MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprod 15887
Description: The value of a product over a nonempty finite set. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprod.1 (๐‘˜ = (๐นโ€˜๐‘›) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
fprod.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
fprod.3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
fprod.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fprod.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
fprod (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘›   ๐ต,๐‘›   ๐ถ,๐‘˜   ๐‘˜,๐น,๐‘›   ๐‘˜,๐บ,๐‘›   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€,๐‘›   ๐œ‘,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘›)

Proof of Theorem fprod
Dummy variables ๐‘“ ๐‘– ๐‘— ๐‘š ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-prod 15852 . 2 โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
2 fvex 6895 . . 3 (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โˆˆ V
3 nfcv 2895 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘—if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)
4 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜ ๐‘— โˆˆ ๐ด
5 nfcsb1v 3911 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต
6 nfcv 2895 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜1
74, 5, 6nfif 4551 . . . . . . . . 9 โ„ฒ๐‘˜if(๐‘— โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1)
8 eleq1w 2808 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘— โˆˆ ๐ด))
9 csbeq1a 3900 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
108, 9ifbieq1d 4545 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐‘— โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
113, 7, 10cbvmpt 5250 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1)) = (๐‘— โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘— โˆˆ ๐ด, โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต, 1))
12 fprod.4 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1312ralrimiva 3138 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
145nfel1 2911 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
159eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
1614, 15rspc 3592 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
1713, 16mpan9 506 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
18 fveq2 6882 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘– โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = (๐‘“โ€˜๐‘–))
1918csbeq1d 3890 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘– โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘–) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
20 csbcow 3901 . . . . . . . . . 10 โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘–) / ๐‘—โฆŒโฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘–) / ๐‘˜โฆŒ๐ต
2119, 20eqtr4di 2782 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘– โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘–) / ๐‘—โฆŒโฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
2221cbvmptv 5252 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = (๐‘– โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘–) / ๐‘—โฆŒโฆ‹๐‘— / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
2311, 17, 22prodmo 15882 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
24 fprod.2 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
25 fprod.3 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
26 f1of 6824 . . . . . . . . . . . 12 (๐น:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ ๐น:(1...๐‘€)โŸถ๐ด)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น:(1...๐‘€)โŸถ๐ด)
28 ovex 7435 . . . . . . . . . . 11 (1...๐‘€) โˆˆ V
29 fex 7220 . . . . . . . . . . 11 ((๐น:(1...๐‘€)โŸถ๐ด โˆง (1...๐‘€) โˆˆ V) โ†’ ๐น โˆˆ V)
3027, 28, 29sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ V)
31 nnuz 12864 . . . . . . . . . . . . 13 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
3224, 31eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
33 fprod.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = ๐ถ)
34 elfznn 13531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
35 fvex 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐บโ€˜๐‘›) โˆˆ V
3633, 35eqeltrrdi 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐ถ โˆˆ V)
37 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)
3837fvmpt2 7000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ V) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘›) = ๐ถ)
3934, 36, 38syl2an2 683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘›) = ๐ถ)
4033, 39eqtr4d 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘›))
4140ralrimiva 3138 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)(๐บโ€˜๐‘›) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘›))
42 nffvmpt1 6893 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„ฒ๐‘›((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘˜)
4342nfeq2 2912 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„ฒ๐‘›(๐บโ€˜๐‘˜) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘˜)
44 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = (๐บโ€˜๐‘˜))
45 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘›) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘˜))
4644, 45eqeq12d 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐บโ€˜๐‘›) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘›) โ†” (๐บโ€˜๐‘˜) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘˜)))
4743, 46rspc 3592 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ (1...๐‘€)(๐บโ€˜๐‘›) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘›) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘˜)))
4841, 47mpan9 506 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)โ€˜๐‘˜))
4932, 48seqfveq 13993 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ))โ€˜๐‘€))
5025, 49jca 511 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐น:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ))โ€˜๐‘€)))
51 f1oeq1 6812 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†” ๐น:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด))
52 fveq1 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘›) = (๐นโ€˜๐‘›))
5352csbeq1d 3890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = ๐น โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐นโ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
54 fvex 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐นโ€˜๐‘›) โˆˆ V
55 fprod.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ = (๐นโ€˜๐‘›) โ†’ ๐ต = ๐ถ)
5654, 55csbie 3922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โฆ‹(๐นโ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = ๐ถ
5753, 56eqtrdi 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = ๐น โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = ๐ถ)
5857mpteq2dv 5241 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = ๐น โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ))
5958seqeq3d 13975 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = ๐น โ†’ seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)) = seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ)))
6059fveq1d 6884 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = ๐น โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ))โ€˜๐‘€))
6160eqeq2d 2735 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€) โ†” (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ))โ€˜๐‘€)))
6251, 61anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = ๐น โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€)) โ†” (๐น:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ถ))โ€˜๐‘€))))
6330, 50, 62spcedv 3580 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€)))
64 oveq2 7410 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (1...๐‘š) = (1...๐‘€))
6564f1oeq2d 6820 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†” ๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด))
66 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€))
6766eqeq2d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š) โ†” (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€)))
6865, 67anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” (๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€))))
6968exbidv 1916 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€))))
7069rspcev 3604 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘€))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))
7124, 63, 70syl2anc 583 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))
7271olcd 871 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
73 breq2 5143 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ (seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)))
74733anbi3d 1438 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ ((๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))))
7574rexbidv 3170 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))))
76 eqeq1 2728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š) โ†” (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))
7776anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
7877exbidv 1916 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
7978rexbidv 3170 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)) โ†” โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))
8075, 79orbi12d 915 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โ†” (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))))
8180moi2 3705 . . . . . . . . . 10 ((((seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โˆˆ V โˆง โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))) โˆง ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))) โ†’ ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
822, 81mpanl1 697 . . . . . . . . 9 ((โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โˆง ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))) โ†’ ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
8382ancom2s 647 . . . . . . . 8 ((โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โˆง ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))))) โ†’ ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
8483expr 456 . . . . . . 7 ((โˆƒ*๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โˆง (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))) โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)))
8523, 72, 84syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)))
8672, 80syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))))
8785, 86impbid 211 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โ†” ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)))
8887adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โˆˆ V) โ†’ ((โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š))) โ†” ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€)))
8988iota5 6517 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) โˆˆ V) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
902, 89mpan2 688 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ(โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))) โ‡ ๐‘ฅ) โˆจ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ฅ = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))โ€˜๐‘š)))) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
911, 90eqtrid 2776 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆƒ*wmo 2524   โ‰  wne 2932  โˆ€wral 3053  โˆƒwrex 3062  Vcvv 3466  โฆ‹csb 3886   โІ wss 3941  ifcif 4521   class class class wbr 5139   โ†ฆ cmpt 5222  โ„ฉcio 6484  โŸถwf 6530  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6533  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   ยท cmul 11112  โ„•cn 12211  โ„คcz 12557  โ„คโ‰ฅcuz 12821  ...cfz 13485  seqcseq 13967   โ‡ cli 15430  โˆcprod 15851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-prod 15852
This theorem is referenced by:  prod1  15890  fprodf1o  15892  fprodser  15895  fprodcl2lem  15896  fprodmul  15906  fproddiv  15907  prodsn  15908  prodsnf  15910  fprodconst  15924  fprodn0  15925
  Copyright terms: Public domain W3C validator