Theorem fsum00 15705

Description: A sum of nonnegative numbers is zero iff all terms are zero. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsum00	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsum00

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3		fsumge0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		fsumge0.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
6	5	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
7		snssi 4759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → {𝑚} ⊆ 𝐴)
9	2, 4, 6, 8	fsumless 15703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
10	9	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
11		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ 𝐴)
12	3, 5	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
13	12	ralrimiva 3121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
15		nfcsb1v 3875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
16	15	nfel1 2908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ
17		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘0
18		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘 ≤
19	17, 18, 15	nfbr 5139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
20	16, 19	nfan 1899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
21		csbeq1a 3865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
22	21	eleq1d 2813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ))
23	21	breq2d 5104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵))
24	22, 23	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
25	20, 24	rspc 3565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
26	14, 25	mpan9 506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵))
27	26	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ)
28	27	recnd 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
29		sumsns 15657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
30	11, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
31		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
32	10, 30, 31	3brtr3d 5123	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ≤ 0)
33	26	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
34		0re 11117	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
35		letri3 11201	. . . . . . 7 ⊢ ((⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0 ↔ (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
36	27, 34, 35	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0 ↔ (⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)))
37	32, 33, 36	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
38	37	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑚 ∈ 𝐴 ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
39		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑚 𝐵 = 0
40	15	nfeq1 2907	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0
41	21	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 = 0 ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0))
42	39, 40, 41	cbvralw 3271	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑚 ∈ 𝐴 ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 = 0)
43	38, 42	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)
44	43	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))
45		sumz 15629	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
46	45	olcs 876	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
47		sumeq2 15601	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 0)
48	47	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0))
49	46, 48	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))
50	1, 49	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))
51	44, 50	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ⦋csb 3851   ⊆ wss 3903  {csn 4577   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  Fincfn 8872  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009   ≤ cle 11150  ℤ_≥cuz 12735  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  ramcl  16941  rrxcph  25290  rrxmet  25306  jensen  26897  eqeelen  28849  axcgrid  28861  rrnmet  37819