MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodp1s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodp1s 15920
Description: Multiply in the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodp1s.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
fprodp1s.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodp1s (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))๐ด = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด ยท โฆ‹(๐‘ + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐ด(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodp1s
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodp1s.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
2 fprodp1s.2 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32ralrimiva 3145 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))๐ด โˆˆ โ„‚)
4 nfcsb1v 3918 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด
54nfel1 2918 . . . . 5 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚
6 csbeq1a 3907 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
76eleq1d 2817 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
85, 7rspc 3600 . . . 4 (๐‘š โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1)) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚))
93, 8mpan9 506 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))) โ†’ โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 csbeq1 3896 . . 3 (๐‘š = (๐‘ + 1) โ†’ โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด = โฆ‹(๐‘ + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
111, 9, 10fprodp1 15918 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘š โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด = (โˆ๐‘š โˆˆ (๐‘€...๐‘)โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด ยท โฆ‹(๐‘ + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
12 nfcv 2902 . . 3 โ„ฒ๐‘š๐ด
1312, 4, 6cbvprodi 15866 . 2 โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))๐ด = โˆ๐‘š โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด
1412, 4, 6cbvprodi 15866 . . 3 โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = โˆ๐‘š โˆˆ (๐‘€...๐‘)โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด
1514oveq1i 7422 . 2 (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด ยท โฆ‹(๐‘ + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด) = (โˆ๐‘š โˆˆ (๐‘€...๐‘)โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด ยท โฆ‹(๐‘ + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
1611, 13, 153eqtr4g 2796 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))๐ด = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด ยท โฆ‹(๐‘ + 1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  โฆ‹csb 3893  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119  โ„คโ‰ฅcuz 12827  ...cfz 13489  โˆcprod 15854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-prod 15855
This theorem is referenced by:  fprodabs  15923
  Copyright terms: Public domain W3C validator