Theorem prdsxmet 24313

Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 24312. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsdsf.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsdsf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsdsf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsdsf.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsdsf.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsdsf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsdsf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
prdsdsf.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsdsf.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
prdsxmet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsxmet

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsdsf.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝑅
3		nfcsb1v 3873	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅
4		csbeq1a 3863	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
5	2, 3, 4	cbvmpt 5200	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
6	5	oveq2i 7369	. . 3 ⊢ (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
7	1, 6	eqtri 2759	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
8		prdsdsf.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) = (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
10		eqid 2736	. 2 ⊢ ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
11		prdsdsf.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
12		prdsdsf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
13		prdsdsf.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
14		prdsdsf.r	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
15	14	elexd 3464	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
16	15	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
17	3	nfel1 2915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V
18	4	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V))
19	17, 18	rspc 3564	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V))
20	16, 19	mpan9 506	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V)
21		prdsdsf.m	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
22	21	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
23		nfcv 2898	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥dist
24	23, 3	nffv 6844	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
25		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Base
26	25, 3	nffv 6844	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
27	26, 26	nfxp 5657	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
28	24, 27	nfres 5940	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
29		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∞Met
30	29, 26	nffv 6844	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
31	28, 30	nfel 2913	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
32		prdsdsf.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
33	4	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (dist‘𝑅) = (dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
34		prdsdsf.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
35	4	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Base‘𝑅) = (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
36	34, 35	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑉 = (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
37	36	sqxpeqd 5656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑉 × 𝑉) = ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
38	33, 37	reseq12d 5939	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
39	32, 38	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐸 = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
40	36	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∞Met‘𝑉) = (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
41	39, 40	eleq12d 2830	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ↔ ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
42	31, 41	rspc 3564	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) → ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
43	22, 42	mpan9 506	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
44	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20, 43	prdsxmetlem 24312	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440  ⦋csb 3849   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  distcds 17186  X_scprds 17365  ∞Metcxmet 21294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-icc 13268  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-prds 17367  df-xmet 21302

This theorem is referenced by:  prdsmet  24314  xpsxmetlem  24323  prdsbl  24435  prdsxmslem1  24472