Theorem prdsxmet 24681

Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 24680. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsdsf.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsdsf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsdsf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsdsf.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsdsf.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsdsf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
prdsdsf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
prdsdsf.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
prdsdsf.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
prdsxmet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsxmet

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsdsf.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝑅
3		nfcsb1v 3871	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅
4		csbeq1a 3861	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
5	2, 3, 4	cbvmpt 5207	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
6	5	oveq2i 7429	. . 3 ⊢ (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)) = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
7	1, 6	eqtri 2784	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
8		prdsdsf.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
9		eqid 2761	. 2 ⊢ (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) = (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
10		eqid 2761	. 2 ⊢ ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
11		prdsdsf.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
12		prdsdsf.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
13		prdsdsf.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
14		prdsdsf.r	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑍)
15	14	elexd 3474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
16	15	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V)
17	3	nfel1 2939	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V
18	4	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ V ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V))
19	17, 18	rspc 3565	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ V → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V))
20	16, 19	mpan9 516	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅 ∈ V)
21		prdsdsf.m	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
22	21	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
23		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥dist
24	23, 3	nffv 6893	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
25		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥Base
26	25, 3	nffv 6893	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)
27	26, 26	nfxp 5684	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
28	24, 27	nfres 5972	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
29		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∞Met
30	29, 26	nffv 6893	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
31	28, 30	nfel 2937	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
32		prdsdsf.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
33	4	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (dist‘𝑅) = (dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
34		prdsdsf.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
35	4	fveq2d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (Base‘𝑅) = (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
36	34, 35	eqtrid 2808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑉 = (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))
37	36	sqxpeqd 5683	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑉 × 𝑉) = ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
38	33, 37	reseq12d 5971	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
39	32, 38	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐸 = ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
40	36	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∞Met‘𝑉) = (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
41	39, 40	eleq12d 2855	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ↔ ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
42	31, 41	rspc 3565	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) → ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))))
43	22, 42	mpan9 516	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((dist‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) ↾ ((Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅) × (Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘⦋𝑦 / 𝑥⦌𝑅)))
44	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 20, 43	prdsxmetlem 24680	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451  ⦋csb 3847   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  distcds 17430  X_scprds 17609  ∞Metcxmet 21656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-icc 13476  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-prds 17611  df-xmet 21664

This theorem is used by:  prdsmet  24682  xpsxmetlem  24691  prdsbl  24803  prdsxmslem1  24840