Theorem prdsxmet 24257

Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 24256. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsdsf.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsdsf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsdsf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsdsf.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsdsf.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsdsf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsdsf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
prdsdsf.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsdsf.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
prdsxmet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsxmet

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsdsf.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		nfcv 2891	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝑅
3		nfcsb1v 3886	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅
4		csbeq1a 3876	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
5	2, 3, 4	cbvmpt 5209	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
6	5	oveq2i 7398	. . 3 ⊢ (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
7	1, 6	eqtri 2752	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
8		prdsdsf.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) = (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
10		eqid 2729	. 2 ⊢ ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
11		prdsdsf.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
12		prdsdsf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
13		prdsdsf.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
14		prdsdsf.r	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
15	14	elexd 3471	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
16	15	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
17	3	nfel1 2908	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V
18	4	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V))
19	17, 18	rspc 3576	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V))
20	16, 19	mpan9 506	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V)
21		prdsdsf.m	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
22	21	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
23		nfcv 2891	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥dist
24	23, 3	nffv 6868	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
25		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Base
26	25, 3	nffv 6868	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
27	26, 26	nfxp 5671	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
28	24, 27	nfres 5952	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
29		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∞Met
30	29, 26	nffv 6868	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
31	28, 30	nfel 2906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
32		prdsdsf.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
33	4	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (dist‘𝑅) = (dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
34		prdsdsf.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
35	4	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Base‘𝑅) = (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
36	34, 35	eqtrid 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑉 = (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
37	36	sqxpeqd 5670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑉 × 𝑉) = ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
38	33, 37	reseq12d 5951	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
39	32, 38	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐸 = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
40	36	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∞Met‘𝑉) = (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
41	39, 40	eleq12d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ↔ ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
42	31, 41	rspc 3576	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) → ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
43	22, 42	mpan9 506	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
44	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20, 43	prdsxmetlem 24256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447  ⦋csb 3862   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  distcds 17229  X_scprds 17408  ∞Metcxmet 21249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-icc 13313  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-prds 17410  df-xmet 21257

This theorem is referenced by:  prdsmet  24258  xpsxmetlem  24267  prdsbl  24379  prdsxmslem1  24416