Theorem rusgrprc 27860

Description: The class of 0-regular simple graphs is a proper class. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rusgrprc	⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V

Proof of Theorem rusgrprc

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rgrusgrprc 27859	. 2 ⊢ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V
2		vex 3426	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
3		0xnn0 12241	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0*
4		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝑔)
5		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (VtxDeg‘𝑔) = (VtxDeg‘𝑔)
6	4, 5	isrusgr0 27836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0*) → (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0)))
7	2, 3, 6	mp2an 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
8		3ancomb 1097	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0) ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0 ∧ 0 ∈ ℕ0*))
9		df-3an 1087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0 ∧ 0 ∈ ℕ0*) ↔ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0) ∧ 0 ∈ ℕ0*))
10	3, 9	mpbiran2 706	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0 ∧ 0 ∈ ℕ0*) ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
11	7, 8, 10	3bitri 296	. . . . 5 ⊢ (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
12	11	abbii 2809	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0)}
13		df-rab 3072	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} = {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0)}
14	12, 13	eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0}
15		neleq1 3053	. . 3 ⊢ ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} → ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V ↔ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V))
16	14, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V ↔ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V)
17	1, 16	mpbir 230	1 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cab 2715   ∉ wnel 3048  ∀wral 3063  {crab 3067  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  0cc0 10802  ℕ₀^*cxnn0 12235  Vtxcvtx 27269  USGraphcusgr 27422  VtxDegcvtxdg 27735   RegUSGraph crusgr 27826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-xadd 12778  df-fz 13169  df-hash 13973  df-iedg 27272  df-edg 27321  df-uhgr 27331  df-upgr 27355  df-uspgr 27423  df-usgr 27424  df-vtxdg 27736  df-rgr 27827  df-rusgr 27828

This theorem is referenced by:  rgrprc  27861