โฆŒโฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘–) / ๐‘˜โฆŒ๐ต
2119, 20eqtr4di 2786 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘– โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘–) / ๐‘—โฆŒโฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
2221cbvmptv 5261 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = (๐‘– โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘–) / ๐‘—โฆŒโฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
2311, 17, 22prodmo 15913 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
24 fprod.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
25 fprod.3 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
26 f1of 6839 . . . . . . . . . . . 12 (๐น:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ ๐น:(1...๐‘€)โŸถ๐ด)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...๐‘€)โŸถ๐ด)
28 ovex 7453 . . . . . . . . . . 11 (1...๐‘€) โˆˆ V
29 fex 7238 . . . . . . . . . . 11 ((๐น:(1...๐‘€)โŸถ๐ด โˆง (1...๐‘€) โˆˆ V) โ†’ ๐น โˆˆ V)
3027, 28, 29sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ V)
31 nnuz 12896 . . . . . . . . . . . . 13 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
3224, 31eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
33 fprod.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = ๐ถ)
34 elfznn 13563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
35 fvex 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ V
3633, 35eqeltrrdi 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐ถ โˆˆ V)
37 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)
3837fvmpt2 7016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ V) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘›) = ๐ถ)
3934, 36, 38syl2an2 685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘›) = ๐ถ)
4033, 39eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘›))
4140ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)(๐บโ€˜๐‘›) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘›))
42 nffvmpt1 6908 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘›((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘˜)
4342nfeq2 2917 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘›(๐บโ€˜๐‘˜) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘˜)
44 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = (๐บโ€˜๐‘˜))
45 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘›) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘˜))
4644, 45eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘›) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘›) โ†” (๐บโ€˜๐‘˜) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘˜)))
4743, 46rspc 3597 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)(๐บโ€˜๐‘›) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘›) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘˜)))
4841, 47mpan9 506 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘˜))
4932, 48seqfveq 14024 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ))โ€˜๐‘€))
5025, 49jca 511 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐น:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ))โ€˜๐‘€)))
51 f1oeq1 6827 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†” ๐น:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด))
52 fveq1 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = (๐นโ€˜๐‘›))
5352csbeq1d 3896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = ๐น โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐นโ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
54 fvex 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐นโ€˜๐‘›) โˆˆ V
55 fprod.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = (๐นโ€˜๐‘›) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
5654, 55csbie 3928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โฆ‹(๐นโ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = ๐ถ
5753, 56eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = ๐น โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = ๐ถ)
5857mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ))
5958seqeq3d 14007 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = ๐น โ†’ seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)) = seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)))
6059fveq1d 6899 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = ๐น โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ))โ€˜๐‘€))
6160eqeq2d 2739 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€) โ†” (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ))โ€˜๐‘€)))
6251, 61anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€)) โ†” (๐น:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ))โ€˜๐‘€))))
6330, 50, 62spcedv 3585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€)))
64 oveq2 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (1...๐‘š) = (1...๐‘€))
6564f1oeq2d 6835 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†” ๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด))
66 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€))
6766eqeq2d 2739 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š) โ†” (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€)))
6865, 67anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” (๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€))))
6968exbidv 1917 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€))))
7069rspcev 3609 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))
7124, 63, 70syl2anc 583 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))
7271olcd 873 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
73 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ (seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)))
74733anbi3d 1439 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))))
7574rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))))
76 eqeq1 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š) โ†” (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))
7776anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
7877exbidv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
7978rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
8075, 79orbi12d 917 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))))
8180moi2 3711 . . . . . . . . . 10 ((((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โˆˆ V โˆง โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))) โˆง ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))) โ†’ ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
822, 81mpanl1 699 . . . . . . . . 9 ((โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โˆง ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))) โ†’ ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
8382ancom2s 649 . . . . . . . 8 ((โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โˆง ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))) โ†’ ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
8483expr 456 . . . . . . 7 ((โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))) โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)))
8523, 72, 84syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)))
8672, 80syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))))
8785, 86impbid 211 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โ†” ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)))
8887adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โˆˆ V) โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โ†” ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)))
8988iota5 6531 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โˆˆ V) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
902, 89mpan2 690 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
911, 90eqtrid 2780 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534  โˆƒwex 1774   โˆˆ wcel 2099  โˆƒ*wmo 2528   โ‰  wne 2937  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067  Vcvv 3471  โฆ‹csb 3892   โІ wss 3947  ifcif 4529   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ„ฉcio 6498  โŸถwf 6544  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6547  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   ยท cmul 11144  โ„•cn 12243  โ„คcz 12589  โ„คโ‰ฅcuz 12853  ...cfz 13517  seqcseq 13999   โ‡ cli 15461  โˆcprod 15882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-prod 15883
This theorem is referenced by:  prod1  15921  fprodf1o  15923  fprodser  15926  fprodcl2lem  15927  fprodmul  15937  fproddiv  15938  prodsn  15939  prodsnf  15941  fprodconst  15955  fprodn0  15956
  Copyright terms: Public domain W3C validator