Theorem fsumcvg2 15700

Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsers.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumsers.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumsers.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsers.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fsumcvg2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)
2		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
3		nfcsb1v 3889	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
4		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0
5	2, 3, 4	nfif 4522	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0)
6		eleq1w 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
7		csbeq1a 3879	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
8	6, 7	ifbieq1d 4516	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0))
9	1, 5, 8	cbvmpt 5212	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0))
10		fsumsers.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
12	3	nfel1 2909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
13	7	eleq1d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	12, 13	rspc 3579	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
15	11, 14	mpan9 506	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
16		fsumsers.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		fsumsers.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
18	9, 15, 16, 17	fsumcvg 15685	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ⇝ (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
19		eluzel2 12805	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	16, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		fsumsers.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
22		eluzelz 12810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
23		iftrue 4497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
25	24, 10	eqeltrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
26	25	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
27		iffalse 4500	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
28		0cn 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
29	27, 28	eqeltrdi 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
30	26, 29	pm2.61d1 180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
31		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
32	31	fvmpt2 6982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
33	22, 30, 32	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
34	21, 33	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
35	34	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
36		nffvmpt1 6872	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
37	36	nfeq2 2910	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
38		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
39		fveq2 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
40	38, 39	eqeq12d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
41	37, 40	rspc 3579	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
42	35, 41	mpan9 506	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
43	20, 42	seqfeq 13999	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
44	43	fveq1d 6863	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
45	18, 43, 44	3brtr4d 5142	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ⦋csb 3865   ⊆ wss 3917  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   + caddc 11078  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  seqcseq 13973   ⇝ cli 15457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461

This theorem is referenced by:  fsumsers  15701  fsumcvg3  15702  ef0lem  16051