Theorem fsumcvg2 15816

Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsers.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumsers.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumsers.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsers.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fsumcvg2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)
2		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
3		nfcsb1v 3871	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
4		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0
5	2, 3, 4	nfif 4513	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0)
6		eleq1w 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
7		csbeq1a 3861	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
8	6, 7	ifbieq1d 4507	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0))
9	1, 5, 8	cbvmpt 5207	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0))
10		fsumsers.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
12	3	nfel1 2938	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
13	7	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	12, 13	rspc 3564	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
15	11, 14	mpan9 516	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
16		fsumsers.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		fsumsers.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
18	9, 15, 16, 17	fsumcvg 15801	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ⇝ (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
19		eluzel2 12895	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	16, 19	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		fsumsers.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
22		eluzelz 12900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
23		iftrue 4488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
25	24, 10	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
26	25	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
27		iffalse 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
28		0cn 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
29	27, 28	eqeltrdi 2868	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
30	26, 29	pm2.61d1 182	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
31		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
32	31	fvmpt2 6999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
33	22, 30, 32	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
34	21, 33	eqtr4d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
35	34	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
36		nffvmpt1 6890	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
37	36	nfeq2 2939	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
38		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
39		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
40	38, 39	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
41	37, 40	rspc 3564	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
42	35, 41	mpan9 516	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
43	20, 42	seqfeq 14094	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
44	43	fveq1d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
45	18, 43, 44	3brtr4d 5137	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ⦋csb 3847   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127   + caddc 11130  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ...cfz 13564  seqcseq 14068   ⇝ cli 15574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578

This theorem is used by:  fsumsers  15817  fsumcvg3  15818  ef0lem  16167