MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcvg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcvg2 15763
Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsers.1 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
fsumsers.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fsumsers.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsers.4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
Assertion
Ref Expression
fsumcvg2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg2
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2905 . . . 4 𝑚if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)
2 nfv 1914 . . . . 5 𝑘 𝑚𝐴
3 nfcsb1v 3923 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵
4 nfcv 2905 . . . . 5 𝑘0
52, 3, 4nfif 4556 . . . 4 𝑘if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0)
6 eleq1w 2824 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
7 csbeq1a 3913 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚𝐵 = 𝑚 / 𝑘𝐵)
86, 7ifbieq1d 4550 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0))
91, 5, 8cbvmpt 5253 . . 3 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ if(𝑚𝐴, 𝑚 / 𝑘𝐵, 0))
10 fsumsers.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1110ralrimiva 3146 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
123nfel1 2922 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
137eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
1412, 13rspc 3610 . . . 4 (𝑚𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
1511, 14mpan9 506 . . 3 ((𝜑𝑚𝐴) → 𝑚 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
16 fsumsers.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
17 fsumsers.4 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
189, 15, 16, 17fsumcvg 15748 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))) ⇝ (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
19 eluzel2 12883 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2016, 19syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21 fsumsers.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
22 eluzelz 12888 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
23 iftrue 4531 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
2423adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
2524, 10eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
2625ex 412 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
27 iffalse 4534 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
28 0cn 11253 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
2927, 28eqeltrdi 2849 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
3026, 29pm2.61d1 180 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
31 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
3231fvmpt2 7027 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
3322, 30, 32syl2anr 597 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
3421, 33eqtr4d 2780 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
3534ralrimiva 3146 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
36 nffvmpt1 6917 . . . . . 6 𝑘((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
3736nfeq2 2923 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
38 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
39 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
4038, 39eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) ↔ (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
4137, 40rspc 3610 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) → (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
4235, 41mpan9 506 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
4320, 42seqfeq 14068 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))))
4443fveq1d 6908 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
4518, 43, 443brtr4d 5175 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  csb 3899  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  seqcseq 14042  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524
This theorem is referenced by:  fsumsers  15764  fsumcvg3  15765  ef0lem  16114
  Copyright terms: Public domain W3C validator