Theorem rusgrprc 29881

Description: The class of 0-regular simple graphs is a proper class. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rusgrprc	⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V

Proof of Theorem rusgrprc

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rgrusgrprc 29880	. 2 ⊢ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V
2		vex 3467	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
3		0xnn0 12583	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0*
4		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝑔)
5		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (VtxDeg‘𝑔) = (VtxDeg‘𝑔)
6	4, 5	isrusgr0 29857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0*) → (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0)))
7	2, 3, 6	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
8		3ancomb 1114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0) ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0 ∧ 0 ∈ ℕ0*))
9		df-3an 1103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0 ∧ 0 ∈ ℕ0*) ↔ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0) ∧ 0 ∈ ℕ0*))
10	3, 9	mpbiran2 722	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0 ∧ 0 ∈ ℕ0*) ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
11	7, 8, 10	3bitri 300	. . . . 5 ⊢ (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
12	11	abbii 2836	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0)}
13		df-rab 3424	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} = {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0)}
14	12, 13	eqtr4i 2795	. . 3 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0}
15		neleq1 3076	. . 3 ⊢ ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} → ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V ↔ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V))
16	14, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V ↔ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V)
17	1, 16	mpbir 234	1 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747   ∉ wnel 3070  ∀wral 3085  {crab 3423  Vcvv 3463   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  0cc0 11100  ℕ₀^*cxnn0 12577  Vtxcvtx 29287  USGraphcusgr 29440  VtxDegcvtxdg 29756   RegUSGraph crusgr 29847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-xadd 13138  df-fz 13536  df-hash 14367  df-iedg 29290  df-edg 29339  df-uhgr 29349  df-upgr 29373  df-uspgr 29441  df-usgr 29442  df-vtxdg 29757  df-rgr 29848  df-rusgr 29849

This theorem is referenced by:  rgrprc  29882