MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsxmet 24395
Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 24394. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsdsf.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsdsf.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsdsf.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsdsf.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsdsf.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsdsf.i (𝜑𝐼𝑋)
prdsdsf.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
prdsdsf.m ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
prdsxmet (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsxmet
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 nfcv 2903 . . . . 5 𝑦𝑅
3 nfcsb1v 3933 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝑅
4 csbeq1a 3922 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝑅 = 𝑦 / 𝑥𝑅)
52, 3, 4cbvmpt 5259 . . . 4 (𝑥𝐼𝑅) = (𝑦𝐼𝑦 / 𝑥𝑅)
65oveq2i 7442 . . 3 (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)) = (𝑆Xs(𝑦𝐼𝑦 / 𝑥𝑅))
71, 6eqtri 2763 . 2 𝑌 = (𝑆Xs(𝑦𝐼𝑦 / 𝑥𝑅))
8 prdsdsf.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑌)
9 eqid 2735 . 2 (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) = (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)
10 eqid 2735 . 2 ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) = ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
11 prdsdsf.d . 2 𝐷 = (dist‘𝑌)
12 prdsdsf.s . 2 (𝜑𝑆𝑊)
13 prdsdsf.i . 2 (𝜑𝐼𝑋)
14 prdsdsf.r . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
1514elexd 3502 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ V)
1615ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅 ∈ V)
173nfel1 2920 . . . 4 𝑥𝑦 / 𝑥𝑅 ∈ V
184eleq1d 2824 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ V ↔ 𝑦 / 𝑥𝑅 ∈ V))
1917, 18rspc 3610 . . 3 (𝑦𝐼 → (∀𝑥𝐼 𝑅 ∈ V → 𝑦 / 𝑥𝑅 ∈ V))
2016, 19mpan9 506 . 2 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑦 / 𝑥𝑅 ∈ V)
21 prdsdsf.m . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
2221ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
23 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑥dist
2423, 3nffv 6917 . . . . . 6 𝑥(dist‘𝑦 / 𝑥𝑅)
25 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑥Base
2625, 3nffv 6917 . . . . . . 7 𝑥(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)
2726, 26nfxp 5722 . . . . . 6 𝑥((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
2824, 27nfres 6002 . . . . 5 𝑥((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
29 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑥∞Met
3029, 26nffv 6917 . . . . 5 𝑥(∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
3128, 30nfel 2918 . . . 4 𝑥((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
32 prdsdsf.e . . . . . 6 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
334fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (dist‘𝑅) = (dist‘𝑦 / 𝑥𝑅))
34 prdsdsf.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑅)
354fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
3634, 35eqtrid 2787 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦𝑉 = (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
3736sqxpeqd 5721 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑉 × 𝑉) = ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
3833, 37reseq12d 6001 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))))
3932, 38eqtrid 2787 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝐸 = ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))))
4036fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∞Met‘𝑉) = (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
4139, 40eleq12d 2833 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ↔ ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))))
4231, 41rspc 3610 . . 3 (𝑦𝐼 → (∀𝑥𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) → ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))))
4322, 42mpan9 506 . 2 ((𝜑𝑦𝐼) → ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
447, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20, 43prdsxmetlem 24394 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  csb 3908  cmpt 5231   × cxp 5687  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  distcds 17307  Xscprds 17492  ∞Metcxmet 21367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-prds 17494  df-xmet 21375
This theorem is referenced by:  prdsmet  24396  xpsxmetlem  24405  prdsbl  24520  prdsxmslem1  24557
  Copyright terms: Public domain W3C validator