MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsxmet 23867
Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 23866. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsdsf.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsdsf.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsdsf.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsdsf.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsdsf.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsdsf.i (𝜑𝐼𝑋)
prdsdsf.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
prdsdsf.m ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
prdsxmet (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsxmet
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 nfcv 2904 . . . . 5 𝑦𝑅
3 nfcsb1v 3918 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝑅
4 csbeq1a 3907 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝑅 = 𝑦 / 𝑥𝑅)
52, 3, 4cbvmpt 5259 . . . 4 (𝑥𝐼𝑅) = (𝑦𝐼𝑦 / 𝑥𝑅)
65oveq2i 7417 . . 3 (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)) = (𝑆Xs(𝑦𝐼𝑦 / 𝑥𝑅))
71, 6eqtri 2761 . 2 𝑌 = (𝑆Xs(𝑦𝐼𝑦 / 𝑥𝑅))
8 prdsdsf.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑌)
9 eqid 2733 . 2 (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) = (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)
10 eqid 2733 . 2 ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) = ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
11 prdsdsf.d . 2 𝐷 = (dist‘𝑌)
12 prdsdsf.s . 2 (𝜑𝑆𝑊)
13 prdsdsf.i . 2 (𝜑𝐼𝑋)
14 prdsdsf.r . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
1514elexd 3495 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ V)
1615ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅 ∈ V)
173nfel1 2920 . . . 4 𝑥𝑦 / 𝑥𝑅 ∈ V
184eleq1d 2819 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ V ↔ 𝑦 / 𝑥𝑅 ∈ V))
1917, 18rspc 3601 . . 3 (𝑦𝐼 → (∀𝑥𝐼 𝑅 ∈ V → 𝑦 / 𝑥𝑅 ∈ V))
2016, 19mpan9 508 . 2 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑦 / 𝑥𝑅 ∈ V)
21 prdsdsf.m . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
2221ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
23 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑥dist
2423, 3nffv 6899 . . . . . 6 𝑥(dist‘𝑦 / 𝑥𝑅)
25 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑥Base
2625, 3nffv 6899 . . . . . . 7 𝑥(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)
2726, 26nfxp 5709 . . . . . 6 𝑥((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
2824, 27nfres 5982 . . . . 5 𝑥((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
29 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑥∞Met
3029, 26nffv 6899 . . . . 5 𝑥(∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
3128, 30nfel 2918 . . . 4 𝑥((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
32 prdsdsf.e . . . . . 6 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
334fveq2d 6893 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (dist‘𝑅) = (dist‘𝑦 / 𝑥𝑅))
34 prdsdsf.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑅)
354fveq2d 6893 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
3634, 35eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦𝑉 = (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
3736sqxpeqd 5708 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑉 × 𝑉) = ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
3833, 37reseq12d 5981 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))))
3932, 38eqtrid 2785 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝐸 = ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))))
4036fveq2d 6893 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∞Met‘𝑉) = (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
4139, 40eleq12d 2828 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ↔ ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))))
4231, 41rspc 3601 . . 3 (𝑦𝐼 → (∀𝑥𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) → ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))))
4322, 42mpan9 508 . 2 ((𝜑𝑦𝐼) → ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
447, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20, 43prdsxmetlem 23866 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  csb 3893  cmpt 5231   × cxp 5674  cres 5678  cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  distcds 17203  Xscprds 17388  ∞Metcxmet 20922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-fz 13482  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-hom 17218  df-cco 17219  df-prds 17390  df-xmet 20930
This theorem is referenced by:  prdsmet  23868  xpsxmetlem  23877  prdsbl  23992  prdsxmslem1  24029
  Copyright terms: Public domain W3C validator