Theorem prdsxmet 24379

Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 24378. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsdsf.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsdsf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsdsf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsdsf.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsdsf.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsdsf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsdsf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
prdsdsf.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsdsf.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
prdsxmet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsxmet

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsdsf.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		nfcv 2905	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝑅
3		nfcsb1v 3923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅
4		csbeq1a 3913	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
5	2, 3, 4	cbvmpt 5253	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
6	5	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
7	1, 6	eqtri 2765	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
8		prdsdsf.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) = (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
10		eqid 2737	. 2 ⊢ ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
11		prdsdsf.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
12		prdsdsf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
13		prdsdsf.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
14		prdsdsf.r	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
15	14	elexd 3504	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
16	15	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
17	3	nfel1 2922	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V
18	4	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V))
19	17, 18	rspc 3610	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V))
20	16, 19	mpan9 506	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V)
21		prdsdsf.m	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
22	21	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
23		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥dist
24	23, 3	nffv 6916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
25		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Base
26	25, 3	nffv 6916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
27	26, 26	nfxp 5718	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
28	24, 27	nfres 5999	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
29		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∞Met
30	29, 26	nffv 6916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
31	28, 30	nfel 2920	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
32		prdsdsf.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
33	4	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (dist‘𝑅) = (dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
34		prdsdsf.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
35	4	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Base‘𝑅) = (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
36	34, 35	eqtrid 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑉 = (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
37	36	sqxpeqd 5717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑉 × 𝑉) = ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
38	33, 37	reseq12d 5998	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
39	32, 38	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐸 = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
40	36	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∞Met‘𝑉) = (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
41	39, 40	eleq12d 2835	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ↔ ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
42	31, 41	rspc 3610	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) → ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
43	22, 42	mpan9 506	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
44	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20, 43	prdsxmetlem 24378	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480  ⦋csb 3899   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  distcds 17306  X_scprds 17490  ∞Metcxmet 21349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-prds 17492  df-xmet 21357

This theorem is referenced by:  prdsmet  24380  xpsxmetlem  24389  prdsbl  24504  prdsxmslem1  24541