Theorem chirred 32324

Description: The Hilbert lattice is irreducible: any element that commutes with all elements must be zero or one. Theorem 14.8.4 of [BeltramettiCassinelli] p. 166. (Contributed by NM, 16-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chirred	⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥) → (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirred

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2730	. . 3 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 = 0ℋ ↔ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) = 0ℋ))
2		eqeq1 2730	. . 3 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 = ℋ ↔ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) = ℋ))
3	1, 2	orbi12d 916	. 2 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ) ↔ (if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) = 0ℋ ∨ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) = ℋ)))
4		eleq1 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 ∈ Cℋ ↔ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ ))
5		nfv 1910	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ Cℋ
6		nfra1 3272	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥
7	5, 6	nfan 1895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥)
8		nfcv 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
9		nfcv 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥0ℋ
10	7, 8, 9	nfif 4555	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ)
11	10	nfeq2 2910	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ)
12		breq1 5148	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥))
13	11, 12	ralbid 3261	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥))
14	4, 13	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥) ↔ (if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥)))
15		eleq1 2814	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (0ℋ ∈ Cℋ ↔ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ ))
16	10	nfeq2 2910	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥0ℋ = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ)
17		breq1 5148	. . . . . . 7 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (0ℋ 𝐶ℋ 𝑥 ↔ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥))
18	16, 17	ralbid 3261	. . . . . 6 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → (∀𝑥 ∈ Cℋ 0ℋ 𝐶ℋ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ Cℋ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥))
19	15, 18	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (0ℋ = if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) → ((0ℋ ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 0ℋ 𝐶ℋ 𝑥) ↔ (if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥)))
20		h0elch 31184	. . . . . 6 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
21		cm0 31538	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Cℋ → 0ℋ 𝐶ℋ 𝑥)
22	21	rgen 3053	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ Cℋ 0ℋ 𝐶ℋ 𝑥
23	20, 22	pm3.2i 469	. . . . 5 ⊢ (0ℋ ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 0ℋ 𝐶ℋ 𝑥)
24	14, 19, 23	elimhyp 4590	. . . 4 ⊢ (if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥)
25	24	simpli 482	. . 3 ⊢ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) ∈ Cℋ
26	24	simpri 484	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ Cℋ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥
27		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶ℋ
28		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
29	10, 27, 28	nfbr 5192	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑦
30		breq2 5149	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥 ↔ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑦))
31	29, 30	rspc 3597	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (∀𝑥 ∈ Cℋ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑥 → if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑦))
32	26, 31	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) 𝐶ℋ 𝑦)
33	25, 32	chirredi 32323	. 2 ⊢ (if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) = 0ℋ ∨ if((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥), 𝐴, 0ℋ) = ℋ)
34	3, 33	dedth 4583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ 𝐴 𝐶ℋ 𝑥) → (𝐴 = 0ℋ ∨ 𝐴 = ℋ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ifcif 4525   class class class wbr 5145   ℋchba 30848   C_ℋ cch 30858  0_ℋc0h 30864   𝐶_ℋ ccm 30865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-inf2 9676  ax-cc 10468  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hvcom 30930  ax-hvass 30931  ax-hv0cl 30932  ax-hvaddid 30933  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulid 30935  ax-hvmulass 30936  ax-hvdistr1 30937  ax-hvdistr2 30938  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his2 31012  ax-his3 31013  ax-his4 31014  ax-hcompl 31131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4908  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-isom 6554  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8848  df-pm 8849  df-ixp 8918  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-fin 8969  df-fsupp 9398  df-fi 9446  df-sup 9477  df-inf 9478  df-oi 9545  df-card 9974  df-acn 9977  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12604  df-dec 12723  df-uz 12868  df-q 12978  df-rp 13022  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-ioo 13375  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13532  df-fzo 13675  df-fl 13805  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14342  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-clim 15484  df-rlim 15485  df-sum 15685  df-struct 17143  df-sets 17160  df-slot 17178  df-ndx 17190  df-base 17208  df-ress 17237  df-plusg 17273  df-mulr 17274  df-starv 17275  df-sca 17276  df-vsca 17277  df-ip 17278  df-tset 17279  df-ple 17280  df-ds 17282  df-unif 17283  df-hom 17284  df-cco 17285  df-rest 17431  df-topn 17432  df-0g 17450  df-gsum 17451  df-topgen 17452  df-pt 17453  df-prds 17456  df-xrs 17511  df-qtop 17516  df-imas 17517  df-xps 17519  df-mre 17593  df-mrc 17594  df-acs 17596  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-submnd 18768  df-mulg 19057  df-cntz 19306  df-cmn 19775  df-psmet 21330  df-xmet 21331  df-met 21332  df-bl 21333  df-mopn 21334  df-fbas 21335  df-fg 21336  df-cnfld 21339  df-top 22883  df-topon 22900  df-topsp 22922  df-bases 22936  df-cld 23010  df-ntr 23011  df-cls 23012  df-nei 23089  df-cn 23218  df-cnp 23219  df-lm 23220  df-haus 23306  df-tx 23553  df-hmeo 23746  df-fil 23837  df-fm 23929  df-flim 23930  df-flf 23931  df-xms 24313  df-ms 24314  df-tms 24315  df-cfil 25270  df-cau 25271  df-cmet 25272  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-gdiv 30425  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-vs 30528  df-nmcv 30529  df-ims 30530  df-dip 30630  df-ssp 30651  df-ph 30742  df-cbn 30792  df-hnorm 30897  df-hba 30898  df-hvsub 30900  df-hlim 30901  df-hcau 30902  df-sh 31136  df-ch 31150  df-oc 31181  df-ch0 31182  df-shs 31237  df-span 31238  df-chj 31239  df-chsup 31240  df-pjh 31324  df-cm 31512  df-cv 32208  df-at 32267

This theorem is referenced by: (None)