Theorem fprodp1s 15897

Description: Multiply in the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodp1s.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodp1s.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodp1s	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodp1s

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodp1s.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fprodp1s.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ ℂ)
4		nfcsb1v 3914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5	4	nfel1 2918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ
6		csbeq1a 3903	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
7	6	eleq1d 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
8	5, 7	rspc 3597	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
9	3, 8	mpan9 507	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
10		csbeq1 3892	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑁 + 1) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
11	1, 9, 10	fprodp1 15895	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
12		nfcv 2902	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
13	12, 4, 6	cbvprodi 15843	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
14	12, 4, 6	cbvprodi 15843	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
15	14	oveq1i 7403	. 2 ⊢ (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴) = (∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
16	11, 13, 15	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ⦋csb 3889  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  ℂcc 11090  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097  ℤ_≥cuz 12804  ...cfz 13466  ∏cprod 15831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-prod 15832

This theorem is referenced by:  fprodabs  15900