Theorem chirred 33002

Description: The Hilbert lattice is irreducible: any element that commutes with all elements must be zero or one. Theorem 14.8.4 of [BeltramettiCassinelli] p. 166. (Contributed by NM, 16-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chirred	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥) → (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirred

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2764	. . 3 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 = 0ℋ ↔ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) = 0ℋ))
2		eqeq1 2764	. . 3 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 = ℋ ↔ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) = ℋ))
3	1, 2	orbi12d 932	. 2 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ) ↔ (if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) = 0ℋ ∨ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) = ℋ)))
4		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ∈ Cℋ ↔ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ ))
5		nfv 1946	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ Cℋ
6		nfra1 3286	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥
7	5, 6	nfan 1931	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)
8		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
9		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥0ℋ
10	7, 8, 9	nfif 4512	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ)
11	10	nfeq2 2939	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ)
12		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥))
13	11, 12	ralbid 3275	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥))
14	4, 13	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥) ↔ (if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥)))
15		eleq1 2848	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (0ℋ ∈ Cℋ ↔ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ ))
16	10	nfeq2 2939	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥0ℋ = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ)
17		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (0ℋ 𝐶ℋ 𝑥 ↔ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥))
18	16, 17	ralbid 3275	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ 0ℋ 𝐶ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥))
19	15, 18	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → ((0ℋ ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 0ℋ 𝐶ℋ 𝑥) ↔ (if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥)))
20		h0elch 31862	. . . . . 6 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
21		cm0 32216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 0ℋ 𝐶ℋ 𝑥)
22	21	rgen 3078	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ Cℋ 0ℋ 𝐶ℋ 𝑥
23	20, 22	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (0ℋ ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 0ℋ 𝐶ℋ 𝑥)
24	14, 19, 23	elimhyp 4547	. . . 4 ⊢ (if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥)
25	24	simpli 489	. . 3 ⊢ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
26	24	simpri 491	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ Cℋ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥
27		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶ℋ
28		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
29	10, 27, 28	nfbr 5151	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑦
30		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥 ↔ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑦))
31	29, 30	rspc 3564	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥 → if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑦))
32	26, 31	mpi 21	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑦)
33	25, 32	chirredi 33001	. 2 ⊢ (if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) = 0ℋ ∨ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) = ℋ)
34	3, 33	dedth 4540	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥) → (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ℋchba 31526   C_ℋ cch 31536  0_ℋc0h 31542   𝐶_ℋ ccm 31543

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cc 10516  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282  ax-mulf 11283  ax-hilex 31606  ax-hfvadd 31607  ax-hvcom 31608  ax-hvass 31609  ax-hv0cl 31610  ax-hvaddid 31611  ax-hfvmul 31612  ax-hvmulid 31613  ax-hvmulass 31614  ax-hvdistr1 31615  ax-hvdistr2 31616  ax-hvmul0 31617  ax-hfi 31686  ax-his1 31689  ax-his2 31690  ax-his3 31691  ax-his4 31692  ax-hcompl 31809

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-omul 8484  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-acn 10026  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-lm 23552  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cfil 25581  df-cau 25582  df-cmet 25583  df-grpo 31100  df-gid 31101  df-ginv 31102  df-gdiv 31103  df-ablo 31152  df-vc 31166  df-nv 31199  df-va 31202  df-ba 31203  df-sm 31204  df-0v 31205  df-vs 31206  df-nmcv 31207  df-ims 31208  df-dip 31308  df-ssp 31329  df-ph 31420  df-cbn 31470  df-hnorm 31575  df-hba 31576  df-hvsub 31578  df-hlim 31579  df-hcau 31580  df-sh 31814  df-ch 31828  df-oc 31859  df-ch0 31860  df-shs 31915  df-span 31916  df-chj 31917  df-chsup 31918  df-pjh 32002  df-cm 32190  df-cv 32886  df-at 32945

This theorem is used by: (None)