HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chirred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chirred 29968
Description: The Hilbert lattice is irreducible: any element that commutes with all elements must be zero or one. Theorem 14.8.4 of [BeltramettiCassinelli] p. 166. (Contributed by NM, 16-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chirred ((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥) → (𝐴 = 0𝐴 = ℋ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem chirred
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2775 . . 3 (𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (𝐴 = 0 ↔ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) = 0))
2 eqeq1 2775 . . 3 (𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (𝐴 = ℋ ↔ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) = ℋ))
31, 2orbi12d 903 . 2 (𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → ((𝐴 = 0𝐴 = ℋ) ↔ (if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) = 0 ∨ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) = ℋ)))
4 eleq1 2846 . . . . . 6 (𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (𝐴C ↔ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) ∈ C ))
5 nfv 1874 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝐴C
6 nfra1 3162 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥
75, 6nfan 1863 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥)
8 nfcv 2925 . . . . . . . . 9 𝑥𝐴
9 nfcv 2925 . . . . . . . . 9 𝑥0
107, 8, 9nfif 4373 . . . . . . . 8 𝑥if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0)
1110nfeq2 2940 . . . . . . 7 𝑥 𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0)
12 breq1 4928 . . . . . . 7 (𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (𝐴 𝐶 𝑥 ↔ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥))
1311, 12ralbid 3171 . . . . . 6 (𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥 ↔ ∀𝑥C if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥))
144, 13anbi12d 622 . . . . 5 (𝐴 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → ((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥) ↔ (if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) ∈ C ∧ ∀𝑥C if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥)))
15 eleq1 2846 . . . . . 6 (0 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (0C ↔ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) ∈ C ))
1610nfeq2 2940 . . . . . . 7 𝑥0 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0)
17 breq1 4928 . . . . . . 7 (0 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (0 𝐶 𝑥 ↔ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥))
1816, 17ralbid 3171 . . . . . 6 (0 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → (∀𝑥C 0 𝐶 𝑥 ↔ ∀𝑥C if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥))
1915, 18anbi12d 622 . . . . 5 (0 = if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) → ((0C ∧ ∀𝑥C 0 𝐶 𝑥) ↔ (if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) ∈ C ∧ ∀𝑥C if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥)))
20 h0elch 28826 . . . . . 6 0C
21 cm0 29182 . . . . . . 7 (𝑥C → 0 𝐶 𝑥)
2221rgen 3091 . . . . . 6 𝑥C 0 𝐶 𝑥
2320, 22pm3.2i 463 . . . . 5 (0C ∧ ∀𝑥C 0 𝐶 𝑥)
2414, 19, 23elimhyp 4407 . . . 4 (if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) ∈ C ∧ ∀𝑥C if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥)
2524simpli 476 . . 3 if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) ∈ C
2624simpri 478 . . . 4 𝑥C if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥
27 nfcv 2925 . . . . . 6 𝑥 𝐶
28 nfcv 2925 . . . . . 6 𝑥𝑦
2910, 27, 28nfbr 4972 . . . . 5 𝑥if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑦
30 breq2 4929 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥 ↔ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑦))
3129, 30rspc 3522 . . . 4 (𝑦C → (∀𝑥C if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑥 → if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑦))
3226, 31mpi 20 . . 3 (𝑦C → if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) 𝐶 𝑦)
3325, 32chirredi 29967 . 2 (if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) = 0 ∨ if((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥), 𝐴, 0) = ℋ)
343, 33dedth 4400 1 ((𝐴C ∧ ∀𝑥C 𝐴 𝐶 𝑥) → (𝐴 = 0𝐴 = ℋ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wo 834   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3081  ifcif 4344   class class class wbr 4925  chba 28490   C cch 28500  0c0h 28506   𝐶 ccm 28507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cc 9653  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411  ax-addf 10412  ax-mulf 10413  ax-hilex 28570  ax-hfvadd 28571  ax-hvcom 28572  ax-hvass 28573  ax-hv0cl 28574  ax-hvaddid 28575  ax-hfvmul 28576  ax-hvmulid 28577  ax-hvmulass 28578  ax-hvdistr1 28579  ax-hvdistr2 28580  ax-hvmul0 28581  ax-hfi 28650  ax-his1 28653  ax-his2 28654  ax-his3 28655  ax-his4 28656  ax-hcompl 28773
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-omul 7908  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-fi 8668  df-sup 8699  df-inf 8700  df-oi 8767  df-card 9160  df-acn 9163  df-cda 9386  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-ioo 12556  df-ico 12558  df-icc 12559  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-seq 13183  df-exp 13243  df-hash 13504  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-clim 14704  df-rlim 14705  df-sum 14902  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-hom 16443  df-cco 16444  df-rest 16550  df-topn 16551  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-topgen 16571  df-pt 16572  df-prds 16575  df-xrs 16629  df-qtop 16634  df-imas 16635  df-xps 16637  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-mulg 18024  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-fbas 20259  df-fg 20260  df-cnfld 20263  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-cld 21346  df-ntr 21347  df-cls 21348  df-nei 21425  df-cn 21554  df-cnp 21555  df-lm 21556  df-haus 21642  df-tx 21889  df-hmeo 22082  df-fil 22173  df-fm 22265  df-flim 22266  df-flf 22267  df-xms 22648  df-ms 22649  df-tms 22650  df-cfil 23576  df-cau 23577  df-cmet 23578  df-grpo 28062  df-gid 28063  df-ginv 28064  df-gdiv 28065  df-ablo 28114  df-vc 28128  df-nv 28161  df-va 28164  df-ba 28165  df-sm 28166  df-0v 28167  df-vs 28168  df-nmcv 28169  df-ims 28170  df-dip 28270  df-ssp 28291  df-ph 28382  df-cbn 28433  df-hnorm 28539  df-hba 28540  df-hvsub 28542  df-hlim 28543  df-hcau 28544  df-sh 28778  df-ch 28792  df-oc 28823  df-ch0 28824  df-shs 28881  df-span 28882  df-chj 28883  df-chsup 28884  df-pjh 28968  df-cm 29156  df-cv 29852  df-at 29911
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator