MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsxmet 24303
Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 24302. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsdsf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsdsf.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsdsf.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsdsf.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsdsf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsdsf.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
prdsdsf.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsdsf.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
prdsxmet (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem prdsxmet
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 nfcv 2899 . . . . 5 Ⅎ𝑦𝑅
3 nfcsb1v 3919 . . . . 5 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…
4 csbeq1a 3908 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑅 = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
52, 3, 4cbvmpt 5263 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
65oveq2i 7437 . . 3 (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…))
71, 6eqtri 2756 . 2 π‘Œ = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…))
8 prdsdsf.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
9 eqid 2728 . 2 (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) = (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
10 eqid 2728 . 2 ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
11 prdsdsf.d . 2 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
12 prdsdsf.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
13 prdsdsf.i . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
14 prdsdsf.r . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
1514elexd 3494 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ V)
1615ralrimiva 3143 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
173nfel1 2916 . . . 4 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V
184eleq1d 2814 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V))
1917, 18rspc 3599 . . 3 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V))
2016, 19mpan9 505 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V)
21 prdsdsf.m . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
2221ralrimiva 3143 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
23 nfcv 2899 . . . . . . 7 β„²π‘₯dist
2423, 3nffv 6912 . . . . . 6 β„²π‘₯(distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
25 nfcv 2899 . . . . . . . 8 β„²π‘₯Base
2625, 3nffv 6912 . . . . . . 7 β„²π‘₯(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
2726, 26nfxp 5715 . . . . . 6 β„²π‘₯((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
2824, 27nfres 5991 . . . . 5 β„²π‘₯((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
29 nfcv 2899 . . . . . 6 β„²π‘₯∞Met
3029, 26nffv 6912 . . . . 5 β„²π‘₯(∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
3128, 30nfel 2914 . . . 4 β„²π‘₯((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
32 prdsdsf.e . . . . . 6 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
334fveq2d 6906 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
34 prdsdsf.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
354fveq2d 6906 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
3634, 35eqtrid 2780 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
3736sqxpeqd 5714 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
3833, 37reseq12d 5990 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
3932, 38eqtrid 2780 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐸 = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
4036fveq2d 6906 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (∞Metβ€˜π‘‰) = (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
4139, 40eleq12d 2823 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ↔ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
4231, 41rspc 3599 . . 3 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) β†’ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
4322, 42mpan9 505 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
447, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20, 43prdsxmetlem 24302 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473  β¦‹csb 3894   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680   β†Ύ cres 5684  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  distcds 17251  Xscprds 17436  βˆžMetcxmet 21278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-icc 13373  df-fz 13527  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-prds 17438  df-xmet 21286
This theorem is referenced by:  prdsmet  24304  xpsxmetlem  24313  prdsbl  24428  prdsxmslem1  24465
  Copyright terms: Public domain W3C validator