Theorem fprodp1s 16007

Description: Multiply in the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodp1s.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodp1s.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodp1s	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodp1s

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodp1s.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fprodp1s.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ ℂ)
4		nfcsb1v 3923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5	4	nfel1 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ
6		csbeq1a 3913	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
7	6	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
8	5, 7	rspc 3610	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
9	3, 8	mpan9 506	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
10		csbeq1 3902	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑁 + 1) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
11	1, 9, 10	fprodp1 16005	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
12		nfcv 2905	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
13	12, 4, 6	cbvprodi 15951	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
14	12, 4, 6	cbvprodi 15951	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
15	14	oveq1i 7441	. 2 ⊢ (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴) = (∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
16	11, 13, 15	3eqtr4g 2802	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ⦋csb 3899  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ∏cprod 15939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940

This theorem is referenced by:  fprodabs  16010