MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum00 15770
Description: A sum of nonnegative numbers is zero iff all terms are zero. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsum00 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsum00
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
21adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3 fsumge0.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
43adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 fsumge0.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
65adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
7 snssi 4807 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐴 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
87adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → {𝑚} ⊆ 𝐴)
92, 4, 6, 8fsumless 15768 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
109adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
11 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
123, 5jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1312ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
15 nfcsb1v 3914 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
1615nfel1 2914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
17 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘0
18 nfcv 2898 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘
1917, 18, 15nfbr 5189 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵
2016, 19nfan 1895 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)
21 csbeq1a 3903 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
2221eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
2321breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵))
2422, 23anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
2520, 24rspc 3595 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
2614, 25mpan9 506 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵))
2726simpld 494 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
2827recnd 11266 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
29 sumsns 15722 . . . . . . . 8 ((𝑚𝐴𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
3011, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
31 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0)
3210, 30, 313brtr3d 5173 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0)
3326simprd 495 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)
34 0re 11240 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
35 letri3 11323 . . . . . . 7 ((𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑚 / 𝑘𝐵 = 0 ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
3627, 34, 35sylancl 585 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑚 / 𝑘𝐵 = 0 ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
3732, 33, 36mpbir2and 712 . . . . 5 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
3837ralrimiva 3141 . . . 4 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑚𝐴 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
39 nfv 1910 . . . . 5 𝑚 𝐵 = 0
4015nfeq1 2913 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 = 0
4121eqeq1d 2729 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 = 0 ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0))
4239, 40, 41cbvralw 3298 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
4338, 42sylibr 233 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0)
4443ex 412 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
45 sumz 15694 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4645olcs 875 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
47 sumeq2 15666 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 0)
4847eqeq1d 2729 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ Σ𝑘𝐴 0 = 0))
4946, 48syl5ibrcom 246 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0))
501, 49syl 17 . 2 (𝜑 → (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0))
5144, 50impbid 211 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  csb 3889  wss 3944  {csn 4624   class class class wbr 5142  cfv 6542  Fincfn 8957  cc 11130  cr 11131  0cc0 11132  cle 11273  cuz 12846  Σcsu 15658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-rp 13001  df-ico 13356  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-sum 15659
This theorem is referenced by:  ramcl  16991  rrxcph  25313  rrxmet  25329  jensen  26914  eqeelen  28708  axcgrid  28720  rrnmet  37291
  Copyright terms: Public domain W3C validator