Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodp1s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodp1s 15316
 Description: Multiply in the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodp1s.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodp1s.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodp1s (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodp1s
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodp1s.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 fprodp1s.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
32ralrimiva 3174 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ ℂ)
4 nfcsb1v 3879 . . . . . 6 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
54nfel1 2995 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
6 csbeq1a 3869 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
76eleq1d 2898 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
85, 7rspc 3586 . . . 4 (𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
93, 8mpan9 510 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
10 csbeq1 3858 . . 3 (𝑚 = (𝑁 + 1) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴)
111, 9, 10fprodp1 15314 . 2 (𝜑 → ∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝑚 / 𝑘𝐴 = (∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑘𝐴 · (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴))
12 nfcv 2979 . . 3 𝑚𝐴
1312, 4, 6cbvprodi 15262 . 2 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝑚 / 𝑘𝐴
1412, 4, 6cbvprodi 15262 . . 3 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑘𝐴
1514oveq1i 7150 . 2 (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴) = (∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑘𝐴 · (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴)
1611, 13, 153eqtr4g 2882 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130  ⦋csb 3855  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  ℤ≥cuz 12231  ...cfz 12885  ∏cprod 15250 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-prod 15251 This theorem is referenced by:  fprodabs  15319
 Copyright terms: Public domain W3C validator