MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodp1s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodp1s 16004
Description: Multiply in the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodp1s.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodp1s.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodp1s (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodp1s
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodp1s.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 fprodp1s.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
32ralrimiva 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ ℂ)
4 nfcsb1v 3933 . . . . . 6 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
54nfel1 2920 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
6 csbeq1a 3922 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
76eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
85, 7rspc 3610 . . . 4 (𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
93, 8mpan9 506 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
10 csbeq1 3911 . . 3 (𝑚 = (𝑁 + 1) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴)
111, 9, 10fprodp1 16002 . 2 (𝜑 → ∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝑚 / 𝑘𝐴 = (∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑘𝐴 · (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴))
12 nfcv 2903 . . 3 𝑚𝐴
1312, 4, 6cbvprodi 15948 . 2 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝑚 / 𝑘𝐴
1412, 4, 6cbvprodi 15948 . . 3 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑘𝐴
1514oveq1i 7441 . 2 (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴) = (∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑘𝐴 · (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴)
1611, 13, 153eqtr4g 2800 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · (𝑁 + 1) / 𝑘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  csb 3908  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cuz 12876  ...cfz 13544  cprod 15936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937
This theorem is referenced by:  fprodabs  16007
  Copyright terms: Public domain W3C validator