MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgrprc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rusgrprc 29102
Description: The class of 0-regular simple graphs is a proper class. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
rusgrprc {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} βˆ‰ V
Proof of Theorem rusgrprc
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rgrusgrprc 29101 . 2 {𝑔 ∈ USGraph ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} βˆ‰ V
2 vex 3478 . . . . . . 7 𝑔 ∈ V
3 0xnn0 12554 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0*
4 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜π‘”) = (Vtxβ€˜π‘”)
5 eqid 2732 . . . . . . . 8 (VtxDegβ€˜π‘”) = (VtxDegβ€˜π‘”)
64, 5isrusgr0 29078 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ V ∧ 0 ∈ β„•0*) β†’ (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0)))
72, 3, 6mp2an 690 . . . . . 6 (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0))
8 3ancomb 1099 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0) ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0 ∧ 0 ∈ β„•0*))
9 df-3an 1089 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ USGraph ∧ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0 ∧ 0 ∈ β„•0*) ↔ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0) ∧ 0 ∈ β„•0*))
103, 9mpbiran2 708 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ USGraph ∧ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0 ∧ 0 ∈ β„•0*) ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0))
117, 8, 103bitri 296 . . . . 5 (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0))
1211abbii 2802 . . . 4 {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ USGraph ∧ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0)}
13 df-rab 3433 . . . 4 {𝑔 ∈ USGraph ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} = {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ USGraph ∧ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0)}
1412, 13eqtr4i 2763 . . 3 {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∈ USGraph ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0}
15 neleq1 3052 . . 3 ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∈ USGraph ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} β†’ ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} βˆ‰ V ↔ {𝑔 ∈ USGraph ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} βˆ‰ V))
1614, 15ax-mp 5 . 2 ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} βˆ‰ V ↔ {𝑔 ∈ USGraph ∣ βˆ€π‘£ ∈ (Vtxβ€˜π‘”)((VtxDegβ€˜π‘”)β€˜π‘£) = 0} βˆ‰ V)
171, 16mpbir 230 1 {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} βˆ‰ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   βˆ‰ wnel 3046  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  0cc0 11112  β„•0*cxnn0 12548  Vtxcvtx 28511  USGraphcusgr 28664  VtxDegcvtxdg 28977   RegUSGraph crusgr 29068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-xadd 13097  df-fz 13489  df-hash 14295  df-iedg 28514  df-edg 28563  df-uhgr 28573  df-upgr 28597  df-uspgr 28665  df-usgr 28666  df-vtxdg 28978  df-rgr 29069  df-rusgr 29070
This theorem is referenced by:  rgrprc  29103
  Copyright terms: Public domain W3C validator