Theorem rusgrprc 27953

Description: The class of 0-regular simple graphs is a proper class. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rusgrprc	⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V

Proof of Theorem rusgrprc

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rgrusgrprc 27952	. 2 ⊢ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V
2		vex 3435	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
3		0xnn0 12309	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0*
4		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝑔)
5		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (VtxDeg‘𝑔) = (VtxDeg‘𝑔)
6	4, 5	isrusgr0 27929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0*) → (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0)))
7	2, 3, 6	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
8		3ancomb 1098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0) ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0 ∧ 0 ∈ ℕ0*))
9		df-3an 1088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0 ∧ 0 ∈ ℕ0*) ↔ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0) ∧ 0 ∈ ℕ0*))
10	3, 9	mpbiran2 707	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0 ∧ 0 ∈ ℕ0*) ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
11	7, 8, 10	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
12	11	abbii 2810	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0)}
13		df-rab 3075	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} = {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0)}
14	12, 13	eqtr4i 2771	. . 3 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0}
15		neleq1 3056	. . 3 ⊢ ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} → ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V ↔ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V))
16	14, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V ↔ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V)
17	1, 16	mpbir 230	1 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  {cab 2717   ∉ wnel 3051  ∀wral 3066  {crab 3070  Vcvv 3431   class class class wbr 5079  ‘cfv 6431  0cc0 10870  ℕ₀^*cxnn0 12303  Vtxcvtx 27362  USGraphcusgr 27515  VtxDegcvtxdg 27828   RegUSGraph crusgr 27919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-uz 12580  df-xadd 12846  df-fz 13237  df-hash 14041  df-iedg 27365  df-edg 27414  df-uhgr 27424  df-upgr 27448  df-uspgr 27516  df-usgr 27517  df-vtxdg 27829  df-rgr 27920  df-rusgr 27921

This theorem is referenced by:  rgrprc  27954