Theorem fsumcvg2 15669

Description: The sequence of partial sums of a finite sum converges to the whole sum. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsers.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
fsumsers.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumsers.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsers.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fsumcvg2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)
2		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑚 ∈ 𝐴
3		nfcsb1v 3883	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵
4		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘0
5	2, 3, 4	nfif 4515	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0)
6		eleq1w 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑚 ∈ 𝐴))
7		csbeq1a 3873	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵)
8	6, 7	ifbieq1d 4509	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0))
9	1, 5, 8	cbvmpt 5204	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ if(𝑚 ∈ 𝐴, ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵, 0))
10		fsumsers.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
12	3	nfel1 2908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
13	7	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
14	12, 13	rspc 3573	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
15	11, 14	mpan9 506	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
16		fsumsers.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
17		fsumsers.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑁))
18	9, 15, 16, 17	fsumcvg 15654	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))) ⇝ (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
19		eluzel2 12774	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
20	16, 19	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
21		fsumsers.1	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
22		eluzelz 12779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
23		iftrue 4490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
25	24, 10	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
26	25	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
27		iffalse 4493	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) = 0)
28		0cn 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
29	27, 28	eqeltrdi 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ 𝐴 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
30	26, 29	pm2.61d1 180	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
31		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
32	31	fvmpt2 6961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
33	22, 30, 32	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
34	21, 33	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
35	34	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘))
36		nffvmpt1 6851	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
37	36	nfeq2 2909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)
38		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
39		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
40	38, 39	eqeq12d 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
41	37, 40	rspc 3573	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑘) → (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛)))
42	35, 41	mpan9 506	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑛) = ((𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))‘𝑛))
43	20, 42	seqfeq 13968	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))))
44	43	fveq1d 6842	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seq𝑀( + , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0)))‘𝑁))
45	18, 43, 44	3brtr4d 5134	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ⦋csb 3859   ⊆ wss 3911  ifcif 4484   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044   + caddc 11047  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  seqcseq 13942   ⇝ cli 15426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430

This theorem is referenced by:  fsumsers  15670  fsumcvg3  15671  ef0lem  16020