MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsxmet 24230
Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 24229. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsdsf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsdsf.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsdsf.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
prdsdsf.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
prdsdsf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
prdsdsf.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
prdsdsf.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsdsf.m ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
Assertion
Ref Expression
prdsxmet (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem prdsxmet
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 nfcv 2897 . . . . 5 Ⅎ𝑦𝑅
3 nfcsb1v 3913 . . . . 5 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…
4 csbeq1a 3902 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑅 = ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
52, 3, 4cbvmpt 5252 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…)
65oveq2i 7416 . . 3 (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…))
71, 6eqtri 2754 . 2 π‘Œ = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘…))
8 prdsdsf.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
9 eqid 2726 . 2 (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) = (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
10 eqid 2726 . 2 ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
11 prdsdsf.d . 2 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
12 prdsdsf.s . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ π‘Š)
13 prdsdsf.i . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
14 prdsdsf.r . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
1514elexd 3489 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ V)
1615ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
173nfel1 2913 . . . 4 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V
184eleq1d 2812 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V))
1917, 18rspc 3594 . . 3 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V))
2016, 19mpan9 506 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯β¦Œπ‘… ∈ V)
21 prdsdsf.m . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
2221ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
23 nfcv 2897 . . . . . . 7 β„²π‘₯dist
2423, 3nffv 6895 . . . . . 6 β„²π‘₯(distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
25 nfcv 2897 . . . . . . . 8 β„²π‘₯Base
2625, 3nffv 6895 . . . . . . 7 β„²π‘₯(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)
2726, 26nfxp 5702 . . . . . 6 β„²π‘₯((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
2824, 27nfres 5977 . . . . 5 β„²π‘₯((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
29 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘₯∞Met
3029, 26nffv 6895 . . . . 5 β„²π‘₯(∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
3128, 30nfel 2911 . . . 4 β„²π‘₯((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
32 prdsdsf.e . . . . . 6 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
334fveq2d 6889 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
34 prdsdsf.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…)
354fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
3634, 35eqtrid 2778 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))
3736sqxpeqd 5701 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
3833, 37reseq12d 5976 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
3932, 38eqtrid 2778 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐸 = ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
4036fveq2d 6889 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (∞Metβ€˜π‘‰) = (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
4139, 40eleq12d 2821 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ↔ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
4231, 41rspc 3594 . . 3 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) β†’ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))))
4322, 42mpan9 506 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((distβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…) Γ— (Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜β¦‹π‘¦ / π‘₯β¦Œπ‘…)))
447, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20, 43prdsxmetlem 24229 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  β¦‹csb 3888   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  distcds 17215  Xscprds 17400  βˆžMetcxmet 21225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-icc 13337  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-prds 17402  df-xmet 21233
This theorem is referenced by:  prdsmet  24231  xpsxmetlem  24240  prdsbl  24355  prdsxmslem1  24392
  Copyright terms: Public domain W3C validator