Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsum00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsum00 14938
 Description: A sum of nonnegative numbers is zero iff all terms are zero. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsum00 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsum00
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
21adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3 fsumge0.2 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
43adantlr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 fsumge0.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
65adantlr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
7 snssi 4572 . . . . . . . . . 10 (𝑚𝐴 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
87adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → {𝑚} ⊆ 𝐴)
92, 4, 6, 8fsumless 14936 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
109adantlr 705 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
11 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚𝐴)
123, 5jca 507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1312ralrimiva 3148 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
1413adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
15 nfcsb1v 3767 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
1615nfel1 2948 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ
17 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘0
18 nfcv 2934 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘
1917, 18, 15nfbr 4935 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵
2016, 19nfan 1946 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)
21 csbeq1a 3760 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
2221eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ))
2321breq2d 4900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → (0 ≤ 𝐵 ↔ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵))
2422, 23anbi12d 624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
2520, 24rspc 3505 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
2614, 25mpan9 502 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵))
2726simpld 490 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
2827recnd 10407 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
29 sumsns 14890 . . . . . . . 8 ((𝑚𝐴𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
3011, 28, 29syl2anc 579 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑚}𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
31 simplr 759 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0)
3210, 30, 313brtr3d 4919 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0)
3326simprd 491 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)
34 0re 10380 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
35 letri3 10464 . . . . . . 7 ((𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑚 / 𝑘𝐵 = 0 ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
3627, 34, 35sylancl 580 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → (𝑚 / 𝑘𝐵 = 0 ↔ (𝑚 / 𝑘𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑚 / 𝑘𝐵)))
3732, 33, 36mpbir2and 703 . . . . 5 (((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
3837ralrimiva 3148 . . . 4 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑚𝐴 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
39 nfv 1957 . . . . 5 𝑚 𝐵 = 0
4015nfeq1 2947 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 = 0
4121eqeq1d 2780 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 = 0 ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0))
4239, 40, 41cbvral 3363 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑚𝐴 𝑚 / 𝑘𝐵 = 0)
4338, 42sylibr 226 . . 3 ((𝜑 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0) → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0)
4443ex 403 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
45 sumz 14864 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4645olcs 865 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
47 sumeq2 14836 . . . . 5 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 0)
4847eqeq1d 2780 . . . 4 (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ Σ𝑘𝐴 0 = 0))
4946, 48syl5ibrcom 239 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0))
501, 49syl 17 . 2 (𝜑 → (∀𝑘𝐴 𝐵 = 0 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0))
5144, 50impbid 204 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ⦋csb 3751   ⊆ wss 3792  {csn 4398   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  Fincfn 8243  ℂcc 10272  ℝcr 10273  0cc0 10274   ≤ cle 10414  ℤ≥cuz 11996  Σcsu 14828 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-n0 11647  df-z 11733  df-uz 11997  df-rp 12142  df-ico 12497  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631  df-sum 14829 This theorem is referenced by:  ramcl  16141  rrxcph  23602  rrxmet  23618  jensen  25171  eqeelen  26257  axcgrid  26269  rrnmet  34257
 Copyright terms: Public domain W3C validator