Theorem fprodm1s 16049

Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodm1s.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodm1s.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodm1s	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodm1s

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodm1s.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fprodm1s.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	ralrimiva 3159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
4		nfcsb1v 3878	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5	4	nfel1 2943	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ
6		csbeq1a 3868	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
7	6	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
8	5, 7	rspc 3571	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
9	3, 8	mpan9 516	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
10		csbeq1 3857	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴)
11	1, 9, 10	fprodm1 16046	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴))
12		nfcv 2927	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
13	12, 4, 6	cbvprodi 15994	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
14	12, 4, 6	cbvprodi 15994	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
15	14	oveq1i 7429	. 2 ⊢ (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴) = (∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴)
16	11, 13, 15	3eqtr4g 2825	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ⦋csb 3854  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  1c1 11118   · cmul 11122   − cmin 11458  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  ∏cprod 15982

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-prod 15983

This theorem is used by:  fprodeq0  16054