MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsxmet 23874
Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 23873. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsdsf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsdsf.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsdsf.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsdsf.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsdsf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsdsf.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
prdsdsf.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsdsf.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
prdsxmet (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem prdsxmet
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑦𝑅
3 nfcsb1v 3918 . . . . 5 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…
4 csbeq1a 3907 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑅 = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
52, 3, 4cbvmpt 5259 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
65oveq2i 7419 . . 3 (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…))
71, 6eqtri 2760 . 2 π‘Œ = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…))
8 prdsdsf.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
9 eqid 2732 . 2 (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) = (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
10 eqid 2732 . 2 ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
11 prdsdsf.d . 2 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
12 prdsdsf.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
13 prdsdsf.i . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
14 prdsdsf.r . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
1514elexd 3494 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ V)
1615ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
173nfel1 2919 . . . 4 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V
184eleq1d 2818 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V))
1917, 18rspc 3600 . . 3 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V))
2016, 19mpan9 507 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V)
21 prdsdsf.m . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
2221ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
23 nfcv 2903 . . . . . . 7 β„²π‘₯dist
2423, 3nffv 6901 . . . . . 6 β„²π‘₯(distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
25 nfcv 2903 . . . . . . . 8 β„²π‘₯Base
2625, 3nffv 6901 . . . . . . 7 β„²π‘₯(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
2726, 26nfxp 5709 . . . . . 6 β„²π‘₯((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
2824, 27nfres 5983 . . . . 5 β„²π‘₯((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
29 nfcv 2903 . . . . . 6 β„²π‘₯∞Met
3029, 26nffv 6901 . . . . 5 β„²π‘₯(∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
3128, 30nfel 2917 . . . 4 β„²π‘₯((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
32 prdsdsf.e . . . . . 6 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
334fveq2d 6895 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
34 prdsdsf.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
354fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
3634, 35eqtrid 2784 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
3736sqxpeqd 5708 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
3833, 37reseq12d 5982 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
3932, 38eqtrid 2784 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐸 = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
4036fveq2d 6895 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (∞Metβ€˜π‘‰) = (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
4139, 40eleq12d 2827 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ↔ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
4231, 41rspc 3600 . . 3 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) β†’ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
4322, 42mpan9 507 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
447, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20, 43prdsxmetlem 23873 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  β¦‹csb 3893   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  distcds 17205  Xscprds 17390  βˆžMetcxmet 20928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-icc 13330  df-fz 13484  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-prds 17392  df-xmet 20936
This theorem is referenced by:  prdsmet  23875  xpsxmetlem  23884  prdsbl  23999  prdsxmslem1  24036
  Copyright terms: Public domain W3C validator