MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcvg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcvg2 14677
Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsers.1 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
fsumsers.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsumsers.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsers.4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fsumcvg2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg2
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2947 . . . 4 𝑚if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)
2 nfv 2008 . . . . 5 𝑘 𝑚𝐴
3 nfcsb1v 3741 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
4 nfcv 2947 . . . . 5 𝑘0
52, 3, 4nfif 4305 . . . 4 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0)
6 eleq1w 2867 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
7 csbeq1a 3734 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
86, 7ifbieq1d 4299 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0))
91, 5, 8cbvmpt 4939 . . 3 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0))
10 fsumsers.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1110ralrimiva 3153 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
123nfel1 2962 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
137eleq1d 2869 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
1412, 13rspc 3495 . . . 4 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
1511, 14mpan9 498 . . 3 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
16 fsumsers.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
17 fsumsers.4 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
189, 15, 16, 17fsumcvg 14662 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))) ⇝ (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
19 eluzel2 11905 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2016, 19syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21 fsumsers.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
22 eluzelz 11910 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
23 iftrue 4282 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
2423adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
2524, 10eqeltrd 2884 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2625ex 399 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
27 iffalse 4285 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
28 0cn 10314 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
2927, 28syl6eqel 2892 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
3026, 29pm2.61d1 172 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
31 eqid 2805 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
3231fvmpt2 6509 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
3322, 30, 32syl2anr 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
3421, 33eqtr4d 2842 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
3534ralrimiva 3153 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
36 nffvmpt1 6416 . . . . . 6 𝑘((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
3736nfeq2 2963 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
38 fveq2 6405 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
39 fveq2 6405 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
4038, 39eqeq12d 2820 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) ↔ (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
4137, 40rspc 3495 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) → (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
4235, 41mpan9 498 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
4320, 42seqfeq 13045 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))))
4443fveq1d 6407 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
4518, 43, 443brtr4d 4872 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2158  wral 3095  csb 3725  wss 3766  ifcif 4276   class class class wbr 4840  cmpt 4919  cfv 6098  (class class class)co 6871  cc 10216  0cc0 10218   + caddc 10221  cz 11639  cuz 11900  ...cfz 12545  seqcseq 13020  cli 14434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-rep 4960  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-inf2 8782  ax-cnex 10274  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-pss 3782  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-tr 4943  df-id 5216  df-eprel 5221  df-po 5229  df-so 5230  df-fr 5267  df-we 5269  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-pred 5890  df-ord 5936  df-on 5937  df-lim 5938  df-suc 5939  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-om 7293  df-1st 7395  df-2nd 7396  df-wrecs 7639  df-recs 7701  df-rdg 7739  df-er 7976  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-div 10967  df-nn 11303  df-2 11360  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-fz 12546  df-seq 13021  df-exp 13080  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438
This theorem is referenced by:  fsumsers  14678  fsumcvg3  14679  ef0lem  15025
  Copyright terms: Public domain W3C validator