MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodm1s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodm1s 15416
Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodm1s.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodm1s.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodm1s (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodm1s
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodm1s.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 fprodm1s.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
32ralrimiva 3096 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
4 nfcsb1v 3814 . . . . . 6 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
54nfel1 2915 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
6 csbeq1a 3804 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
76eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
85, 7rspc 3514 . . . 4 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
93, 8mpan9 510 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
10 csbeq1 3793 . . 3 (𝑚 = 𝑁𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝑁 / 𝑘𝐴)
111, 9, 10fprodm1 15413 . 2 (𝜑 → ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑘𝐴 = (∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝑚 / 𝑘𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴))
12 nfcv 2899 . . 3 𝑚𝐴
1312, 4, 6cbvprodi 15363 . 2 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑘𝐴
1412, 4, 6cbvprodi 15363 . . 3 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝑚 / 𝑘𝐴
1514oveq1i 7180 . 2 (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴) = (∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝑚 / 𝑘𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴)
1611, 13, 153eqtr4g 2798 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  csb 3790  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  1c1 10616   · cmul 10620  cmin 10948  cuz 12324  ...cfz 12981  cprod 15351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-prod 15352
This theorem is referenced by:  fprodeq0  15421
  Copyright terms: Public domain W3C validator