MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsxmet 23738
Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 23737. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsdsf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsdsf.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsdsf.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsdsf.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsdsf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsdsf.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
prdsdsf.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsdsf.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
prdsxmet (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem prdsxmet
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑦𝑅
3 nfcsb1v 3881 . . . . 5 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…
4 csbeq1a 3870 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑅 = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
52, 3, 4cbvmpt 5217 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
65oveq2i 7369 . . 3 (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…))
71, 6eqtri 2761 . 2 π‘Œ = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…))
8 prdsdsf.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
9 eqid 2733 . 2 (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) = (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
10 eqid 2733 . 2 ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
11 prdsdsf.d . 2 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
12 prdsdsf.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
13 prdsdsf.i . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
14 prdsdsf.r . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
1514elexd 3464 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ V)
1615ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
173nfel1 2920 . . . 4 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V
184eleq1d 2819 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V))
1917, 18rspc 3568 . . 3 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V))
2016, 19mpan9 508 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V)
21 prdsdsf.m . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
2221ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
23 nfcv 2904 . . . . . . 7 β„²π‘₯dist
2423, 3nffv 6853 . . . . . 6 β„²π‘₯(distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
25 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘₯Base
2625, 3nffv 6853 . . . . . . 7 β„²π‘₯(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
2726, 26nfxp 5667 . . . . . 6 β„²π‘₯((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
2824, 27nfres 5940 . . . . 5 β„²π‘₯((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
29 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘₯∞Met
3029, 26nffv 6853 . . . . 5 β„²π‘₯(∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
3128, 30nfel 2918 . . . 4 β„²π‘₯((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
32 prdsdsf.e . . . . . 6 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
334fveq2d 6847 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
34 prdsdsf.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
354fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
3634, 35eqtrid 2785 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
3736sqxpeqd 5666 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
3833, 37reseq12d 5939 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
3932, 38eqtrid 2785 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐸 = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
4036fveq2d 6847 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (∞Metβ€˜π‘‰) = (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
4139, 40eleq12d 2828 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ↔ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
4231, 41rspc 3568 . . 3 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) β†’ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
4322, 42mpan9 508 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
447, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20, 43prdsxmetlem 23737 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444  β¦‹csb 3856   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  distcds 17147  Xscprds 17332  βˆžMetcxmet 20797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-icc 13277  df-fz 13431  df-struct 17024  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-prds 17334  df-xmet 20805
This theorem is referenced by:  prdsmet  23739  xpsxmetlem  23748  prdsbl  23863  prdsxmslem1  23900
  Copyright terms: Public domain W3C validator